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2021届二轮复习 提升篇专题四统计与概率 概率 学案（全国通用）
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第2讲 概 率
[东营模拟卷3年考情分析]
年份
济南高三期末
乌鲁木齐第一次诊断
安徽铜陵一中期末
2020
用频率估计概率·T17
古典概型·T4
古典概型·T3
2020
频率分布表、频率分布直方图及用频率估计概率、平均数的计算·T19
古典概型·T5
互斥事件的概率·T5
2017
数学文化、有关面积的几何概型·T4
古典概型·T11
频数分布表、用频率估计概率·T18
相关系数的计算、均值及标准差公式的应用·T19
频率分布直方图、频率估计概率、独立性检验·T19
(1)对概率的考查是北京朝阳期末命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题.
(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般.
(3)概率、统计的解答题多在第17、18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.
古典概型
[例1] (1)(2020·乌鲁木齐第一次诊断)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P＝1－＝.
[答案] (1)B (2)A
[解题方略]
1.求古典概型概率的两个关键点
(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；
(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)＝求事件A发生的概率.
2.互斥事件、对立事件概率的求法
解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.
[跟踪训练]
1.已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，－＜a＜，且与b无关.又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是.故选C.
2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.
解析：设事件M为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P(M)＝＝，所以P(M)＝1－P(M)＝1－＝.
答案：
3.某校拟从高三年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.
(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；
(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.
解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.
(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.
记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).
所以P(B)＝，
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
几何概型
[例2] (1)设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是________.
(2)(2020·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
[解析] (1)因为集合A＝＝(－2，4)，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝{x|3＜x＜4或－2＜x＜0}，所以所求事件的概率是＝.
(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为×1×2＋1×＝，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝.
[答案] (1) (2)
[解题方略] 公式法求解几何概型的关键
(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型.
(2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.
(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A的几何度量.
(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.
[跟踪训练]
1.(2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sinx≥的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 当x∈[0，2]时，0≤x≤π，所以sinx≥⇔≤x≤⇔≤x≤.故由几何概型的知识可知所求概率P＝＝.故选A.
2.(2020·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S＝π×12＝，所以所求概率P＝＝，故选B.
3.已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为________.
解析：当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则有×22×h＝，解得h＝.
如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，
所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率为P＝＝＝＝.
答案：
概率与统计的综合问题
题型一 概率与频率分布直方图的综合应用
[例3] (2020·东北四市联合体模拟(一))某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]进行分组，得到下列统计图.
(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数.
(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min的概率.
[解] (1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为6×10＝60.
第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.
(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝＝78(min)，
第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，
∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高.
(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表.
抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，
设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，
则事件A＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，
∴P(A)＝1－P(A)＝1－＝.
[解题方略]
破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤
题型二 概率与茎叶图的综合应用
[例4] 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率.
[解] (1)甲在比赛中得分的均值x＝×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
(2)甲比赛得分在20分以下的分数为：
7，8，10，15，17，19.
从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种，
其中抽到2场都不超过均值的情形是：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，
所以所求概率P＝＝.
[解题方略] 破解茎叶图与概率问题需过“两关”
(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；
(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率.
题型三 概率、统计与其他知识的综合
[例5] 某高校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三2000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：
(1)若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和1951～2000名的学生进行了调查，得到如下数据：
年级名次
是否近视
1～50
1951～2000
近视
41
32
不近视
9
18
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝(n＝a＋b＋c＋d).
[解] (1)设各组的频率为fi(i＝1，2，3，4，5，6)，
由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，
可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，因为f1＝0.15×0.2＝0.03，f2＝0.45×0.2＝0.09，
所以f3＝＝0.27，
又＝1－(0.03＋0.09)，解得f6＝0.17，
1－f6＝1－0.17＝0.83.
故全年级视力在5.0以下的人数约为2000×0.83＝1660.
(2)因为K2＝＝≈4.110＞3.841，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
[解题方略] 解决概率、统计与其他知识的综合
[跟踪训练]
1.某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表.
领养意愿
暂时无领养意愿的人数
仅愿意领养流浪狗的人数
仅愿意领养流浪猫的人数
两种流浪宠物都愿意领养的人数
人数
10
n1
20
n2
其中n1∶n2＝1∶3.
