初中数学九年级竞赛讲义：第04讲-明快简捷—构造方程的妙用
展开第四讲 明快简捷—构造方程的妙用
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：
1．利用根的定义构造
当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．
2．利用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根．
3．确定主元构造
对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．
注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．
【例题求解】
【例1】 已知、是正整数，并且，，则 ．
思路点拨 ，变形题设条件，可视、为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．
【例2】 若，且有及，则的值是( )
A． B． C． D．
思路点拨 第二个方程可变形为，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．
【例3】 已知实数、满足，且，求的取值范围．
思路点拨 由两个等式可求出、的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．
【例4】 已知实数、、满足，．
(1)求、、中最大者的最小值；
(2)求的最小值．
思路点拨 不妨设a≥b，a≥c，由条件得，．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求的取值范围，并以此为基础去解(2)．
注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，
缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．
【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)
思路点拨 设前后两个二位数分别为，，则有，将此方程整理成关于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定 (或)的取值范围．
学历训练
1．若方程的两个实数根的倒数和是，则的取值范围是 ．
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的两个根，则m的值是 ．
3．已知、满足，，则= ．
4．已知，，，则的值为( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程的根，则m的值为( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3
7．已知，，其中、为实数，求的值．
8．已知和是正整数，并且满足条件，，求的值．
9．已知，，其中m、n为实数，则＝ ．
10．如果、、为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是 ．
11．已知，则= ，= ．；
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是 ．
13．已知、、均为实数，且，，求的最小值．
14．设实数、、满足，求的取值范围．
15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且．
(1)求∠B的度数；
(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．
16．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值，那么当与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?
参考答案
