【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）1反比例函数图象性质及应用..教师版

模块一、反比例函数的概念

☞反比例函数的定义

函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

【例1】         一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x是______，y是______．自变量x的取值范围是______．

【解析】略

【答案】(为常数，)，自变量，函数，不等于0的一切实数．

【例2】         写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．

(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付元，个月全部付清，则与的关系式为____________，是______函数．

(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为__________________，是______函数．

(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为、、．

当时，与的关系式为____________，是____________函数；

当时，与的关系式为____________，是____________函数．

(4)某工人承包运输粮食的总数是吨，每天运吨，共运了天，则与的关系式为______，是______函数．

【解析】略

【答案】(1)，反比例；

(2)，反比例；

(3)，正比例，，反比例；

(4)，反比例．

【巩固】下列关于的函数中：①；②；③；④中

一定是反比例函数的有(    )

A．1个   B. 2个   C. 3个   D. 4个

【解析】显然①、②是反比例函数，③虽然具备反比例函数的形式，但是不满足反比例函数的要求，也就是不能保证比例常数是一个“非零”常数. ④具备反比例函数的形式，同时也能保证比例常数，这是因为是实数，所以，，

因此①、②、④是反比例函数.

【答案】C

【例3】         已知是关于的反比例函数，求的值及函数的解析式。

【解析】根据反比例函数也可以写成，可知：

   由①得：或;由②得：且,

∴，则

【答案】，则

【巩固】已知函数是关于的反比例函数，求的值.

【解析】本题重点考查反比例函数的概念，⑴要求作为分母的是只含有字母的一次单式，在本题中，要求的指数等于1；⑵要求比例常数不等于0. 因为函数是关于的反比例函数，所以. 又因为比例常数，即.故，当时，函数是关于的反比例函数.

【答案】

【例4】         若函数是反比例函数，则的值为(    ).

A. 为任意实数      B.      C.       D.

【解析】错解选A.

   错解没有注意到反比例函数的定义中的限制条件，这里的相当于定义中的∴，即.

【答案】 D

【例5】         已知与成反比例，当时，，则是的（   ）

A. 正比例函数   B.一次函数    C.反比例函数   D.以上都不是

【解析】错解 C.

 要确定是的哪种函数，则需要根据已知就条件求出是之间的函数关系式.因为 与成反比例，所以设，把代入可求得，所以，根据反比例函数的定义可知，形如 ()时， 是的反比例函数，这里的分母中的指数是1次的，而分母中的的指数是2次的，所以满足的不是的反比例函数，也不是一次函数.

【答案】 D

模块二、反比例函数的图象及性质

☞反比例函数的图像及性质：

1.反比例函数(为常数，)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.

2.反比例函数(为常数，)的图像是双曲线；

当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；

当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大.

【例6】         在下图中，反比例函数的图像大致是（    ）

【解析】               ∵，∴反比例函数的图像在第一、三象限内

【答案】D.

【巩固】已知点(，)在反比例函数()的图像上，其中(为实数)，则这个函数的图像在第_____象限.

【解析】∵点(，)在反比例函数的图像上，∴.

又∵.∴.

∴反比例函数()的图像在第一、三象限.

【答案】一、三象限.

【巩固】如果点在双曲线上，那么，双曲线在第______象限．

【解析】∵点在双曲线上，∴

【答案】＞；一、三

【巩固】已知是反比例函数，则它的图象在(    )．

A.第一、三象限  B.第二、四象限

C.第一、二象限  D.第三、四象限

【解析】略

【答案】B

【例7】         反比例函数的图像所在的象限内，随增大而增大，则反比例函数的解析式是（     ）

A.           B.          C.或       D.不能确定

【解析】∵反比例函数的图像所在的每个象限内，随的增大而增大，

∴ ∴  ∴.

【答案】B

【巩固】在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是 （   ）

A．          B．      C．         D．

【解析】由反比例函数都随的增大而减小可以判断图象分布在第一、三象限，因此比例系数的符号是正数，解不等式．即

【答案】A

【例8】         已知反比例函数的图像在第二、第四象限内，函数图像上有两点，则与的大小关系为（    ）

A.         B.         C.         D. 无法确定

【解析】               由题意可得均在第四象限内，

∵反比例函数的图像在第二、第四象限内，∴，

在每个象限内，随的增大而增大，

又∵.∴.

【答案】A.

【巩固】若点(，)、(，)、(，)都是反比例函数的图像上，试比较、、的大小关系                .

【解析】               ，所以的函数在一、三象限内，易得.

【答案】.

【巩固】已知点，是反比例函数()的图象上的两点，若，则有(    )．

A. B. C. D.

【解析】应用反比例函数的增减性，要明确已知点是否在同一支双曲线上

【答案】

【巩固】反比例函数的图像上有三点，(，)，(，)，(，) ，比较，，大小.

