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【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试21 平行四边形（培优提高）（教师版）
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专题21 平行四边形（专题测试-提高）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2019·江西中考模拟）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
2．（2018·广西中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
【答案】C
【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，
则有PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC=6，BD=6，
∴AB=，
由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M，
解得：E′M=2，
即PE+PM的最小值是2，
故选C．
3．（2019·常州市第三中学中考模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的面积是
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】
过点D作DE⊥AC于点E，
∵在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝,
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD•sin∠α＝3× ＝1.5，
∴S△ACD＝ AC•DE＝ ×8×1.5＝6，
∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12．
故答案选：D．
4．（2018·四川中考真题）如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选D．
5．（2018·湖北中考模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=2，BD=4，则OE的长为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．4
【答案】D
【详解】
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
.
故选：.
6．（2019·福建中考模拟）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
7．（2019·山东中考模拟）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=PG=×=，
故选：C．
8．（2014·广东中考模拟）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
如图
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
9．（2018·浙江中考真题）用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】C
【解析】
由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．
详解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．
故选C．
10．（2018·陕西中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9，则S1的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．3
【答案】D
【详解】
∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．
∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=3．
∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=3，∴S1=3．
故选D．
11．（2015·河北中考模拟）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AB=4，AE=1，
∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AD∥EF∥BC，
又∵EH∥FC，
∴四边形EFCH平行四边形，
∴EF=CH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，
∴AB﹣AE=BC﹣CH，
∴BE=BH=3．
故选C．
12．（2018·陕西中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝EF B．AB＝2EF C．AB＝EF D．AB＝EF
【答案】D
【详解】连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH=BD，EF=AC，
∵EH=2EF，
∴OA=EF，OB=2OA=2EF，
在Rt△AOB中，AB==EF，
故选D.
二、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处, 折痕为AF，若CD=6，则AF等于__________.
【答案】4
【解析】
由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
∵CD=6，E为CD中点，
∴ED=3，
在Rt△ADE中，
∵AE=AB=CD=6，
∴DE=AE,
∴∠EAD=30°，
∴∠FAE= (90°−30°)=30°，
在Rt△AFE中，
设FE=x，则AF=2x，
,根据勾股定理得，
，
即(2x)2=62+x2，
解得，,x1=2，x2=−2 (舍去).
∴AF=2x=4.
故答案为：4.
14．（2017·湖北中考真题）如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
【答案】30°.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，∠ABC=∠D
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠DAB=80°, ∠ABC=100°
又∵∠DAB的平分线交DC于点E
∴∠EAD=∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠ABE=(180°-40°)=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.
15．（2018·天津中考模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
【答案】a+c
【详解】
解：
∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即，AB2+DE2=AC2，
∵S3=AB2，S4=DE2
∴S3+S4=c
同理S1+S2=a
故可得S1+S2+S3+S4=a+c，
故答案是： a+c．
16．（2016·新疆中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
【答案】24.
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
17．（2018·吉林中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．
【答案】20
【详解】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，
∴AE=3，BE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
三、 解答题（共4小题，每小题8分，共32分）
18．（2019·山东中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB=2，求△AFD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S△ADF=．
【详解】（1）∵AB与AG关于AE对称，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，
∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，
∴AF=EF=DF，
∵AE与AF关于AG对称，
∴AE=AF，
则AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形；
（2）记AG、EF交点为H，
∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，
∴∠EAG=30°，AG⊥EF，
∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，
∵AB=2，
∴BE=1、DF=AF=AE=，
则EH=AE=、AH=，
∴S△ADF=×．
19．（2019·江苏中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
∵AD=BC，
DE=BF，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
20．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）10．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，
在△AEF与△CDF中，
∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，
∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，
∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，
∵△AEF≌△CDF，
∴AF=CF，EF=DF，
∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，
∴DF=3，∴EF=3，
∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．
21．（2018·广西中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形.理由见解析；（3）当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形,理由:见解析.
