2021年中考数学二次函数专题2 二次函数中的线段长度问题

2 二次函数中的线段长度问题
1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4）
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；
（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：

设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），
∴AC＝，BC＝3，
∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，
即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；
（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，
∵S△PAM＝S△PAC，
∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，
即点M和点C到PA的距离相等，
当点M在点C的上方时，
则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，
设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；
当点M在点C的下方时，
则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，
∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，
由得，，，
∴M的坐标为（，）或（，）；
由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）
2、如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得c=-2，0=a×42-×4-2， 解得a= ，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2.
（2）作MN∥y轴交BC于点N，
∵的面积==2MN=，
∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b, ∴,解得,∴y=x-2，
∴MN=x-2-( x2 - x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，
∴当x=2时，MN有最大值2，∴M（2，-3）.
∴当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；
（3）存在，理由如下：
设点 E 的坐标为 (n,−n),  以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，
①以线段AB为边，点E在点P的左边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(5+n,−n)，
∵点P(5+n,−n)在抛物线y= x2 - x-2上，

∴−n=(5+n)2−(5+n)−2,，解得：n1=, n2= ，
此时点E的坐标为(,)或(,)；
以线段AB为边，点E在点P的右边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(n−5,−n)，
∵点P(n−5,−n)在抛物线y=x2−x−2上，∴−n=(n−5)2−(n−5)−2,即n2−11n+36=0，
此时△=(−11)2−4×36=−23