【解析】               ∵，∴在每个象限内，随的增大而增大.

又∵点(，)，(，)在第二象限，，∴.

又∵点(，)在第四象限，∴. ∴.

【答案】.

【例9】         反比例函数，当时，随的增大而增大，则的值是(    )．

A. B.小于的实数 C. D.1

【解析】根据题意得，且，∴

【答案】C

【例10】     在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是(    )．

【解析】假设法与排除法

【答案】A

【巩固】已知，且，，，则函数与在同一坐标系中的图象不可能是（    ）

【解析】假设法与排除法

【答案】A

模块三、反比例函数解析式的确定

1.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：①待定系数法；②反比例函数的几何意义；③实际问题

【例11】     如图，反比例函数的图象与直线交于点，且点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．

【解析】略

【答案】．

【巩固】已知关于的一次函数和反比例函数的图象都经过点，则，．

【解析】略

【答案】－3；－3

【例12】     已知：如图，在平面直角坐标系中，的一边在轴上，，点在第一象限，，，反比例函数的图象经过的中点．

⑴求该反比例函数的解析式；

⑵若该反比例函数的图象与的另一边交于点，求过、两点的直线的解析式．

【解析】略

【答案】⑴；⑵

【巩固】已知反比例函数的图象经过点

⑴试确定此反比例函数的解析式；

⑵点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由

【解析】注意“角所对直角边等于斜边一半”

【答案】⑴；⑵点坐标为，因此点在反比例函数的图象上

【巩固】已知点、都在反比例函数的图象上．

(1)求、的值；

(2)若直线与轴交于点，求关于轴对称点的坐标．

【解析】略

【答案】(1)；(2)

【例13】     已知函数，且为的反比例函数，为的正比例函数，且和时，的值都是1．求关于的函数关系式．

【解析】略

【答案】

模块四、反比例函数的应用

1.注意审题，明确题意即可

【例14】     某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为                .

【解析】 由题意可知与成反比，故关系式为.

【答案】.

【巩固】近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为           .

【解析】               设此反比例函数的解析式为，

将点代入求得，故其关系式为.

【答案】.

【巩固】一定质量的氧气，密度是体积的反比例函数，当时，，则与的函数关系式为______．

【解析】略

【答案】 

【例15】     已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图象大致是（    ）

【解析】 根据反比例函数的定义，我们可以判定时间t与速度v成反比例函数关系，因此，函数的图像应该是双曲线，但是，同学们不要忘记这个问题的实际生活意义，也就是说时间t是不可能取到负值的，所以，双曲线在第三象限内的部分，应该舍去。答案选C。

【答案】C

【例16】     在对物体做功一定的情况下，力(牛)与此物体在力的方向上移动的距离(米)成反比例函数关系，其图像如图所示，在图像上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是          米.

【解析】设反比例函数关系式为，

将点代入，求得.

∴此函数关系式为.

当时，米.

【答案】 米

【巩固】如图所示的是一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数图象．

(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______；

(2)此函数的解析式为____________；

(3)若要在内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______；

(4)如果每小时的排水量是，那么水池中的水需要______排完．

【解析】略

【答案】(1)48；  (2)；  (3)8；  (4)9.6．

【巩固】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?

【解析】应用反比例函数的性质

【答案】(1)，； ()；(2)4小时．

1. 在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（    ）

A.逐渐增大           B.不变          C.逐渐减小        D.先增大后减小

【解析】反比例函数的增减性

【答案】C

2. 如图所示的函数图象的关系式可能是（    ）

A.    B.    C.    D.

【解析】略

【答案】D

3. 球迷协会组织名球迷租乘汽车赴比赛场地为中国足球队加油助威，租用了辆限坐人的汽车

⑴写出与的关系式.

⑵若租用的汽车限坐人，需租多少辆汽车？

⑶若为了节省开支，只租了辆限坐人的汽车，那么还需安排多少人坐公交车赶赴比赛场地？

⑷若可租用的汽车有两种：一种每辆限坐人，另一种每辆限坐人，那么有几种租车方案？（要求租用的车不超载，不留空座）

【解析】略

【答案】⑴（为正整数）；⑵辆；⑶人；

⑷设限坐人的汽车租用辆，限坐人的汽车租用辆，

根据题意得

，即且、均为正整数

则正整数解有，，，

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 反比例函数的图象大致是图中的(    )．

【解析】略

【答案】D

2. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是(    )．

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】略

【答案】C

3. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()是气体体积 ( ) 的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（    ）

A．不小于        B．小于     C．不小于         D．小于

【解析】 设反比例函数关系式为，

将点代入，求得.

∴函数关系式为.当时，.

∴当时，；当时，

【答案】故选C.

4. 已知反比例函数的图像上两点(，)，(，)，当时，有，则的取值范围是_____.

【解析】               根据题意， 反比例函数的图像分布在第一、三象限，即.∴.

【答案】.