初中数学九年级竞赛讲义：第08讲-由常量数学到变量数学

第八讲  由常量数学到变量数学

    数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．

    函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．

    函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．

    在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．

【例题求解】

【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为            ．                 

思路点拨  先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．

注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：

    (1)利用几何计算求；

    (2)通过解析式求；

(3)解由解析式联立的方程组求．

【例2】  如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的(    )

思路点拨  向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高．

注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：

    若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．

    (1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．

    (2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?

思路点拨  每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．

【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2，8)．

    (1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；

    (2)写出A、B两点的坐标；

(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．                                    

思路点拨  (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．

注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型． 

【例5】 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

    (1)当AP＝3cm时，求的值；

    (2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；

    (3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)

思路点拨  对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．

注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：

    (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；

    (2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．

学力训练

1．   如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标       ．

2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为         时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．                               

3．根据指令[S，A](S≥0，0°<A<180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人应移动到点       ；(2)请你给机器人下一个指令         ，使其移动到点(一5，5)．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB＝，那么点B的横坐标为(    )

  A．    B．    C．  D．

5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是(    )

  A．爸爸登山时，小军已走了50米

  B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面

  C．小军比爸爸晚到山顶

  D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快

6．若函数的自变量的取值范围为一切实数，则的取值范围是(    )

    A．m<l    B．m=1    C． m>l    D．m≤1

7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)．

8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与(表示第个图形)的函数关系式；

(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时的值；

(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?

  (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?

9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有              个整点(即纵横坐标都是整数的点)．

10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴的夹角为30°，那么点B的坐标是        ．

11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为         ．

12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(    )

  A．1个       B．2个     C． 3个      D．4个  

13．已知点P的坐标是(l，)，这里、是有理数，PA、PB分别是点P到轴和轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（    ）

   A．1个        B．2个       C．3个      D．4个      

14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴表示时间，纵轴表示路程，其中正确的图示分析为(    )

    A．图(1)       B．图(1)或图(2)        C．图(3)          D．图(4)

15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：

(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?

(2)设表示每月收入(单位：元)，表示应交税款(单位：元)，当1300<x≤2800时，请写出关于的函数关系式；

(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=，△ADE的面积为，当点D在AB上移动时，求关于之间的函数关系式．

17．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元．

(1)设运送这批货物的总费用为万元，这列货车挂A型车厢节，试写出与之间的函数关系式；

 (2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案?

 (3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元?      

18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

(1)设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含的代数式表示)；

(2)设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．                     

参考答案