【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）12一次函数的应用4.教师版

一、与一次函数有关的图象信息题

【例1】         小红的爷爷饭后出去散步，从家中走分钟到一个离家米的街心花园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家里． 图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是  （    ）

A      B     C     D

【解析】略

【答案】D

【例2】         小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（              ）

A．12分钟         B．15分钟

C．25分钟         D．27分钟

【解析】由题上班是平路用时3分钟走1千米，所以平路的速度是千米/分，同理上坡路的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，所以下班先走上坡路用时分，再走下坡路用时分，最后走平路用时分，所以下班共用时15分钟。

【答案】B

【例3】         某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（   ）

A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟

B．步行的速度是千米/时

C．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟

D．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地

【解析】略

【答案】D

【例4】         某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口

进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示．通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴点到点只进水不出水；⑵点到点不进水只出水，⑶点到点不进水也不出水．其中正确的是（   ）

A．⑴   B．⑶   C．⑴⑶   D．⑴⑵⑶

【解析】由甲图可知进水口每小时进水立方米，由乙图可知出水口每小时出水立方米，看丙图，前小时蓄水量由达到，说明开了两个进水口，关闭出水口，所以⑴对；点到点的一个小时内蓄水量减少立方米，必然是只开一个进水口，同时打开出水口，⑵错；点到点蓄水量不变可能是即不进水，也不出水，也可能同时打开个水口，⑶错．

【答案】A

【例5】         如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长与腰长之间的函数图像为（   ）

【解析】由题意得函数关系式为，根据三角形三边关系，即，得，又因为，所以，确定自变量的取值范围

【答案】A

【例6】         如图，在矩形中，AB=2，，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（    ）

【解析】了解点的运动路线，根据已知矩形的长和宽求出当点运动到点时的值为1，即当为1时的值为1，之后面积保持不变．

【答案】B

1．行程问题

【例7】         汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．现甲、乙两车在一个弯道上相向而行，在相距16米的地方发现情况不对，同时刹车，根据有关资料，甲、乙两车刹车距离（米）与车速（千米/时）之间与如图所示．若甲、乙两车的速度都是60千米/时，两车是否相撞？说说你的理由．

【解析】由题意得：，

当速度均为60千米/时的时候，

千米，千米

        因为千米/时千米/时

        所以两车会相撞

【答案】会

【例8】         右图是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：

⑴汽车在前分钟内的平均速度是         ；

⑵汽车在中途停了多长时间？             ；

⑶当时，求与的函数关系式．

【解析】略

【答案】⑴；⑵分钟；⑶．

【例9】         某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米；4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地带，风速平均每小时增加4千米；此后风速保持不变；当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止（如图所示）．

⑴在沙尘暴从发生到结束的全过程中，0时至10时风速是否在不断变化？什么时间内风速保持不变？

⑵在4时和12时的风速各是多少？图中的A、B分别表示什么？

⑶沙尘暴是经过几个小时后停止的？

【解析】⑴沙尘暴分四个阶段：

小时，风暴平均每小时增加千米/时；

小时，风速平均每小时增加千米/时；

小时，风暴速度保持不变；

小时后风暴速度平均每小时减小千米/时，最终停止．

因此，时至时风速是在不段变化，在时至时的时候，风暴速度保持不变．

⑵由题意，得：

小时：

小时：；

∴时，；时，

∴在时的速度为千米/时，时的速度为千米/时

⑶由题意，得：

小时：；

小时—风暴停止：  ．时，

∴沙尘暴是经过小时后停止的．

【答案】⑴时至时风速是在不段变化，在时至时的时候，风暴速度保持不变；⑵在时的速度为 千米/时，时的速度为千米/时；⑶57

【例10】     2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．

⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？

⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？

【解析】⑴乙队先达到终点，

对于乙队，时，，所以，

对于甲队，出发1小时后，设与关系为，

将，和，分别代入上式得：

  解得：

解方程组 得：，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队．

⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，

乙队追上甲队后，两队的距离是，当为最大，即时，最大，此时最大距离为，（也可以求出的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远

【答案】⑴乙队先达到终点，甲队出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队；⑵甲、乙两

队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远

【例11】     小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．

⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？

⑵小明出发两个半小时离家多远？

⑶小明出发多长时间距家12千米？

【解析】⑴由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时，他离家30千米．

⑵∵小明出发2小时时，离家15千米．由于在CD段小明走的路程为15千米，时间为1小时，故小明这一段的速度为15千米/时．

∴（千米）

∴（千米）

∴小明出发两个半小时离家千米．

⑶由图象可以看出小明从出发到距离家12千米有两个时刻，一是在AB段，二是在EF段，故分两种情况：

①∵小明出发到1小时时，匀速前行，其速度为15千米/时

∴（时），小时48分

②∵小明出发4小时后返回，

∴返回时速度为（千米/时）

∴（时）

时1小时12分

∴4小时+1小时12分5小时12分

故小明出发48分和出发5小时12分时离家都为12千米．

【答案】⑴3小时，30千米；⑵千米；⑶48分或5小时12分

2．方案决策问题

【例12】     A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．

　      ⑴设B市运往C村机器台，求总运费关于的函数关系式；

⑵若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

⑶求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

【解析】由已知条件填出下表：

⑴依题意得函数式：

⑵由，得，

　　     ∴，共有种调运方案．

⑶当时，总运费最低，即从市调台给村，调台给村，从市调台给村，为总运费最低的调运方案，最低运费为元．

【答案】⑴；⑵3；⑶8600

【例13】     某电信局收取网费如下：163网网费为每小时3元，169网网费为每小时2元，但要收取15元月租费．设网费为（元），上网时间是（小时），分别写出和的函数关系式，某网民每月上网19小时，他应选哪种上网方式比较划算？

