第40讲 直线与平面、平面与平面平行-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第40讲：直线与平面、平面与平面平行

一、课程标准

1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；  

2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．

(2)判定定理与性质定理

2. 平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面．

(2)判定定理与性质定理

3. 与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b．

(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β．

三、自主热身、归纳总结

1、 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（    ）

A. 平行         B. 相交       C. 异面     D. 以上都有可能

2、设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3、已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：

①α内任意不共线的三点到β的距离都相等；

②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；

③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；

其中可以判定α∥β的是（    ）

A. ①  B. ②  C. ①③  D. ③

4、 在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是________．(填序号)

①AD1∥BC1；

②平面AB1D1∥平面BDC1；

③AD1∥DC1；

④AD1∥平面BDC1.

5、(多选)下列命题正确的是(　　)

A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内

B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交

C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面

D．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b

6、(多选)如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是(　　)

A．MB是定值

B．点M在圆上运动

C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C

D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE

7、(一题两空)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________(填序号)．

四、例题选讲

考点一　直线与平面平行的判定

例1　如图，四边形ABCD是平行四边形，AF∥DE，DE＝2AF.求证：AC∥平面BEF.

变式1、如图，在四棱锥E­ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．

证明：AF∥平面BCE.

变式2、（陕西西安中学2019届高三质检）如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：

(1)AD1∥平面BDC1；

(2)BD∥平面AB1D1.

变式3、如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上一点．求证：

(1) AP∥平面BEF；

(2) GH∥平面PAD.

变式4、（2020年届高三徐州模拟）如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：

(1)AP∥平面BEF；

(2)GH∥平面PAD.

方法总结：线面平行问题的解题关键

(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行．

(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

考点二   面面平行的判定与性质

例2、　已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．

求证：平面BEF∥平面AD1C1.

变式1、（2020年南通学情调研）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

变式2、如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1) BE∥平面DMF；

(2) 平面BDE∥平面MNG.

方法总结：证明面面平行的常用方法

(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；

(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．

考点三 平行关系的综合应用

例3、在三棱柱ABC－A1B1C1中， (1)若 E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

(2) 若点D，D1分别是AC，

A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值．

变式1、（湖北荆州中学2019届高三模拟）如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.

(1)求证：EF∥平面β；

(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．

变式2、如图，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，试问在棱AB上是否存在一点E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

变式3、 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．

(1) 证明：PB∥平面AEC；

(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．

方法总结：（1）利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．

（2）探索性问题要根据题目确立成立的条件，然后当成已知进行证明。

五、优化提升与真题演练

1、【2019年高考全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行    

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

2、【2019年高考北京卷】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m； ②m∥；  ③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

3、（2020年淮阴中学月考）已知直线、和平面，下列说法中不正确的有　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．若，，则 

D．直线平行于平面内的无数条直线，则

4、(一题两空)如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．

(1)若BC1∥平面AB1D1，则＝________；

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝________.

5、如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

6、如图，四棱锥P－ABCD

中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD.

(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．