【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）10函数及图像2.教师版

一、一次函数的概念

一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．

⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

二、一次函数的图象

⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．

 ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

 ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；

 ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．

 ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．

三、一次函数的性质

1．一次函数图象的位置

在一次函数中：

⑴当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．

⑵当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴

交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．

反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．

2．一次函数图象的增减性

    在一次函数中：

⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；

 ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．

一、正比例函数的概念

【例1】           下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）         （2）            （3）

（4）          （5）    （6）

【解析】               （2）符合正比例函数的定义，（1）和（4）可以整理成一次函数的一般形式，而且正比例函数也是一次函数。

【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）是一次函数

【例2】           已知，若y是x的正比例函数，则的值是       ．

【解析】               正比例函数的比例系数且

【答案】4

【例3】           已知与（m,n为常数）成比例，试判断y与x成什么函数关系？

【解析】               依题意，设

整理得：

【答案】y是x一次函数

【巩固】               已知与x成正比例，当时，,求与x之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数。

【解析】               依题意，设，

整理得：

将代入上式，得：

∴

∴

【答案】不是正比例函数，是一次函数

【例4】           函数已知，当m为何值时，y是x的一次函数？

【解析】               依题意，得：，∴

        ∴当时，y是x的一次函数

【答案】

【巩固】               已知，当m取何值时，y是x的正比例函数？

【解析】               ∵正比例函数，所以

∴且

∴当时，是的正比例函数。

【答案】当时，是的正比例函数

【例5】           若是正比例函数，则的值是（　　）

 A、0  B、

 C、  D、

【解析】               由正比例函数的性质可知，函数的常数项应为0，故有，即。

【答案】选C

【例6】           已知函数 (为常数)是正比例函数，则         ．

【解析】               由题意可知，，故． 又因为，，则．

【答案】

二、正比例函数的图像及性质

【例7】           一次函数y=﹣x的图象平分（　　）

 A、第一、三象限  B、第一、二象限

 C、第二、三象限  D、第二、四象限

【解析】       ∵k=﹣1＜0，

∴一次函数y=﹣x的图象经过二、四象限，

∵一次函数y=﹣x的图象平二、四象限．

【答案】选D

【例8】           在平面直角坐标系中，正比例函数的图象的大体位置是（　　）

A．  B．

C． D．

【解析】       根据正比例函数图象的性质，知：当k＜0时，图象是经过二、四象限的一条直线．

【答案】选B

【例9】           下列表示一次函数与正比例函数图象中，一定不正确的是（　　）

A．  B．

C．  D．

【解析】       A、由一次函数的图象可知，m＜0，﹣n＞0，故n＜0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；

B、由一次函数的图象可知，m＜0，﹣n＞0，故n＜0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项正确；

C、由一次函数的图象可知，m＞0，﹣n＞0，故n＜0，mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；

D、由一次函数的图象可知，m＞0，﹣n＜0，故n＞0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项正确．

【答案】选A

【例10】       已知正比例函数 (，为常数)，经过点(2，4)，以下哪个点不在该正比例函数图图象上(  )

A．(-2，-4)   B．(0，0)   C．(1，2)  D．(1，)

【解析】               略

【答案】D

三、一次函数的概念及性质

【例11】       在坐标系中画出下列函数的图象.

⑴；；；⑵；；

【解析】               注意先找符合函数解析式的两点，在坐标系内标出这两点位置，过这两点做直线即可.

从这两组函数图象中注意总结归纳：

⑴直线()可以看成由直线平移得到，所以对于任意，

直线()与直线平行；

根据平行线的传递性,可以对于任意的，，直线与直线平行．

⑵当时，直线从左向右上升，即随着的增大也增大；

当时，直线从左向右下降，即随着的增大反而减小．

⑶当时，直线过一、三象限；当时，直线过二、四象限；

当，时，直线过一、二、三象限；

当，时，直线过一、三、四象限；

当，时，直线过一、二、四象限；

当，时，直线过二、三、四象限.