【解析】和的函数关系式如下：

163网：；169网：．

        在163网中当时，；在169网中当时，；故应该选169网．

【答案】169网

【例14】     某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．

⑴设学生数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；

⑵当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；

⑶就学生数讨论哪家旅行社更优惠．

【解析】⑴， ．

⑵根据题意，得，  解得  ．

答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多．

⑶当，，  解得  ．

当， ，    解得．

答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠．

【答案】⑴， ；⑵当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多；⑶当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠．

【例15】     北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：

⑴若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？

⑵若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？

⑶求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？

【解析】设上海厂运往汉口台，那么上海运往重庆有台，北京厂运往汉口台，北京厂运往重

庆台，则总运费W关于的一次函数关系式：

．

⑴当 （百元）时，则有，解得．

若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台．

⑵当 （元），则

解得，因为只能取整数，所以只有四种可的能值：0、1、2、3．

答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案．

⑶因为一次函数随着的增大而增大，又因为，所以当时，函数有最小值，最小值是 （百元），即最低总运费是7600元．

【答案】⑴4；⑵四种；⑶上海运往重庆有4台，北京厂运往汉口6台，北京厂运往重庆4台，最低总运费是7600元．

【例16】     某种储蓄的月利率是，今存入本金100元，求本息和（本金与利息的和）（元）与所存月数之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和．

【解析】∵利息＝本金×月利率×月数，

　　∴．

　　当时，，即5个月后的本息和为元．

【答案】，5个月后的本息和为元．

【例17】     某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元．由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2．

表1                   表2

商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为（万元）、（万元）、（万元）（都是整数）．

⑴ 请用含的代数式分别表示和；

⑵ 若商场预计每日的总利润为（万元），且满足，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部？各部应分别安排多少名售货员？

【解析】⑴由题意得，解得
⑵．

因为，所以，解得．

因为、、是正整数，且为偶数，所以或10．

当时，，售货员分别为40人，92人，58人；

当时，，售货员分别为50人，80人，60人．

【答案】⑴；⑵当时，，售货员分别为40人，92人，58人；当 时，，售货员分别为50人，80人，60人．

1． 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．

甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本．

乙：按购买金额打九折付款．

某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本本．

⑴写出每种优惠办法实际的金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式；

⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．

【解析】⑴依题意，得

⑵由⑴，有-=；

若，解得；

若->0，解得；

若-<0，解得；

∴当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．

⑶①因为，由⑵知，不考虑单独选用优惠办法甲购买．

若只用优惠办法乙购买10枝毛笔和60本书法练习本，需付款（元）．

②若用优惠办法乙购买枝毛笔，则需用优惠办法甲购买枝毛笔，用优惠办法乙购买本书法练习本．

设付款总额为，

由．

∵随增大而增大，

∴当时，即用优惠办法甲购买10枝毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，取得最小值为（元）

∴选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．

【答案】⑴，；⑵当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．⑶选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．

2. 甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的方案：甲超市累计购买商品超出300元后，超出部分按原价的8折优惠，在已超市累计购买商品超出200元后，超出部分按原价8．5折优惠．设顾客预计累计购物元．（>300）
试比较顾客到哪家超市购物更实惠？说明理由

【解析】设在甲超市所付的购物费用为元，在乙超市所付的购物费用为元，由题意可得，

300+0．8（x-300）=60+0．8x，

当时，解得；

当<，时，解得；

当>，时，解得．

所以当购买多于300元而少于400元的商品时，选择乙超市比较优惠，当购买400元的商品时，两个超市费用相同，选择哪个都可以，当购买商品大于400元时，选择甲超市比较优惠．

【答案】所以当购买多于300元而少于400元的商品时，选择乙超市比较优惠，当购买400元的商品时，两个超市费用相同，选择哪个都可以，当购买商品大于400元时，选择甲超市比较优惠．

3． 抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而库的容量为70吨，库的容量为110吨．从甲、乙两库到两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

⑴若甲库运往库粮食吨，请写出将粮食运往两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．

⑵当甲、乙两库各运往两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

【解析】⑴依题意有：

其中

⑵上述一次函数中

∴随的增大而减小         

∴当吨时，总运费最省

最省的总运费为：

答：从甲库运往库吨粮食，往库运送吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省为元．

【答案】⑴；⑵从甲库运往库吨粮食，往库运送吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省为元．