(1)求出n1，n2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；
(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率.
解：(1)由题意可得，n1＋n2＝40，
结合已知条件n1∶n2＝1∶3，可得n1＝10，n2＝30.
用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为×560＝240.
(2)由(1)可知，n1∶20∶n2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×＝3(名).
这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B，C，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D，E，F.
从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，
其中恰为仅愿意领养一种浪流宠物的情况有AB，AC，BC，共3种，
故所求的概率为＝.
2.(2020·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；
(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500)，利润为y元.求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于1750元的概率.
解：(1)x＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.
故该种蔬果日需求量的平均数为265千克.
(2)当日需求量不低于250千克时，利润y＝(25－15)×250＝2500(元)，
当日需求量低于250千克时，利润y＝(25－15)x－(250－x)×5＝15x－1250(元)，
所以y＝
由y≥1750，得200≤x≤500，
所以P(y≥1750)＝P(200≤x≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100＝0.7.
故估计利润y不小于1750元的概率为0.7.
数据分析——概率与统计综合问题的求解
[典例] 某高中学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见图表.规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高三年级学生成绩是合格等级的概率；
(2)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A等级的概率.
[解] (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
x＝＝0.004，
y＝＝0.018.
因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45，
所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，
依据样本估计总体的思想，该校高三年级学生成绩是合格等级的概率是.
(2)由茎叶图知，A等级学生共有3名，由频率分布直方图知D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，
则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件.
记“至少有1名学生是A等级”为事件E，
则其对立事件E的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种.
所以P(E)＝1－P(E)＝1－＝.
[素养通路]
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.
本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得n＝50，x＝0.004，结合频率之和为1得y＝0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎叶图中数据分别求出A，D等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公式求解.考查了数据分析这一核心素养.
[技法指导——迁移搭桥]
概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等.
(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等.
(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等.
(4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率.
(5)会套用求、K2的公式，再作进一步求值与分析.
(6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据.
[典例] 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[快审题]
第(1)问
求什么
想什么
作频率分布直方图，想到频率分布直方图的画法.
给什么
用什么
给出了频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距，计算频率与组距的比值.
第(2)问
求什么
想什么
求概率，想到利用频率来估计概率.
给什么
用什么
给出了数据，计算对应的频率，然后利用频率估计概率.
第(3)问
求什么
想什么
求一年来节省多少水，想到一天能省多少水.
给什么
用什么
给出50天的日用水量数据，可计算日用水量的平均数.
差什么
找什么
计算一年节省多少水，应计算一天节省多少水，即求两种情况下日平均用水量差.
[稳解题]
(1)频率分布直方图如图所示.
(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
x2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).
[题后悟道]
(1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率.
(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论.
[针对训练]
从一批螺钉和螺母中分别抽取20个作为质检样品，测量其直径后得到如下条形统计图：
(1)请估计这批螺钉的平均直径(结果保留到0.1mm)；
(2)现在需要用一个螺钉和一个螺母组装一种零件，为保证零件的质量，规定：只有直径完全相同的一对螺钉
和螺母才能正常配合.以标准尺寸10mm配合的零件为一等品，每个一等品盈利10元；以偏离标准尺寸0.1mm配合的零件为二等品，每个二等品盈利9元；以偏离标准尺寸0.2mm配合的零件为三等品，每个三等品盈利8元；无法配合的螺钉、螺母只能报废，每对亏损5元.某公司购买这批螺钉、螺母各10000个，试估计能盈利多少元.
解：(1)样品中螺钉的平均直径为
≈10.0(mm)，
所以估计这批螺钉的平均直径是10.0mm.
(2)在样品中，能以标准尺寸10mm配合的螺钉、螺母有8对，故样品中盈利10元的概率为＝；
能以9.9mm配合的螺钉、螺母有3对，能以10.1mm配合的螺钉、螺母有4对，故样品中盈利9元的概率为＝；
能以10.2mm配合的螺钉、螺母有2对，能以9.8mm配合的螺钉、螺母有2对，故样品中盈利8元的概率为＝；
报废品一对，故样品中损失5元的概率为.