【答案】见解析

【巩固】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是                 ．

【解析】．我们探究可以发现：越大，越接近于轴；越小，越接近于轴．在各个象限的增大境况如图所示．

【答案】

【例12】       若一次函数的图象经过第一、第二、三象限，求的值．

【解析】               依题意，得：且

∴且

  且

解得且

∴

【答案】

【例13】       若一次函数的图象不经过第一象限，则k的取值范围是       ．

【解析】               由题意，解不等式组得出的取值范围。

【答案】

【例14】       如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（    ）

A.                 B.

C.                 D.

【解析】               一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，画出大致图像，则k>0，b<o

【答案】选B

【例15】       已知点都在直线上，则大小关系是（       ）

A．     B.        C．     D．不能比较

【解析】               考察一次函数的性质，的，则随的增大而减小

【答案】选A

【例16】       一次函数的图象过点，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式                     ．

【解析】               略

【答案】（不唯一）考查一次函数的性质．

【巩固】               已知一次函数的图象过点与，则这个一次函数随的增大而　　　　．

【解析】               减小，设函数的图象过点，∴，∴，一次函数随的增大而减小．

【答案】减小

【例17】     已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（    ）

A．第一、二、三象限     B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限     D．第二、三、四象限

【解析】略

【答案】选A

【巩固】若，，则经过（     ）

A．第一、二、三象限     B．第一、三、四象限

C．第一、二、四象限     D．第二、三、四象限

【解析】根据题意可得，

【答案】选D

【例18】       ⑴将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是                  .

⑵直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是           .

【解析】       若一次函数图像左右平移，与轴正方向相同减，相反加；

上下平移，与轴正方向相同加，相反减.

【答案】⑴；⑵

【例19】       如果直线不经过第四象限，那么　　（填“”、“”、“”）．

【解析】               略

【答案】

【例20】       下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限  (    )

A． B． 

C.     D．

【解析】               略

【答案】选D.

【例21】       已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是          .

【解析】               根据题意可得：，解得．

【答案】

【例22】       已知一次函数 (为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围．

【解析】               由题意可知，解得．

【答案】

【例23】       如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4．若这四直线中，有一直线为方程式的图形，则此直线为何？（　　）

 A、L1  B、L2

 C、L3  D、L4

【解析】               将x=0代入得：，

∴方程式的图形与y轴的交点为（0，3），

将y=0代入得：，

∴方程式的图形与x轴的交点为（﹣5，0），

观察图形可得直线L1与x、y轴的交点恰为（﹣5，0）、（0，3），

∴方程式的图形为直线L1．

【答案】选A．

【习题1】正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条（　　）

 A、射线  B、双曲线

 C、线段  D、直线

【解析】       由正比例函数图象的特点可得：正比例函数的图象是一条过原点的直线．

【答案】选D．

【习题2】函数在  ______　条件下，是的一次函数；在　_________条件下，与成正比例函数．

【解析】               略

【答案】时该函数为一次函数；且时该函数为正比例函数

【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．

【解析】               根据题意可得：，解得，所求一次函数为.

【答案】

【习题4】⑴如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么(    )

A．，   B．， 

 C．，  D．，

⑵已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则(   )

A．   B．，  C．，  D．

⑶已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过(    )

A．第一、二、三象限     B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限     D．第二、三、四象限

⑷如图，一次函数的图象大致是(    )

A     B     C      D

⑸若，，则经过(    )

A．第一、二、三象限     B．第一、三、四象限

C．    第一、二、四象限     D．第二、三、四象限

【解析】               略

【答案】⑴B，⑵A，⑶A，⑷B，⑸C．

【习题5】函数①和②（)在同一坐标系中的图像可能是(     )

【解析】               略

【答案】选D．

【习题6】当的取值范围为_______时，关于的方程至少有个解．

A.       B.

C.    D.

【解析】               略

【答案】选D．