专题1.1 有理数（包括数的整除）（附答案）

备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
专题1.1 有理数（包括数的整除）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．

一、选择题（每题4分，共24分）
1．（2020·上海初三二模）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2．（2020·上海黄浦·初三二模）下列正整数中，属于素数的是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2020·上海嘉定·初三二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是(　　)
A．﹣4 B． C． D．50%
4．（2020·上海徐汇·初三二模）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·上海杨浦·中考模拟）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是( )

A． B．
C． D．
6．下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（2019·湖南中考模拟）﹣的倒数是____．
8．在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．
9．既不是正数也不是负数的数是 .
10．（2018·广东广州·中考模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________

11．（2020·山东初三三模）若 与 互为相反数，则的值为________________．
12．（2020·江苏初三一模）－3的相反数是______；的倒数是_______．
13．（2019·江苏中考模拟）计算：|﹣2|=　 　．
14．（2020·广东初三其他）计算： ____________．
15．（2018·贵州黔南·中考模拟）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为_____．

16．（2018·上海零模）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
17．（2020·河北邯郸·初三其他）对于任意非零实数、，规定，例如：，则______（填“”，或“”或“”）若，则______．
18．（2017·上海闵行·中考模拟）如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．

三、解答题
19．（2020·上海青浦·初三二模）计算：．
20．（2020·上海松江·初三二模）计算： ．
21．（2019·陕西西安·中考模拟）计算：
22．（2020·创A教育扬帆初中二模）在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为4．
（1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：
①此时点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　；
②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
23．（2020·兰州市第四十九中学二模）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a　 　；b　 　；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为　 　；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？

24．（2020·江西初三一模）若，且一元二次方程有实数根，求的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a,b满足

（1）填空：a= ,b= ；
（2）如果在第三象限内有一点C（-2，m），请用含m的式子表示△ABC的面积；
（3）在⑵条件下，当时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．


备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
专题1.1 有理数（包括数的整除）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（2020·上海初三二模）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【分析】由相反数的定义：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解： a与3互为相反数，

故选．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2020·上海黄浦·初三二模）下列正整数中，属于素数的是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．
【详解】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．
故选：A．
【点睛】本题考查了素数的定义，熟练掌握素数的定义是解答本题的关键．
3．（2020·上海嘉定·初三二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是(　　)
A．﹣4 B． C． D．50%
【答案】C
【分析】根据分数的定义进行判断即可．
【详解】A．﹣4是分数，与要求不符；
B．是分数，与要求不符；
C．是无理数，不是分数，与要求相符；
D．50%是分数，与要求不符．
故选：C．
【点睛】本题考查了分数的定义，掌握知识点是解题关键．
4．（2020·上海徐汇·初三二模）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】有理数分为整数和分数，根据有理数的定义判断．
【详解】根据有理数的定义：有理数分为整数和分数
是分数，满足条件
故答案选：C
【点睛】本题考查有理数的定义，掌握有理数分为整数和分数是解题关键．
5．（2019·上海杨浦·中考模拟）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此判断即可．
【详解】∵b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|= -a-b．
故选B．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
6．下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
试题分析：：A.=0.3…，故本选项错误；
B.=0.2，故本选项正确；
C.=0.42857…，故本选项错误；
D.=0.1…，故本选项错误．
故选B．
考点：实数．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（2019·湖南中考模拟）﹣的倒数是____．
【解析】﹣的倒数是： .
8．在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．
【答案】+0.01，120.
【分析】根据正有理数的定义解答即可．
【详解】正有理数有：+0.01，120.
故答案为+0.01，120.
【点睛】此题考查有理数，解题关键在于掌握其性质.
9．既不是正数也不是负数的数是 .
【答案】0
因为要以0为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，所以0既不是正数也不是负数．
10．（2018·广东广州·中考模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________

【答案】
【分析】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】由数轴的定义得：，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
11．（2020·山东初三三模）若 与 互为相反数，则的值为________________．
【答案】4
【分析】根据 与 互为相反数可以得到+=0，再根据分式存在有意义的条件可以得到1-x≠0，x≠0，计算解答即可．
【详解】∵ 与 互为相反数
∴+=0
又∵1-x≠0，x≠0
∴原式去分母得3x+4（1-x）=0
解得x=4
故答案为4
【点睛】本题考查的是相反数的意义、分式存在有意义的条件和解分式方程，根据相反数的意义得到+=0是解题的关键．
12．（2020·江苏初三一模）－3的相反数是______；的倒数是_______．
【答案】3 3
【分析】依据相反数、倒数的性质进行解答即可．
【详解】解：－3的相反数是3；
的倒数是3，
故答案为：3，3．
【点睛】本题主要考查的是倒数、相反数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．（2019·江苏中考模拟）计算：|﹣2|=　 　．
【答案】2
【分析】根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解
【详解】
∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2
14．（2020·广东初三其他）计算： ____________．
【答案】
【分析】根据负指数幂的运算法则计算，任意非零实数的0次幂都等于1，负数的绝对值等于它的相反数，据此解题．
【详解】



故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，其中涉及负指数幂、零指数幂、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．（2018·贵州黔南·中考模拟）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为_____．

