2021新高考数学二轮总复习专题七解析几何7.3直线圆圆锥曲线小综合题专项练学案含解析

7.3　直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练

必备知识精要梳理

1.直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定.

2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.判定方法是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系.

3.焦半径公式

(1)设M(x,y)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,其焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex(其中e是离心率).

(2)设M(x,y)是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,其焦点为F1(-c,0),F2(c,0),e为双曲线的离心率.

点M(x,y)在右支上,|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;

点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a).

(3)已知抛物线y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F为焦点.

①焦半径|CF|=x1+;

②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;

③x1x2=,y1y2=-p2.

4.椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论

(1)设M(x,y)是椭圆=1(a>b>0)弦AB(AB不平行于y轴)的中点,则有kAB·kOM=-;

(2)设M(x,y)是双曲线=1(a>0,b>0)弦AB(AB不平行于y轴)的中点,则有kAB·kOM=.

5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程

(1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;

(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

(3)过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一点P(x0,y0)的切线方程为Ax0x+By0y+D·+E·+F=0.

考向训练限时通关

1.(2020全国Ⅰ,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)

A. B.3 C. D.2

2.(2020全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为              (　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

3.(2020全国Ⅲ,理11)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

4.(2020山东济宁一模,5)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A. B. C.2 D.3

5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为(　　)

A. B.2 C. D.2

6.(2020山东,13)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

7.(2020河南广东等省4月联考,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(3,2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|NM|等于(　　)

A.1∶2 B.1∶3 

C.1∶4 D.1∶

8.(2020山东济南一模,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且与抛物线交于A,B两点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若|AB|=8,则|PQ|=              (　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

9.(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是(　　)

A. B. C. D.

10.

(2020山东潍坊一模,8)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,2是抛物线C上一点.以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q,与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,B,|AB|=|PQ|,直线PF与抛物线C的另一交点为M,若|PF|=|PQ|,则=(　　)

A.1 B. C.2 D.

11.(多选)(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)

A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆,其半径为

C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

12.(2020上海闵行模拟,15)已知抛物线的方程为y2=4x,过其焦点F的直线交此抛物线于M,N两点,交y轴于点E,若=λ1=λ2,则λ1+λ2=(　　)

A.-2 B.- C.1 D.-1

13.(多选)(2020山东聊城一模,10)若双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则下列结论正确的是(　　)

A.C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4

B.C的离心率为

C.C上的点到点F距离的最小值为2

D.过F的最短的弦长为

14.(多选)(2020山东烟台一模,10)已知P是双曲线C:=1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|≥t恒成立,且实数t的最大值为,则下列说法正确的是(　　)

A.双曲线的方程为-y2=1

B.双曲线的离心率为2

C.函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象恒过C的一个焦点

D.直线2x-3y=0与C有两个交点

7.3　直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练

考向训练·限时通关

1.B　解析由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).

因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.

由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3.

2.B　解析由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x.

因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以S△ODE=2b·a=ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号.所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.

3.A　解析不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,解得a=1.

4.A　解析双曲线C:=1的右焦点为F(,0),渐近线方程为y=±x,设P(x,y)在第一象限,由|PO|=|PF|,P在直线y=x上,可得,解得x=,y=,即P所以△PFO的面积为

故选A.

5.

A　解析S四边形APBC=2S△PBC=2BC·PB=BC,,

圆心(2,0)到直线3x-4y+4=0的距离d==2,所以PC的最小值是d=2,所以S四边形APBC故选A.

6.

　解析如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.

|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1++x2+=x1+x2+p.

由得3x2-10x+3=0,∴x1+x2=,∴|AB|=+2=

7.C　解析∵F(1,0),M(3,2),∴直线MF的方程是y=(x-1).由解得x1=3,x2=

故选C.

8.B　解析由题意,直线AB的斜率必定存在.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),

画出图形,可知PF⊥AB,AM=AF,设AB:y=k(x-1)与抛物线方程联立,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,线段AB的中点为Q.若|AB|=8,即x1+x2+p=8,即+2=8,解得k=±1,不妨取k=1.中点Q的横坐标为=3,则Q(3,2),直线PF的斜率为-1,过点F(1,0),则其方程为y=-x+1与x=-1联立解得P(-1,2),

所以PQ==4.故选B.

9.C　解析如图,作BP⊥l,AQ⊥l,垂足分别为P,Q.连接AF,BF,设|AF|=a,|BF|=b.

由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,即|MN|=

由余弦定理,得|AB|2=a2+b2.

2abcos120°=a2+b2+ab,配方,得|AB|2=(a+b)2-ab.又∵ab,当且仅当a=b时,等号成立.∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,得到|AB|(a+b).所以,即的最大值为故选C.

10.B　解析设圆的半径为r,则|AB|=|PQ|=|PB|=|PA|=r,∴△PAB为正三角形,∴x0=,由抛物线的定义可知,|PF|=x0+,

又|PF|=|PQ|,r,化简得:

∵P,F,

∴直线PF的方程为y=,

联立消去y可得

x2-x+=0,

由韦达定理可知,

x0xM=,∴xM=

由抛物线的定义可知,|FM|=xM+,故选B.

11.ACD　解析∵mx2+ny2=1,=1.∵m>n>0,>0,∴C是焦点在y轴上的椭圆,A正确;∵m=n>0,∴x2+y2=,即C是圆,∴r=,B错误;由mx2+ny2=1,得=1,∵mn<0,异号,∴C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y2=-x2,即y=±x,C正确;当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=,即y=±,表示两条直线,D正确,故选ACD.

12.D　解析根据题意直线MN存在斜率,易知F(1,0).设直线MN的方程为

y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),

所以E(0,-k),联立整理可得

k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,因为=λ1=λ2,即(x1,y1+k)=λ1(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=λ2(1-x2,-y2)

所以λ1(1-x1)=x1,λ2(1-x2)=x2,即有λ1=,λ2=

所以λ1+λ2=

==-1.

13.AC　解析由题意可得2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,b==4,右焦点F(5,0),渐近线的方程为4x-3y=0,所以C的渐近线上的点到点F距离的最小值为点F到渐近线的距离,为b=4,所以选项A正确;离心率e=,所以选项B不正确;双曲线上的点为顶点时到相应焦点的距离最小,为5-3=2,所以选项C正确;若过点F的直线与双曲线的右支相交于两点,则当这条直线垂直于x轴时,弦长最短,为;若过点F的直线与双曲线的左、右两支相交于两点,则当这条直线与x轴重合时,弦长最短,为2a=6.

由于6<,所以最短的弦长为6,故选项D不正确.故选AC.

14.AC　解析设A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(x,y),则=1,=1.两式相减得:

,

即,

∴|k1|+|k2|=+=+≥2,

又因为t的最大值为,所以2,所以m=1.故双曲线的方程为-y2=1.故选项A正确;∴双曲线的离心率e=,故选项B错误;该双曲线的焦点为(±2,0),函数y=loga(x-1)的图象恒过点(2,0),故选项C正确;又双曲线的渐近线为y=±x,直线2x-3y=0的斜率,且该直线过原点,所以直线与双曲线没有交点,故选项D错误.故选AC.