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2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角的概念与蝗制任意角的三角函数课件新人教B版202011231176
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这是一份2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角的概念与蝗制任意角的三角函数课件新人教B版202011231176，共48页。PPT课件主要包含了内容索引，半径长，α·r，2三角函数线，易错点索引，解题导思等内容，欢迎下载使用。
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【教材·知识梳理】1.任意角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向分为___角、___角、___角；按终边位置分为_____角、_____角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S={β|β=__________________}.
α+k·360°，k∈Z
2.弧度制(1)长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；1弧度=______.(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l=______，扇形的面积为S=______=__________.
3.任意角的三角函数(1)定义设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sin α= ，cs α= ，tan α= .(x≠0).
【常用结论】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.2.两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用.
3.一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sin α= ，cs α= ，tan α= .
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )
提示：(1)×.锐角的取值范围是 .(2)×.第一象限角不一定是锐角.(3)×.顺时针旋转得到的角是负角.(4)×.终边相同的角不一定相等.
【教材·基础自测】1.(必修4P5例2改编)角-870°的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.-870°=-2×360°-150°，-870°和-150°的终边相同，所以-870°的终边在第三象限.
2.(必修4P12练习BT5改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+ π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+ (k∈Z)【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°(k∈Z).
3.(必修4P17练习AT1改编)已知角α的终边过点P(8m,3),且cs α=- ,则m的值为( )A.- B. C.- D. 【解析】选A.由已知得m<0且 ,解得m=- .
4.(必修4P6例4改编)在-720°～0°范围内,所有与角α=45°终边相同的角β构成的集合为________. 【解析】所有与角α终边相同的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z).解得k=-2或k=-1,所以β=-675°或β=-315°.答案:{-675°,-315°}
考点一 象限角与终边相同的角 【题组练透】 1.若角α是第二象限角,则 是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
2.(2019·长春一模)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=- x上,则角α的取值集合是( ) 3.下列各角中,与角330°的终边相同的是( )A.150° B.-390° C.510° D.-150°4.与-2 010°终边相同的最小正角是________.世纪金榜导学号
【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以 +kπ< +kπ,k∈Z.当k为偶数时, 是第一象限角;当k为奇数时, 是第三象限角.综上, 是第一或第三象限角.2.选D.因为直线y=- x的倾斜角是 ,所以终边落在直线y=- x上的角的取值集合为 3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.
4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°.答案:150°
【规律方法】 1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
3.求 或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到 或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.
【秒杀绝招】 结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则 是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则 是第二或第四象限角.排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=- x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.
考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式 【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.
【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图. 由sin 60°= 得r=4 cm,所以l=|α|·r= (cm).答案: π
2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S= lr= (20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).答案:2
【规律方法】 有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式训练】 1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.【解析】设圆心角是θ,半径是r,则 所以扇形的圆心角为 rad.
2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.又S= θr2= r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
考点三 任意角三角函数的定义及应用
命题角度1三角函数符号判断【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cs θ<0, >0,则角θ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由 >0,所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0,所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.
【解后反思】知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?提示:知sin θ,cs θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限.
命题角度2比较大小、解不等式【典例】1.设a=sin 33°,b=cs 55°,c=tan 35°,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b2.(2020·长春模拟)已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则( )A.α>βB.α<βC.cs α>cs βD.tan α>tan β
【解析】1.选A.b=cs 55°=sin 35°>sin 33°=a,c=tan 35°>sin 35°=b,所以c>b>a.2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sin α>0,sin β>0,又sin α>sin β,所以sin2α>sin2β>0,所以1-cs2α>1-cs2β,所以cs2α0,所以tan2α>tan2β,因为tan α>0,tan β>0,所以tan α>tan β.
【解后反思】三角函数式如何比较大小?提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.
命题角度3运用定义求值【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cs α<0,则tan α=________. 2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cs α= x,则tan α=________.世纪金榜导学号
【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α= =-1. 答案:-1
2.因为α是第二象限角,所以cs α= x<0,即x<0.又cs α= x= ,解得x=-3,所以tan α= 答案:-
【解后反思】如何运用三角函数定义求三角函数值?提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
【题组通关】【变式巩固·练】1.若tan α>0,则( )A.sin 2α>0B.cs α>0C.sin α>0D.cs 2α>0【解析】选A.因为tan α>0,所以α∈ (k∈Z)是第一、三象限角.所以sin α,cs α都可正、可负,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取α= ,则tan α=1>0,而cs 2α=0,所以D不正确.
2.若角θ的终边经过点P(- ,m)(m≠0)且sin θ= m,则cs θ的值为____. 【解析】由已知r= ,所以sin θ= ,因为m≠0,所以m=± ,所以r= ,所以cs θ= 答案:-
3.函数y=lg sin x+ 的定义域为________. 【解析】要使函数有意义,则有 即 所以2kπ
2.已知角α的终边过点P(-3cs θ,4cs θ),其中θ∈ ,则sin α=___,tan α=________. 【解析】因为θ∈ ,所以cs θ<0,所以r= =-5cs θ,所以sin α= ,tan α= .答案:-
核心素养 直观想象——利用三角函数线解不等式 【典例】函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________. 【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x< ,所以-
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
【教材·知识梳理】1.任意角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向分为___角、___角、___角；按终边位置分为_____角、_____角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S={β|β=__________________}.