故盈利约为10000×＝85000(元).
概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途.另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件.
[专题过关检测]
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1.(2020·安徽铜陵一中期末)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
2.已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.
由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3，3]，
故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.
3.(2020·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝(a，4b)，n＝(4a，b)，则m·n≥4π2的概率为( )
A.1－ B.1－
C.1－ D.1－
解析：选B 在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上.因为m·n＝4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝＝1－，故选B.
4.(2020·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝＝，故选C.
5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是( )
A.0.8 B.0.6
C.0.4 D.0.2
解析：选A 设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件.
4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a，b.
从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，4}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，a}，{1，4，b}，{1，a，b}，{2，3，4}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{2，a，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}.
事件M所含的基本事件分别为{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，a}，{1，4，b}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，共12个，所以P(M)＝＝；
事件N所含的基本事件分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4个，所以P(N)＝＝；
所以事件Q的概率为P(Q)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.8，故选A.
6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为，
所以白色部分的面积为S1＝4×××＝4，
易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S2＝4××1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝.
二、填空题
7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________.
解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有6＋6＋6＋6＝24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.
答案：
8.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲＞x乙的概率是________.
解析：设被污损的数字为x，由茎叶图知x乙＝90，x甲＝89＋，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x甲＞x乙时，89＋＞90，x∈N，污损处对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲＞x乙的概率为＝.
答案：
9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为________.
解析：因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，
所以三棱锥B1A1BC1的体积··a·a·a＝a3，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，
所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为＝.
答案：
三、解答题
10.(2020·天津北京朝阳期末)2020年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.
所以事件M发生的概率P(M)＝.
11.(2020·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为x，求|xi－x|≤0.5的概率.
解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，
所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，
其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.
故P(E)＝，即所求的概率为.
(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－x|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.
所以P(D)＝＝，即所求的概率为.
12.已知二次函数f(x)＝ax2－4bx＋2.
(1)任取a∈{1，2，3}，b∈{－1，1，2，3，4}，记“f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A，求A发生的概率.
(2)任取(a，b)∈{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}，记“关于x的方程f(x)＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率.
解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，若事件A发生，则a>0且≤1.
数对(a，b)的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种.
所以P(A)＝＝.
(2)集合{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，其中点A(6，0)，B，
则△AOB的面积为××6＝.
若事件B发生，则f(1)<0，即a－4b＋2<0.
所以事件B对应的平面区域为△BCD.
由得交点坐标为D(2，1).
又C，则△BCD的面积为××2＝1.
所以P(B)＝＝.
B组——大题专攻强化练
1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加东营模拟中学生奥林匹克数学竞赛，现对这两名学生以往的若干次数学竞赛成绩进行分析，数据如下：
(1)请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；
(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在x－s与x＋s之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；
(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率.
参考数据：≈8.2，≈8.0，≈7.9，≈8.7.
解：(1)平均值：
x甲＝＝82.4，
x乙＝＝82.4，
x甲＝x乙.样本方差：s＝[(72－82.4)2＋(74－82.4)2＋…＋(95－82.4)2＋(96－82.4)2]＝67.44，s＝[(70－82.4)2＋(71－82.4)2＋…＋(92－82.4)2＋(93－82.4)2]＝75.44，由于s＜s，所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.
(2)由于x甲＝x乙＝82.4，s甲＝＝≈8.2，s乙＝＝≈8.7，所以x甲＋s甲＝90.6，x甲－s甲＝74.2，在x甲－s甲与x甲＋s甲之间的成绩有75，76，80，82，85，89，所以P甲＝＝，x乙＋s乙＝91.1，x乙－s乙＝73.7，在x乙－s乙与x乙＋s乙之间的成绩有76，85，87，88，90，所以P乙＝＝，因为＞，所以派甲同学去参加比赛.
(3)从10份试卷中任意抽取2份共有45种取法，2份试卷的分数均在88分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共3种，故陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率为＝.
2.(2020·济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.
(1)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品
不购买产品
总计
(2)该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回地进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x，则不购买产品的人数为2x，由此并结合题意可列出表：
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品x
50
不购买产品2x
50
总计
3x＋10
3x
100
由表可得3x＋10＋3x＝100，所以x＝15.
