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2021届新高考二轮复习 第1讲 选择题、填空题的解法 学案
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第1讲 选择题、填空题的解法
方法思路概述
高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
解法分类指导
方法一 直接法
直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.
【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数2-aii=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=( )
A.-1+2i B.1 C.5 D.5
(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosx+π4(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{an}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=( )
A.-14 B.9 C.14 D.20
(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是 .
方法二 特值、特例法
特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.
当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac
C.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac
(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE= .
【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则( )
A.1a<1b B.sin a>sin b
C.13a<13b D.a2>b2
(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=1x-1上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点 .
方法三 等价转化法
在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.
【例3】(1)函数f(x)=log2x,x>0,-2x+a,x≤0,有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0 B.01
(2)已知f(x)与函数y=-asin x关于点12,0对称,g(x)与函数y=ex关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈π2,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,1sin1 B.1sin1,+∞
C.-∞,1cos1 D.1cos1,+∞
【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为( )
A.3 B.23
C.11 D.10
(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=ax-ln x-1,g(x)=x327,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥x3在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为 .
方法四 数形结合法
数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.
【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是( )
A.3 B.4 C.32 D.42
(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
【对点训练4】(1)已知函数f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4,若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是( )
A.(24,36) B.(48,54)
C.(24,27) D.(48,+∞)
(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|,下列说法正确的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在区间-π2,π2上是增函数
C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈Z)
D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点
方法五 构造法
利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.
【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)f(x2)x2,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53(log135),则a,b,c大小关系为( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.a>c>b
(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则( )
A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0
方法六 排除法(针对选择题)
数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.
【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=ex+1x(1-ex)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是( )
A.y=x+1x
B.y=2x+2-x
C.y=sin x+1sinx,x∈0,π2
D.y=x2-2x+3
(2)(2020浙江,4)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是( )
方法七 估算法
选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.
【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则y+1x+1的取值范围是( )
A.13,5
B.13,5
C.-∞,13∪(5,+∞)
D.-∞,13∪[5,+∞)
专题方法归纳
1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.
2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.
3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:
(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;
(3)要重视对所求结果的检验.
4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.
第1讲 选择题、填空题的解法
解法分类指导
【例1】(1)D (2)BD 解析(1)由2-aii=1-bi,得2-ai=i(1-bi)=b+i,∴a=-1,b=2,则a+bi=-1+2i,∴|a+bi|=|-1+2i|=(-1)2+22=5,故选D.
(2)由题得,f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;
当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数f(x)在-π4,π4上先单调递减后单调递增,故C错误;
将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.
对点训练1(1)D (2)2829 解析(1)令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.
∵等差数列{an}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,
∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,
当a1=2,a6=7时,d=a6-a16-1=1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20;
当a1=7,a6=2时,d=a6-a16-1=-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.
(2)|2e1-e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.又e1·e2≤1,
所以34≤e1·e2≤1.cosθ=a·b|a||b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2×(3e1+e2)2
=4+4e1·e22+2e1e2×10+6e1e2,
设e1·e2=x,则34≤x≤1.
cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,得cos2θ∈2829,1,所以cos2θ的最小值是2829.
【例2】(1)B (2)78 解析(1)因为a>b>c>1,且ac1>logab,故A,C错;
logcb=3>logba=43,故D错,B正确.
(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,
BA·CA=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;BF·CF=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=138,y2=58.则BE·CE=(x,2y)(-x,2y)=-x2+4y2=78.
对点训练2(1)C (2)(1,0) 解析(1)对于A,取a=1,b=-1,则a>b成立,但1a>1b,故A错误;
对于B,取a=π,b=0,则a>b成立,但sinπ=sin0,故B错误;
对于C,因y=13x在R上单调递减,若a>b,则13a<13b,故C正确;
对于D,取a=1,b=-2,则a>b成立,但a2
【例3】(1)A (2)C 解析(1)当x>0时,函数f(x)过点(1,0),又函数f(x)有且只有一个零点,可推出,当x≤0时,函数y=-2x+a没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a≤0或a>1},故选A.
(2)依题意得f(x)=asin(1-x),g(x)=lnx,设h(x)=g(x)-x=lnx-x,x∈(0,1],∵h'(x)=1x-1≥0,
∴h(x)在(0,1]上单调递增,
∴h(x)max=h(1)=ln1-1=-1.
故原题等价于存在x∈π2,2,使得asin(1-x)≥-1,∵sin(1-x)≤0,
∴a≤1sin(x-1).故只需a≤1sin(x-1)max.而y=1sin(x-1)在x∈π2,2上单调递减,而1sin(x-1)max=1sin(π2-1)=1cos1,∴a≤1cos1.故选C.
对点训练3(1)C (2)43,+∞ 解析(1)如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,
因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=12(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB.