α+k·360°，k∈Z
2.弧度制(1)长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；1弧度=______.(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l=______，扇形的面积为S=______=__________.
3.任意角的三角函数(1)定义设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sin α= ，cs α= ，tan α= .(x≠0).
【常用结论】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.2.两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用.
3.一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sin α= ，cs α= ，tan α= .
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )
提示：(1)×.锐角的取值范围是 .(2)×.第一象限角不一定是锐角.(3)×.顺时针旋转得到的角是负角.(4)×.终边相同的角不一定相等.
【教材·基础自测】1.(必修4P5例2改编)角-870°的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.-870°=-2×360°-150°，-870°和-150°的终边相同，所以-870°的终边在第三象限.
2.(必修4P12练习BT5改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+ π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+ (k∈Z)【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°(k∈Z).
3.(必修4P17练习AT1改编)已知角α的终边过点P(8m,3),且cs α=- ,则m的值为( )A.- B. C.- D. 【解析】选A.由已知得m<0且 ,解得m=- .
4.(必修4P6例4改编)在-720°～0°范围内,所有与角α=45°终边相同的角β构成的集合为________. 【解析】所有与角α终边相同的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z).解得k=-2或k=-1,所以β=-675°或β=-315°.答案:{-675°,-315°}
考点一 象限角与终边相同的角 【题组练透】 1.若角α是第二象限角,则 是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
2.(2019·长春一模)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=- x上,则角α的取值集合是( ) 3.下列各角中,与角330°的终边相同的是( )A.150° B.-390° C.510° D.-150°4.与-2 010°终边相同的最小正角是________.世纪金榜导学号
【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以 +kπ< +kπ,k∈Z.当k为偶数时, 是第一象限角;当k为奇数时, 是第三象限角.综上, 是第一或第三象限角.2.选D.因为直线y=- x的倾斜角是 ,所以终边落在直线y=- x上的角的取值集合为 3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.
4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°.答案:150°
【规律方法】 1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
3.求 或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到 或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.
【秒杀绝招】 结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则 是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则 是第二或第四象限角.排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=- x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.
考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式 【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.
【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图. 由sin 60°= 得r=4 cm,所以l=|α|·r= (cm).答案: π
2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S= lr= (20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).答案:2
【规律方法】 有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式训练】 1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.【解析】设圆心角是θ,半径是r,则 所以扇形的圆心角为 rad.
2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.又S= θr2= r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
考点三 任意角三角函数的定义及应用
命题角度1三角函数符号判断【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cs θ<0, >0,则角θ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由 >0,所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0,所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.
【解后反思】知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?提示:知sin θ,cs θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限.
命题角度2比较大小、解不等式【典例】1.设a=sin 33°,b=cs 55°,c=tan 35°,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b2.(2020·长春模拟)已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则( )A.α>βB.α<βC.cs α>cs βD.tan α>tan β
【解析】1.选A.b=cs 55°=sin 35°>sin 33°=a,c=tan 35°>sin 35°=b,所以c>b>a.2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sin α>0,sin β>0,又sin α>sin β,所以sin2α>sin2β>0,所以1-cs2α>1-cs2β,所以cs2α
【解后反思】三角函数式如何比较大小?提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.
命题角度3运用定义求值【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cs α<0,则tan α=________. 2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cs α= x,则tan α=________.世纪金榜导学号
【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α= =-1. 答案:-1
2.因为α是第二象限角,所以cs α= x<0,即x<0.又cs α= x= ,解得x=-3,所以tan α= 答案:-
【解后反思】如何运用三角函数定义求三角函数值?提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
【题组通关】【变式巩固·练】1.若tan α>0,则( )A.sin 2α>0B.cs α>0C.sin α>0D.cs 2α>0【解析】选A.因为tan α>0,所以α∈ (k∈Z)是第一、三象限角.所以sin α,cs α都可正、可负,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取α= ,则tan α=1>0,而cs 2α=0,所以D不正确.
2.若角θ的终边经过点P(- ,m)(m≠0)且sin θ= m,则cs θ的值为____. 【解析】由已知r= ,所以sin θ= ,因为m≠0,所以m=± ,所以r= ,所以cs θ= 答案:-
3.函数y=lg sin x+ 的定义域为________. 【解析】要使函数有意义,则有 即 所以2kπ
2.已知角α的终边过点P(-3cs θ,4cs θ),其中θ∈ ,则sin α=___,tan α=________. 【解析】因为θ∈ ,所以cs θ<0,所以r= =-5cs θ,所以sin α= ,tan α= .答案:-
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