2021届上海市崇明区一模数学试卷 (含答案)
展开崇明区2021届第一次高考模拟考试试卷
数 学
考生注意：
1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．设集合，集合，则 ．
2．不等式的解集是 ．
3．已知复数z满足（i是虚数单位），则 ．
4．设函数的反函数为，则 ．
5．点到直线的距离是 ．
6．计算： ．
7．若关于x、y的方程组无解，则实数 ．
8．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．（结果用数值表示）
9．若的二项展开式中有一项为，则 ．
10．设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交
于两点，若的面积为1，则双曲线C的焦距的最小值为 ．
11．已知函数，对任意，都有(为常数)，且当时，
，则 ．
12．已知点D为圆的弦MN的中点，点A的坐标为，且，则
的范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与直线RS异面的图形是（ ）
A． B． C． D．
15．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．设函数的定义域是，对于下列四个命题：
（1）若函数是奇函数，则函数是奇函数；
（2）若函数是周期函数，则函数是周期函数；
（3）若函数是单调减函数，则函数是单调减函数；
（4）若函数存在反函数，且函数有零点，则函数
也有零点；
其中正确的命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，已知平面BCD，，直线AD与平面BCD所成的角为30°，且．
（1）求三棱锥的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角
的大小（结果用反三角函数值表示）.
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若锐角A满足，，
，求的面积．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）
之间的变化曲线如图所示．
当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分．当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
（1）求函数的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”
的时间有多长？（精确到1分钟）
20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）
已知椭圆的左右顶点分别为A、B，P为直线上的动点，直线PA与椭圆
的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D．
（1）若点C的坐标为，求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为，求以BD为直径的圆的方程；
（3）求证：直线CD过定点．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．
（1）若数列是P数列，求实数x的取值范围；
（2）设数列是首项为、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，
求d的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列，是从
中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为，．
求证：当且时，数列不是P数列．
崇明区2021届第一次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准
一、填空题
- ； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.48； 9.60； 10.； 11. 2； 12.[-1，2).
二、选择题
13.D; 14.B; 15.C; 16.B
三、解答题
17.解：（1）因为平面BCD，
所以就是直线AD与平面BCD所成的角，所以...............3分
所以，
所以...........................7分
（2）取线段的中点，联结、，则
所以就是异面直线AD与CM所成的角...........................4分
在中，，，
所以...........................7分
18.解：（1）...........................4分
所以函数的最小正周期...........................6分
（2）由，得：
因为，所以，所以，...........................3分
所以，所以...........................6分
所以...........................8分
19.解：（1）当时，设
由，得：，故...........................2分
当时，由，得：，故.................4分
所以...........................6分
（2）当时，由，得：...........................3分
当时，由，得：
所以...........................3分
因此，在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分钟..............8分.
- 解：（1）由题意，，直线的方程是：...........................3分
由，得：点P的坐标是(4,3)...........................4分
（2）由题意，，直线的方程是：，代入，得：
，解得：，或，所以点坐标为（0，-1），
线段中点为，...........................3分
所以以BD为直径的圆的方程是...........................5分
（3）设，，，则直线的方程是：
代入，得：
所以，
同理，可得：，..........................4分
所以直线的方程为：
令，得：
所以直线过定点（1，0）..........................7分
21.解：（1）由题意，得：，所以..........................4分
(2)由题意知，该数列的前项和为，，
由数列数列，可知，故公差..........................3分
对满足的任意都成立，则，解得，
故的取值范围为..........................6分
(3)若是数列，则，
因为，所以，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
由，，故，可得..........................3分
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；
若中的每一项都在中，同理可得；
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，
不妨设，中最大的项在中，设为，
则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确...........................8分