完成2×2列联表为
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品
35
15
50
不购买产品
20
30
50
总计
55
45
100
所以K2＝＝≈9.091＞6.635，
所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.
(2)由题意得，参加座谈的6位客户中购买产品的人数为2，退货的人数为4.
“6位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共16个.
设事件A为“6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，
则事件A包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共10个，
则P(A)＝＝.
所以6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.
3.(2020·西安五校联考省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
A校样本数据条形图
B校样本数据统计表
成绩/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数/个
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；
(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高三级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.
解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.
A校样本数据的均值为
xA＝＝6(分)，
A校样本数据的方差为s＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.
从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为
xB＝＝6(分)，
B校样本数据的方差为s＝×[9×(4－6)2＋12×(5－6)2＋21×(6－6)2＋9×(7－6)2＋6×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.8.
因为xA＝xB，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又s＜s，所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.
(2)依题意，从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为×12＝4，分别设为a，b，c，d；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为e；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为f.
所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，
其中满足条件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，
所以从抽取的6人中任选2人参加更高三级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P＝＝.
4.(2020·湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：
试销单价x/元
4
5
6
7
8
9
产品销量y/件
q
84
83
80
75
68
已知y＝i＝80.
(1)求q的值；
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程y＝x＋；
(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值，当|i－yi|≤1时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.
参考公式：＝＝，＝y－x.
解：(1)由y＝i＝80，
得＝80，
解得q＝90.
(2)经计算，＝271，
所以＝＝－4，＝80＋4×6.5＝106，
所以所求的线性回归方程为＝－4x＋106.
(3)由(2)知，当x1＝4时，1＝90；当x2＝5时，2＝86；当x3＝6时，3＝82；当x4＝7时，4＝78；当x5＝8时，5＝74；当x6＝9时，6＝70.
与销售数据对比可知满足|i－yi|≤1(i＝1，2，…，6)的共有3个：(4，90)，(6，83)，(8，75).
从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有＝15(种)，
其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3＋3＝12(种)，
于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为＝.
[东营模拟卷3年考情分析]
年份
济南高三期末
乌鲁木齐第一次诊断
安徽铜陵一中期末
2020
用频率估计概率·T17
古典概型·T4
古典概型·T3
2020
频率分布表、频率分布直方图及用频率估计概率、平均数的计算·T19
古典概型·T5
互斥事件的概率·T5
2017
数学文化、有关面积的几何概型·T4
古典概型·T11
频数分布表、用频率估计概率·T18
相关系数的计算、均值及标准差公式的应用·T19
频率分布直方图、频率估计概率、独立性检验·T19
(1)对概率的考查是北京朝阳期末命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题.
(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般.
(3)概率、统计的解答题多在第17、18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.
古典概型
[例1] (1)(2020·乌鲁木齐第一次诊断)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P＝1－＝.
[答案] (1)B (2)A
[解题方略]
1.求古典概型概率的两个关键点
(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；
(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)＝求事件A发生的概率.
2.互斥事件、对立事件概率的求法
解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.
[跟踪训练]
1.已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，－＜a＜，且与b无关.又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是.故选C.
2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.
解析：设事件M为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P(M)＝＝，所以P(M)＝1－P(M)＝1－＝.
答案：
3.某校拟从高三年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.
(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；
(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.
解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.
(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.
记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).
所以P(B)＝，
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
几何概型
[例2] (1)设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是________.
(2)(2020·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
[解析] (1)因为集合A＝＝(－2，4)，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝{x|3＜x＜4或－2＜x＜0}，所以所求事件的概率是＝.
(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为×1×2＋1×＝，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝.
[答案] (1) (2)
[解题方略] 公式法求解几何概型的关键
(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型.
(2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.
(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A的几何度量.
(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.
[跟踪训练]
1.(2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sinx≥的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 当x∈[0，2]时，0≤x≤π，所以sinx≥⇔≤x≤⇔≤x≤.故由几何概型的知识可知所求概率P＝＝.故选A.
2.(2020·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S＝π×12＝，所以所求概率P＝＝，故选B.