因为DB∩PB=B,DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以CB⊥平面PBD.所以V三棱锥P-CBD=V三棱锥C-PBD=13×CB×S△PBD.因为A为DC的中点,所以V三棱锥P-ABC=12V三棱锥P-CBD=16×3×S△PBD=12S△PBD.因为DA=AC=AP=3,故△PDC为直角三角形,所以PD=CD2-PC2=36-25=11.又DB=3AD=33,而PB=4,故DB2=PD2+PB2,即△PBD为直角三角形,所以S△PBD=12×4×11=211,所以V三棱锥P-ABC=11.故选C.
(2)当x∈(0,3)时,g(x)=x327
问题转化为φ(x)≥x3在(0,3)恒成立,由ax-lnx-1≥x3恒成立,可得a≥lnx+1x+13在x∈(0,3)恒成立,
设h(x)=lnx+1x+13,x∈(0,3),
则h'(x)=1x·x-(lnx+1)x2=-lnxx2,
当00,当1
(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.
对点训练4(1)B (2)AC 解析(1)画出f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4的图象,如图所示.
∵a
f(x)=(sinx+cosx)|sinx-cosx|
=cos2x-sin2x,sinx
由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;
f(x)在区间-π2,π2上不是单调函数,故B错误;
若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈Z),故C正确;
函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.
【例5】(1)A (2)(1,+∞) 解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.
∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)0,∴y-x+1>1,
∴ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.
(2)设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
∵ex-1f(x)f(1)>f(log35)=-f(log135),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(log135),
∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(log135),∴a>b>c.
(2)当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b0不满足条件;
当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,
①当a+b>0时,此时0
②当a+b<0时,此时2a+b
③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.
综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.
故选C.
【例6】(1)D (2)A 解析(1)由题意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=12.
对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,不符合题意;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合题意;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.
(2)∵f(-x)=e-x+1-x(1-e-x)=1+ex-x(ex-1)=ex+1x(1-ex)=f(x),
∴f(x)是偶函数,故f(x)图象关于y轴对称,排除C,D;又x=1时,f(1)=e+11-e<0,排除B,故选A.
对点训练6(1)BD (2)A 解析(1)对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;
对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;
对于C,对x∈0,π2,y=sinx+1sinx≥2,但等号成立需sinx=1sinx,方程无解,故C错误;
对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.
故选BD.
(2)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈0,π2时,xcosx+sinx>0,所以排除B.故选A.
【例7】B 解析设人体脖子下端至肚脐长为xcm,则26x≈5-12,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.
对点训练7A 解析作出2x+y<4,x>0,y>0表示的可行域如图所示,
直线2x+y=4与坐标轴的交点为B(2,0),C(0,4).设z=y+1x+1,∵A(0,0),
∴zA=1;∵B(2,0),∴zB=13;
∵C(0,4),∴zC=5.由题知,无法取到B,C两点,∴y+1x+1的取值范围是13,5.
方法思路概述
高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
解法分类指导
方法一 直接法
直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.
【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数2-aii=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=( )
A.-1+2i B.1 C.5 D.5
(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosx+π4(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{an}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=( )
A.-14 B.9 C.14 D.20
(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是 .
方法二 特值、特例法
特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.
当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac
C.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac
(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE= .
【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则( )
A.1a<1b B.sin a>sin b
C.13a<13b D.a2>b2
(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=1x-1上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点 .
方法三 等价转化法
在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.
【例3】(1)函数f(x)=log2x,x>0,-2x+a,x≤0,有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0 B.0
(2)已知f(x)与函数y=-asin x关于点12,0对称,g(x)与函数y=ex关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈π2,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,1sin1 B.1sin1,+∞
C.-∞,1cos1 D.1cos1,+∞
【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为( )
A.3 B.23
C.11 D.10
(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=ax-ln x-1,g(x)=x327,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥x3在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为 .
方法四 数形结合法
数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.
【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是( )
A.3 B.4 C.32 D.42
(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
【对点训练4】(1)已知函数f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4,若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是( )
A.(24,36) B.(48,54)
C.(24,27) D.(48,+∞)
(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|,下列说法正确的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在区间-π2,π2上是增函数
C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈Z)
D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点
方法五 构造法
利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.
【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.a>c>b
(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则( )
A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0
方法六 排除法(针对选择题)
数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.
【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=ex+1x(1-ex)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是( )
A.y=x+1x
B.y=2x+2-x
C.y=sin x+1sinx,x∈0,π2
D.y=x2-2x+3
(2)(2020浙江,4)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是( )
方法七 估算法
选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.
【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则y+1x+1的取值范围是( )
A.13,5
B.13,5
C.-∞,13∪(5,+∞)
D.-∞,13∪[5,+∞)
专题方法归纳
1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.
2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.
3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:
(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;
(3)要重视对所求结果的检验.
4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.
第1讲 选择题、填空题的解法
解法分类指导
【例1】(1)D (2)BD 解析(1)由2-aii=1-bi,得2-ai=i(1-bi)=b+i,∴a=-1,b=2,则a+bi=-1+2i,∴|a+bi|=|-1+2i|=(-1)2+22=5,故选D.
(2)由题得,f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;
当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数f(x)在-π4,π4上先单调递减后单调递增,故C错误;
将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.
