2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷（全国通用）

这是一份2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷（全国通用），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的投影，则等于（ ）
A． B． C．5 D．
2、已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于（ ）
A．3B．6C．－9D．9
3、以下命题中,不正确的命题个数为( )
①已知A、B、C、D是空间任意四点,则A＋B＋C＋D＝0
②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;
③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若O＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.
A.0B.1 C.2D.3
4、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为( )．
A． B． C． D．
5、如图，在四面体ABCD中，已知＝b，＝a，＝c，，则等于( )．
A． B． C． D．
6、长方体的底面是边长为的正方形，若在侧棱上至少存在一点,使得,则侧棱的长的最小值为
A． B． C． D．
7、
如图，在直三棱柱中，，，，分别在，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）。
A． B． C． D．
8、在四棱柱中，平面，底 面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ）
A．对任意的，，存在点，使得
B．当且仅当时，存在点，使得
C．当且仅当时，存在点，使得
D．当且仅当时，存在点，使得
9、△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为( )
A． 5 B． C． 4 D．
10、设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）
A． 钝角三角形 B． 锐角三角形
C． 直角三角形 D． 不确定
11、已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于
A． B． C． D．
12、点是正方形所在平面外的一点，⊥平面，，则与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥，则的值为______
14、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.
15、如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,P是底面A1B1C1D1的中心,M是CD的中点,则P到平面AMD1的距离为__________．
16、在直三棱柱中，．有下列条件：
①；②；③．其中能成为
的充要条件的是（填上该条件的序号）________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以为邻边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.
18、（本小题满分12分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
19、（本小题满分12分）已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求点D的坐标;
(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
20、（本小题满分12分）在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.
21、（本小题满分12分）已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a分别与向量垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
22、（本小题满分12分）四棱锥中，，且平面，，，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
1、答案C
2、答案C
由题意可得，可得，即可得出．
详解
由题意可得，
，
解得．
故选：．
3、答案B
4、答案C
建立如图所示的坐标系，

则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F．
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则，，即(x，y，z)·(－a,0,0)＝0，(x，y，z)·＝0，
∴－ax＝0，．
∴x＝0，．
∴n＝．
∴
＝．
5、答案A
＝＋＋＝＋＋(－)＝．
6、答案B
以D为原点，分别为轴建立坐标系，设侧棱长为b，则
，所以侧棱长的最小值为
7、答案C
详解：设，
由题意可知：，且，
由向量的运算法则有：，，
则，
据此可得：.
本题选择C选项.
8、答案D
以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，则，，，设，
所以，，
所以，令，，由得，
所以当且仅当时，存在点，使得，故选项D正确.
9、答案A
设＝λ，又＝(0,4，－3)，
则＝(0,4λ，－3λ)，
＝(4，－5,0)，
＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
由·＝0.
得λ＝－，∴＝(－4，，)．
∴||＝5.
10、答案B
依题意可知两两垂直，不妨设且，则在中有，根据，可知中，最大为，所以中，最大内角为，而，所以，所以为锐角，进而可知为锐角三角形，故选B.
11、答案D
因为三向量共面，所以，则，所以，解得，故选D
12、答案C
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在线为轴，所在线为轴，建立空间坐标系，因为点在正方形所在平面外，平面，，令，所以有，所以，所以
，所以与所成角的大小为，故选C．
，
13、答案-4
详解：设平面的法向量，平面的法向量，
因为∥，所以，所以存在实数，使得，
所以有，解得，故答案为.
14、答案
结合图形将向量用基底表示，然后根据空间向量基本定理并结合条件比较后得到的值，进而可得所求结果．
详解
由平行六面体ABCD-A1B1C1D1，得，
又，
所以
解得，
所以．
故答案为．
15、答案
16、答案①、③
17、答案（1）；（2）或
详解
(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
所以cs=.
于是sin=.
故以为邻边的平行四边形的面积为
S=||||sin=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),由题意得
解得
故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
18、答案：：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
详解
(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
19、答案（1）；（2）
详解
(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因为,
所以
解得即D(-1,1,2).
(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).
假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.
20、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.
详解
,在图中表示如下图所示。
21、答案（1）；（2）或
详解
(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||=,||=,cs∠BAC==,∴∠BAC=60°,
∴S=||·||sin∠BAC=7.
(2)设向量a=(x,y,z),则由a·=0,a·=0,|a|=,得
∴或
∴a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).
22、答案(1)证明见；(2).
试题（1）取中点，连接、，
∵是中点，∴，且.
又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴平面，∴，∴平面，∴平面.
（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.
各点坐标为，，，，，.
可得，，，；
设平面的法向量，则得，
取，
设平面的法向量，则得，
取，
于是，
注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.