【答案】2a﹣b．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置进而得出b﹣a＜0，a＞0，再化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：
b﹣a＜0，a＞0，
则|b﹣a|+
=a﹣b+a
=2a﹣b．
故答案为2a﹣b．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
16．（2018·上海零模）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【详解】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
17．（2020·河北邯郸·初三其他）对于任意非零实数、，规定，例如：，则______（填“”，或“”或“”）若，则______．
【答案】
【分析】直接利用新定义分别计算与，再比较大小即可，分别按新定义计算，建立分式方程求解即可．
【详解】解：，


．
故答案为：．
，




经检验：是原方程的根，
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的除法运算及有理数的大小比较，同时考查了分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2017·上海闵行·中考模拟）如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．
【答案】
【解析】解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为．

三、解答题
19．（2020·上海青浦·初三二模）计算：．
【答案】
【分析】直接利用绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂分别化简得出答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键，体现了数学运算的核心素养．
20．（2020·上海松江·初三二模）计算： ．
【答案】 ．
【分析】依次计算负指数幂，分母有理化，分数指数幂和绝对值，再进行二次根式的加减运算．
【详解】原式＝
＝2+3+3﹣2﹣1
＝．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，负指数幂，分数指数幂，化简绝对值.能根据相关定理分别计算是解题关键．
21．（2019·陕西西安·中考模拟）计算：
【答案】-2
【分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、分母有理化、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．
【详解】原式=2﹣4﹣+2﹣=﹣2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂的意义、绝对值的意义是解答本题的关键.
22．（2020·创A教育扬帆初中二模）在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为4．
（1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：
①此时点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　；
②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55
【分析】
（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到AB的长；
（2）①点A、点B表示的数也扩大30倍即可得到结果；
②根据点A、B表示的数得到线段AB的长，再由点M是线段AB的三等分点，分两种情况确定点M表示的数．
【详解】解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；
（2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，
则点A表示的数为－2.5×30＝－75，点B表示的数为4×30＝120，
故答案为：－75，120；
②AB＝120－(－75)＝195，
当点M靠近点A时，AM＝AB＝65，
∴点M表示的数为65－75＝－10，
当点M靠近点B时，BM＝AB＝65，
∴点M表示的数为120－65＝55，
综上所述，点M表示的数为－10或55．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用距离确定点的坐标，以及三等分点，熟练掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键，做题时注意线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏．
23．（2020·兰州市第四十九中学二模）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a　 　；b　 　；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为　 　；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？

【答案】（1）5，81.5；（2）90°（3）九年级一共有180名学生的体质达标
【分析】
（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数=小组人数÷小组所占的比例，因此a＝总抽取人数-其它各组人数．根据中位数定义，把总抽取人成绩进行排序，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，两位同学在80≤x＜90范围当中．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为81分，第11名为82分，即可求出中位数b．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，求出占抽取总人数的百分比，对应圆心角的度数为：360°×百分比即可．
（3）用部分估计总体，根据图表一，统计成绩在80分以上的同学人，求出占抽取总人数的百分比，因此体质达标人数=该校九年级一共有300×占抽取总人数的百分比即可．
【详解】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．
因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．
根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．
根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．
将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．
因此第10名为81分，第11名为82分，
因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，
因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）用部分估计总体，根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，
因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
【点睛】本题考查统计图表有关问题，会用扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．会根据抽取总人数求分数段人数．会求中位数，会求扇形圆心角度=360º×分数段人数所占抽取人数的百分比是解题关键．
24．（2020·江西初三一模）若，且一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性即可求出a和b的值，然后代入一元二次方程中，再结合一元二次方程的定义和根的情况即可求出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有实数根
∴且，
∴
【点睛】此题考查的是非负性的应用、根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握绝对值和算术平方根的非负性、一元二次方程的定义和根的情况与△的关系是解决此题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a,b满足

（1）填空：a= ,b= ；
（2）如果在第三象限内有一点C（-2，m），请用含m的式子表示△ABC的面积；
（3）在⑵条件下，当时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【答案】（1）-1，3；（2）-2m；（3）（0，0.3）或（0，-2.1）．
【分析】
（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据三角形面积公式列式整理即可；
（3）先根据（2）计算S△ABM，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，利用割补法表示出S△BMP，根据S△BMP=S△ABM列方程求解可得．
【详解】解：（1）∵|a+1|+（b-3）2=0，
∴a+1=0且b-3=0，
解得：a=-1，b=3，
故答案为-1，3；
（2）  过点M作MN⊥x轴于点N，

∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=1+3=4，
又∵点M（-2，m）在第三象限
∴MN=|m|=-m
∴S△ABM=AB•MN=×4×（-m）=-2m；
（3）​当m=-时，M（-2，-）
∴S△ABM=-2×（-）=3，
点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）
   
S△BMP=5×（+k）-×2×（+k）-×5×-×3×k=k+，
∵S△BMP=S△ABM，
∴k+=3，
解得：k=0.3，
∴点P坐标为（0，0.3）；
②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），

S△BMP=-5n-×2×（-n-）-×5×-×3×（-n）=-n-，
∵S△BMP=S△ABM，
∴-n-=3，
解得：n=-2.1，
∴点P坐标为（0，-2.1），
故点P的坐标为（0，0.3）或（0，-2.1）．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，利用割补法表示出△BMP的面积，并根据题意建立方程是解题的关键．