【详解】
（1）证明：∵MN∥AB，
∴EC∥AD．
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵ D是AB中点，
∴DB=DA
又∵MN∥AB，CE=AD
∴DB= CE，DB ∥ CE
∴四边形BDCE是平行四边形
又∵DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2019·江西中考模拟）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
2．（2018·广西中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
【答案】C
【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，
则有PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC=6，BD=6，
∴AB=，
由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M，
解得：E′M=2，
即PE+PM的最小值是2，
故选C．
3．（2019·常州市第三中学中考模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的面积是
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】
过点D作DE⊥AC于点E，
∵在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝,
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD•sin∠α＝3× ＝1.5，
∴S△ACD＝ AC•DE＝ ×8×1.5＝6，
∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12．
故答案选：D．
4．（2018·四川中考真题）如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选D．
5．（2018·湖北中考模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=2，BD=4，则OE的长为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．4
【答案】D
【详解】
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
.
故选：.
6．（2019·福建中考模拟）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
7．（2019·山东中考模拟）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=PG=×=，
故选：C．
8．（2014·广东中考模拟）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
如图
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
9．（2018·浙江中考真题）用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】C
【解析】
由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．
详解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．
故选C．
10．（2018·陕西中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9，则S1的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．3
【答案】D
【详解】
∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．
∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=3．
∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=3，∴S1=3．
故选D．
11．（2015·河北中考模拟）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AB=4，AE=1，
∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AD∥EF∥BC，
又∵EH∥FC，
∴四边形EFCH平行四边形，
∴EF=CH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，
∴AB﹣AE=BC﹣CH，
∴BE=BH=3．
故选C．
12．（2018·陕西中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝EF B．AB＝2EF C．AB＝EF D．AB＝EF
【答案】D
【详解】连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH=BD，EF=AC，
∵EH=2EF，
∴OA=EF，OB=2OA=2EF，
在Rt△AOB中，AB==EF，
故选D.
二、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处, 折痕为AF，若CD=6，则AF等于__________.
【答案】4
【解析】
由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
∵CD=6，E为CD中点，
∴ED=3，
在Rt△ADE中，
∵AE=AB=CD=6，
∴DE=AE,
∴∠EAD=30°，
∴∠FAE= (90°−30°)=30°，
在Rt△AFE中，
设FE=x，则AF=2x，
,根据勾股定理得，
，
即(2x)2=62+x2，
解得，,x1=2，x2=−2 (舍去).
∴AF=2x=4.
故答案为：4.
14．（2017·湖北中考真题）如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
【答案】30°.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，∠ABC=∠D
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠DAB=80°, ∠ABC=100°
又∵∠DAB的平分线交DC于点E
∴∠EAD=∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠ABE=(180°-40°)=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.
15．（2018·天津中考模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
【答案】a+c
【详解】
解：
∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即，AB2+DE2=AC2，
∵S3=AB2，S4=DE2
∴S3+S4=c
同理S1+S2=a
故可得S1+S2+S3+S4=a+c，
故答案是： a+c．
16．（2016·新疆中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
【答案】24.
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
17．（2018·吉林中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．
【答案】20
【详解】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，
∴AE=3，BE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
三、 解答题（共4小题，每小题8分，共32分）
18．（2019·山东中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB=2，求△AFD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S△ADF=．
【详解】（1）∵AB与AG关于AE对称，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，
∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，
∴AF=EF=DF，
∵AE与AF关于AG对称，
∴AE=AF，
则AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形；
（2）记AG、EF交点为H，
∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，
∴∠EAG=30°，AG⊥EF，
∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，
∵AB=2，
∴BE=1、DF=AF=AE=，
则EH=AE=、AH=，
∴S△ADF=×．
19．（2019·江苏中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
∵AD=BC，
DE=BF，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
20．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）10．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，
在△AEF与△CDF中，
∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，
∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，
∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，
∵△AEF≌△CDF，
∴AF=CF，EF=DF，
∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，
∴DF=3，∴EF=3，
∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．
21．（2018·广西中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形.理由见解析；（3）当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形,理由:见解析.
【详解】
（1）证明：∵MN∥AB，
∴EC∥AD．
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵ D是AB中点，
∴DB=DA
又∵MN∥AB，CE=AD
∴DB= CE，DB ∥ CE
∴四边形BDCE是平行四边形
又∵DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
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