3.已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为________.
解析：当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则有×22×h＝，解得h＝.
如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，
所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率为P＝＝＝＝.
答案：
概率与统计的综合问题
题型一 概率与频率分布直方图的综合应用
[例3] (2020·东北四市联合体模拟(一))某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]进行分组，得到下列统计图.
(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数.
(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min的概率.
[解] (1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为6×10＝60.
第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.
(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝＝78(min)，
第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，
∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高.
(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表.
抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，
设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，
则事件A＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，
∴P(A)＝1－P(A)＝1－＝.
[解题方略]
破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤
题型二 概率与茎叶图的综合应用
[例4] 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率.
[解] (1)甲在比赛中得分的均值x＝×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
(2)甲比赛得分在20分以下的分数为：
7，8，10，15，17，19.
从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种，
其中抽到2场都不超过均值的情形是：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，
所以所求概率P＝＝.
[解题方略] 破解茎叶图与概率问题需过“两关”
(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；
(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率.
题型三 概率、统计与其他知识的综合
[例5] 某高校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三2000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：
(1)若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和1951～2000名的学生进行了调查，得到如下数据：
年级名次
是否近视
1～50
1951～2000
近视
41
32
不近视
9
18
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝(n＝a＋b＋c＋d).
[解] (1)设各组的频率为fi(i＝1，2，3，4，5，6)，
由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，
可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，因为f1＝0.15×0.2＝0.03，f2＝0.45×0.2＝0.09，
所以f3＝＝0.27，
又＝1－(0.03＋0.09)，解得f6＝0.17，
1－f6＝1－0.17＝0.83.
故全年级视力在5.0以下的人数约为2000×0.83＝1660.
(2)因为K2＝＝≈4.110＞3.841，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
[解题方略] 解决概率、统计与其他知识的综合
[跟踪训练]
1.某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表.
领养意愿
暂时无领养意愿的人数
仅愿意领养流浪狗的人数
仅愿意领养流浪猫的人数
两种流浪宠物都愿意领养的人数
人数
10
n1
20
n2
其中n1∶n2＝1∶3.
(1)求出n1，n2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；
(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率.
解：(1)由题意可得，n1＋n2＝40，
结合已知条件n1∶n2＝1∶3，可得n1＝10，n2＝30.
用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为×560＝240.
(2)由(1)可知，n1∶20∶n2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×＝3(名).
这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B，C，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D，E，F.
从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，
其中恰为仅愿意领养一种浪流宠物的情况有AB，AC，BC，共3种，
故所求的概率为＝.
2.(2020·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；
(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500)，利润为y元.求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于1750元的概率.
解：(1)x＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.
故该种蔬果日需求量的平均数为265千克.
(2)当日需求量不低于250千克时，利润y＝(25－15)×250＝2500(元)，
当日需求量低于250千克时，利润y＝(25－15)x－(250－x)×5＝15x－1250(元)，
所以y＝
由y≥1750，得200≤x≤500，
所以P(y≥1750)＝P(200≤x≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100＝0.7.
故估计利润y不小于1750元的概率为0.7.
数据分析——概率与统计综合问题的求解
[典例] 某高中学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见图表.规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高三年级学生成绩是合格等级的概率；
(2)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A等级的概率.
[解] (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
x＝＝0.004，
y＝＝0.018.
因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45，
所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，
依据样本估计总体的思想，该校高三年级学生成绩是合格等级的概率是.
(2)由茎叶图知，A等级学生共有3名，由频率分布直方图知D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，
则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件.
记“至少有1名学生是A等级”为事件E，
则其对立事件E的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种.
所以P(E)＝1－P(E)＝1－＝.
[素养通路]
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.
本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得n＝50，x＝0.004，结合频率之和为1得y＝0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎叶图中数据分别求出A，D等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公式求解.考查了数据分析这一核心素养.
[技法指导——迁移搭桥]
概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等.
(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等.
(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等.
(4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率.
(5)会套用求、K2的公式，再作进一步求值与分析.
(6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据.
[典例] 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[快审题]
第(1)问
求什么
想什么
作频率分布直方图，想到频率分布直方图的画法.
