初中数学九年级竞赛讲义：第05讲-一元二次方程的整数整数解

第五讲   一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：

    从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

    从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=)，通过穷举，逼近求解；

    从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；

    从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．

【例题求解】

【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有         个．

思路点拨  用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．

【例2】  已知、为质数且是方程的根，那么的值是(    )

    A．      B．        C．    D．

思路点拨  由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、、的值．

【例3】 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．

思路点拨  由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．

【例4】                 当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．                

思路点拨  整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．

设△=(为整数)解不定方程，讨论的存在性．

注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

【例5】 若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值．

思路点拨  因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程． 

学历训练

1．已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有    ．

2．已知方程有两个质数解，则m＝         ．

3．给出四个命题：①整系数方程(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程(a≠0)的根只能是无理数；④若、、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是          ．

4．已知关于的一元二次方程 (为整数)的两个实数根是 、，则=        ．                               

5．设rn为整数，且4<m<40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)

6．已知方程 (a≠0)至少有一个整数根，求的值．

7．求使关于的方程的根都是整数的值．  

8．当为正整数时，关于的方程的两根均为质数，试解此方程．

9．设关于的二次方程的两根都是整数，试求满足条件的所有实数的值．                             

10．试求所有这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．

11．已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值．                             

12．已知方程及分别各有两个整数根、及、，且 >0， >0．

(1)求证：<0,<0，<0,< 0；

(2)求证：；

(3)求、所有可能的值．

13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程的根(为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由． 

参考答案