2020届二轮复习(文) 函数的图象与性质、函数与方程 作业 练习

专题限时集训(十二)　函数的图象与性质、函数与方程

(建议用时：40分钟)

1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)

A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1

A　[因为f(x)＝

所以f(－2)＝－(－2)＝2，

所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.]

2．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[要使函数y＝有意义，

需满足即

解得≤x＜2.]

3．[一题多解]设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为(　　)

A．－1  B．1  C．2  D．－2

A　[法一：因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.

法二：因为f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.]

4．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1   B．e－x＋1

C．－e－x－1   D．－e－x＋1

D　[当x<0时，－x>0，

∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.

又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.

故选D.]

5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且a＝－f，b＝f(log39.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c   B．c＞b＞a

C．b＞a＞c   D．c＞a＞b

B　[∵f(x)是奇函数，

∴a＝－f＝f＝f(log310)．又∵log310＞log39.1＞log39＝2＞20.8，且f(x)在R上单调递减，

∴f(log310)＜f(log39.1)＜f(20.8)，

即c＞b＞a，故选B.]

6．[易错题]已知函数f(x)在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由已知得f(3x－2)＜f(x－1)，

∴解得＜x＜1，故选B.]

7．(2019·洛阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

A　[由题意知，函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C、D，又f＝＜0，故排除选项B.]

8．(2019·唐山模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝(　　)

A．0  B．1  C．－1  D．2

C　[由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C.]

9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝x；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是(　　)

A．①②③④   B．①③④

C．①④   D．④

C　[对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；

对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；

对于函数h(x)＝x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.]

10．[易错题]如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数t＝f(x)的图象大致为(　　)

D　[当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A，B，C，故选D.]

11．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞－e2的x的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)   B．(－1，＋∞)

C．(2，＋∞)   D．(3，＋∞)

B　[由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.]

12．[易错题]已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x＜1时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

B　[依题意，可知函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|的图象的交点个数．

设－1≤x＜0，则0≤x＋1＜1，

此时有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)，

又由f(x＋1)＝－f(x)，

得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

即函数f(x)是以2为周期的周期函数．

而y＝ln|x|＝在同一坐标系中作出函数y＝f(x)的图象与y＝ln|x|的图象如图所示，由图可知，两图象有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－ln|x|有3个零点，故选B.

]

13．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.

－4　[由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]

14．已知函数f(x)的图象关于点(－3,2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________．

(－4，－1)　[函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(－4，－1)．]

15．(2019·深圳模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数y＝f(x＋1)为奇函数，当0≤x＜1时，f(x)＝x2，则f＝________.

－　[因为f(x)是R上的偶函数，y＝f(x＋1)为奇函数，

所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，

所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，

因为0≤x＜1时，f(x)＝x2，所以f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－.]

16．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

(0,1]　[当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.

因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0，得a＝2x，

因为0＜2x≤20＝1，以0＜a≤1.]

【押题1】　某市建造了一个如图所示的公园，图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，某运动员P从A点出发，沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记运动员P运动的路程为x，设y＝||2，y与x的函数关系为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是(　　)

A　[当x∈[0，π]时，y＝1.

当x∈(π，2π)时，＝－，设与的夹角为θ，||＝1，||＝2，易知θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，x∈(π，2π)，所以函数f(x)在(π，2π)上单调递增，且在该区间上f(x)的图象是曲线，排除C，D.

当x∈[2π，4π)时，因为＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，易知α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos x，x∈[2π，4π)，所以函数f(x)在[2π，4π)上单调递减，且在该区间上f(x)的图象是曲线，排除B.故选A.]

【押题2】　已知函数f(x)＝aln x－2x，若不等式f(x＋1)＞ax－2ex在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤2　 B．a≥1

C．a≤0   D．0≤a≤2

A　[f(ex)＝ax－2ex，所以f(x＋1)＞ax－2ex在(0，＋∞)上恒成立等价于f(x＋1)＞f(ex)在(0，＋∞)上恒成立．

因为x∈(0，＋∞)时，1＜x＋1＜ex，

所以只需f(x)在(1，＋∞)上单调递减，即x＞1时，f′(x)≤0恒成立，即x＞1时，≤2恒成立．

所以a≤2x，所以a≤2.故选A. ]