对点训练1(1)D (2)2829 解析(1)令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.
∵等差数列{an}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,
∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,
当a1=2,a6=7时,d=a6-a16-1=1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20;
当a1=7,a6=2时,d=a6-a16-1=-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.
(2)|2e1-e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.又e1·e2≤1,
所以34≤e1·e2≤1.cosθ=a·b|a||b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2×(3e1+e2)2
=4+4e1·e22+2e1e2×10+6e1e2,
设e1·e2=x,则34≤x≤1.
cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,得cos2θ∈2829,1,所以cos2θ的最小值是2829.
【例2】(1)B (2)78 解析(1)因为a>b>c>1,且ac
logcb=3>logba=43,故D错,B正确.
(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,
BA·CA=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;BF·CF=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=138,y2=58.则BE·CE=(x,2y)(-x,2y)=-x2+4y2=78.
对点训练2(1)C (2)(1,0) 解析(1)对于A,取a=1,b=-1,则a>b成立,但1a>1b,故A错误;
对于B,取a=π,b=0,则a>b成立,但sinπ=sin0,故B错误;
对于C,因y=13x在R上单调递减,若a>b,则13a<13b,故C正确;
对于D,取a=1,b=-2,则a>b成立,但a2
【例3】(1)A (2)C 解析(1)当x>0时,函数f(x)过点(1,0),又函数f(x)有且只有一个零点,可推出,当x≤0时,函数y=-2x+a没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a≤0或a>1},故选A.
(2)依题意得f(x)=asin(1-x),g(x)=lnx,设h(x)=g(x)-x=lnx-x,x∈(0,1],∵h'(x)=1x-1≥0,
∴h(x)在(0,1]上单调递增,
∴h(x)max=h(1)=ln1-1=-1.
故原题等价于存在x∈π2,2,使得asin(1-x)≥-1,∵sin(1-x)≤0,
∴a≤1sin(x-1).故只需a≤1sin(x-1)max.而y=1sin(x-1)在x∈π2,2上单调递减,而1sin(x-1)max=1sin(π2-1)=1cos1,∴a≤1cos1.故选C.
对点训练3(1)C (2)43,+∞ 解析(1)如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,
因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=12(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB.
因为DB∩PB=B,DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以CB⊥平面PBD.所以V三棱锥P-CBD=V三棱锥C-PBD=13×CB×S△PBD.因为A为DC的中点,所以V三棱锥P-ABC=12V三棱锥P-CBD=16×3×S△PBD=12S△PBD.因为DA=AC=AP=3,故△PDC为直角三角形,所以PD=CD2-PC2=36-25=11.又DB=3AD=33,而PB=4,故DB2=PD2+PB2,即△PBD为直角三角形,所以S△PBD=12×4×11=211,所以V三棱锥P-ABC=11.故选C.
(2)当x∈(0,3)时,g(x)=x327
问题转化为φ(x)≥x3在(0,3)恒成立,由ax-lnx-1≥x3恒成立,可得a≥lnx+1x+13在x∈(0,3)恒成立,
设h(x)=lnx+1x+13,x∈(0,3),
则h'(x)=1x·x-(lnx+1)x2=-lnxx2,
当0
(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.
对点训练4(1)B (2)AC 解析(1)画出f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4的图象,如图所示.
∵a
f(x)=(sinx+cosx)|sinx-cosx|
=cos2x-sin2x,sinx
由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;
f(x)在区间-π2,π2上不是单调函数,故B错误;
若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈Z),故C正确;
函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.
【例5】(1)A (2)(1,+∞) 解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.
∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)
∴ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.
(2)设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
∵ex-1f(x)
∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(log135),∴a>b>c.
(2)当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b
当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,
①当a+b>0时,此时0
②当a+b<0时,此时2a+b
③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.
综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.
故选C.
【例6】(1)D (2)A 解析(1)由题意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=12.
对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,不符合题意;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合题意;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.
(2)∵f(-x)=e-x+1-x(1-e-x)=1+ex-x(ex-1)=ex+1x(1-ex)=f(x),
∴f(x)是偶函数,故f(x)图象关于y轴对称,排除C,D;又x=1时,f(1)=e+11-e<0,排除B,故选A.
对点训练6(1)BD (2)A 解析(1)对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;
对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;
对于C,对x∈0,π2,y=sinx+1sinx≥2,但等号成立需sinx=1sinx,方程无解,故C错误;
对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.
故选BD.
(2)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈0,π2时,xcosx+sinx>0,所以排除B.故选A.
【例7】B 解析设人体脖子下端至肚脐长为xcm,则26x≈5-12,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.
对点训练7A 解析作出2x+y<4,x>0,y>0表示的可行域如图所示,
直线2x+y=4与坐标轴的交点为B(2,0),C(0,4).设z=y+1x+1,∵A(0,0),
∴zA=1;∵B(2,0),∴zB=13;
∵C(0,4),∴zC=5.由题知,无法取到B,C两点,∴y+1x+1的取值范围是13,5.
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