给什么
用什么
给出了频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距，计算频率与组距的比值.
第(2)问
求什么
想什么
求概率，想到利用频率来估计概率.
给什么
用什么
给出了数据，计算对应的频率，然后利用频率估计概率.
第(3)问
求什么
想什么
求一年来节省多少水，想到一天能省多少水.
给什么
用什么
给出50天的日用水量数据，可计算日用水量的平均数.
差什么
找什么
计算一年节省多少水，应计算一天节省多少水，即求两种情况下日平均用水量差.
[稳解题]
(1)频率分布直方图如图所示.
(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
x2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).
[题后悟道]
(1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率.
(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论.
[针对训练]
从一批螺钉和螺母中分别抽取20个作为质检样品，测量其直径后得到如下条形统计图：
(1)请估计这批螺钉的平均直径(结果保留到0.1mm)；
(2)现在需要用一个螺钉和一个螺母组装一种零件，为保证零件的质量，规定：只有直径完全相同的一对螺钉
和螺母才能正常配合.以标准尺寸10mm配合的零件为一等品，每个一等品盈利10元；以偏离标准尺寸0.1mm配合的零件为二等品，每个二等品盈利9元；以偏离标准尺寸0.2mm配合的零件为三等品，每个三等品盈利8元；无法配合的螺钉、螺母只能报废，每对亏损5元.某公司购买这批螺钉、螺母各10000个，试估计能盈利多少元.
解：(1)样品中螺钉的平均直径为
≈10.0(mm)，
所以估计这批螺钉的平均直径是10.0mm.
(2)在样品中，能以标准尺寸10mm配合的螺钉、螺母有8对，故样品中盈利10元的概率为＝；
能以9.9mm配合的螺钉、螺母有3对，能以10.1mm配合的螺钉、螺母有4对，故样品中盈利9元的概率为＝；
能以10.2mm配合的螺钉、螺母有2对，能以9.8mm配合的螺钉、螺母有2对，故样品中盈利8元的概率为＝；
报废品一对，故样品中损失5元的概率为.
故盈利约为10000×＝85000(元).
概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途.另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件.
[专题过关检测]
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1.(2020·安徽铜陵一中期末)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
2.已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.
由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3，3]，
故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.
3.(2020·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝(a，4b)，n＝(4a，b)，则m·n≥4π2的概率为( )
A.1－ B.1－
C.1－ D.1－
解析：选B 在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上.因为m·n＝4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝＝1－，故选B.
4.(2020·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝＝，故选C.
5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是( )
A.0.8 B.0.6
C.0.4 D.0.2
解析：选A 设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件.
4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a，b.
从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，4}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，a}，{1，4，b}，{1，a，b}，{2，3，4}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{2，a，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}.
事件M所含的基本事件分别为{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，a}，{1，4，b}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，共12个，所以P(M)＝＝；
事件N所含的基本事件分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4个，所以P(N)＝＝；
所以事件Q的概率为P(Q)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.8，故选A.
6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为，
所以白色部分的面积为S1＝4×××＝4，
易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S2＝4××1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝.
二、填空题
7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________.
解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有6＋6＋6＋6＝24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.
答案：
8.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲＞x乙的概率是________.
解析：设被污损的数字为x，由茎叶图知x乙＝90，x甲＝89＋，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x甲＞x乙时，89＋＞90，x∈N，污损处对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲＞x乙的概率为＝.
答案：
9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为________.
解析：因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，
所以三棱锥B1A1BC1的体积··a·a·a＝a3，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，
所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为＝.
答案：
三、解答题
10.(2020·天津北京朝阳期末)2020年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.
所以事件M发生的概率P(M)＝.
11.(2020·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为x，求|xi－x|≤0.5的概率.
解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，
所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，
其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.
故P(E)＝，即所求的概率为.
(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－x|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.
所以P(D)＝＝，即所求的概率为.
12.已知二次函数f(x)＝ax2－4bx＋2.
(1)任取a∈{1，2，3}，b∈{－1，1，2，3，4}，记“f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A，求A发生的概率.
(2)任取(a，b)∈{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}，记“关于x的方程f(x)＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率.
解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，若事件A发生，则a>0且≤1.
数对(a，b)的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种.
所以P(A)＝＝.
(2)集合{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，其中点A(6，0)，B，
则△AOB的面积为××6＝.
若事件B发生，则f(1)<0，即a－4b＋2<0.
所以事件B对应的平面区域为△BCD.
由得交点坐标为D(2，1).
又C，则△BCD的面积为××2＝1.
所以P(B)＝＝.
B组——大题专攻强化练
1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加东营模拟中学生奥林匹克数学竞赛，现对这两名学生以往的若干次数学竞赛成绩进行分析，数据如下：
(1)请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；
(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在x－s与x＋s之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；
(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率.
参考数据：≈8.2，≈8.0，≈7.9，≈8.7.
解：(1)平均值：
x甲＝＝82.4，
x乙＝＝82.4，
x甲＝x乙.样本方差：s＝[(72－82.4)2＋(74－82.4)2＋…＋(95－82.4)2＋(96－82.4)2]＝67.44，s＝[(70－82.4)2＋(71－82.4)2＋…＋(92－82.4)2＋(93－82.4)2]＝75.44，由于s＜s，所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.
(2)由于x甲＝x乙＝82.4，s甲＝＝≈8.2，s乙＝＝≈8.7，所以x甲＋s甲＝90.6，x甲－s甲＝74.2，在x甲－s甲与x甲＋s甲之间的成绩有75，76，80，82，85，89，所以P甲＝＝，x乙＋s乙＝91.1，x乙－s乙＝73.7，在x乙－s乙与x乙＋s乙之间的成绩有76，85，87，88，90，所以P乙＝＝，因为＞，所以派甲同学去参加比赛.
(3)从10份试卷中任意抽取2份共有45种取法，2份试卷的分数均在88分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共3种，故陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率为＝.
2.(2020·济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.
(1)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品
不购买产品
总计
(2)该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回地进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x，则不购买产品的人数为2x，由此并结合题意可列出表：
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品x
50
不购买产品2x
50
总计
3x＋10
3x
100
由表可得3x＋10＋3x＝100，所以x＝15.
完成2×2列联表为
对性能满意
对性能不满意
总计
购买产品
35
15
50
不购买产品
20
30
50
总计
55
45
100
所以K2＝＝≈9.091＞6.635，
所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.
(2)由题意得，参加座谈的6位客户中购买产品的人数为2，退货的人数为4.
“6位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共16个.
设事件A为“6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，
则事件A包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共10个，
则P(A)＝＝.
所以6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.
3.(2020·西安五校联考省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
A校样本数据条形图
B校样本数据统计表
成绩/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数/个
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；
(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高三级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.
解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.
A校样本数据的均值为
xA＝＝6(分)，
A校样本数据的方差为s＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.
从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为
xB＝＝6(分)，
B校样本数据的方差为s＝×[9×(4－6)2＋12×(5－6)2＋21×(6－6)2＋9×(7－6)2＋6×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.8.
因为xA＝xB，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又s＜s，所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.
(2)依题意，从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为×12＝4，分别设为a，b，c，d；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为e；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为f.
所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，
其中满足条件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，
所以从抽取的6人中任选2人参加更高三级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P＝＝.
4.(2020·湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：
试销单价x/元
4
5
6
7
8
9
产品销量y/件
q
84
83
80
75
68
已知y＝i＝80.
(1)求q的值；
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程y＝x＋；
(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值，当|i－yi|≤1时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.
参考公式：＝＝，＝y－x.
解：(1)由y＝i＝80，
得＝80，
解得q＝90.
(2)经计算，＝271，
所以＝＝－4，＝80＋4×6.5＝106，
所以所求的线性回归方程为＝－4x＋106.
(3)由(2)知，当x1＝4时，1＝90；当x2＝5时，2＝86；当x3＝6时，3＝82；当x4＝7时，4＝78；当x5＝8时，5＝74；当x6＝9时，6＝70.
与销售数据对比可知满足|i－yi|≤1(i＝1，2，…，6)的共有3个：(4，90)，(6，83)，(8，75).
从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有＝15(种)，
其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3＋3＝12(种)，
于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为＝.
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