专题16 综合测试09（解析版）

专题16  综合测试09

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021年江苏苏州联考）已知集合A＝，B＝，则AB＝

   A．(2，3)          B．[2，3]          C．(2，3]          D．[2，3]{﹣2}

【答案】C

【解析】集合A＝＝[﹣2，3]，B＝＝(，﹣2)(2，)，

      故AB＝(2，3]．

2、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）已知是平面,是直线,且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件       C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】充分性：因为，，所以，所以充分性满足；

必要性：因为且，，，所以，所以必要性满足.

所以“”是“”的充要条件   故选C

3、（2020·四川成都·月考（理））已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，则，则，则，

故选：D.

4、（2020·邵东县第一中学期中）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为向量与的夹角是，且，，

所以，

，

解得 .

故选：B

5、（2020·福建省福州第一中学开学考试）在的二项展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为展开式的第项为，

令，则，

所以的二项展开式中的系数为.

故选：D.

6、（2020秋•江油市校级期中）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（　　）

A．﹣＝1 B．﹣＝1 

C．x2﹣＝1 D．y2﹣＝1

【答案】A

【解析】：抛物线线y2＝8x 的焦点坐标为（2，0），

∵双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，

∴c＝2，

∵双曲线的离心率等于，

∴＝＝，则a＝，b2＝c2﹣a2＝4﹣2＝2，

所求的双曲线方程为：﹣＝1．

故选：A．

7、（2021年江苏教育基地大联考） 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山。宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山。”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基。某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为

A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元

【答案】C

【解析】设2014年到2024年每年的投入资金分别为．由已知，

为等差数列，，其和为万元；为等

比数列，，公比为，其和为．

又，所以万元，所以

投资总额大约为3005万元．选C．

8、（2020·河南月考）若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______.

①；②；③；④.

【答案】②③.

【解析】对于①，的定义域为，由，得，平方得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”；

对于②，的定义域为，由，得，即，解得，则是“壹函数”；

对于③，的定义域为，由，得，可得，即，解得，则是“壹函数”；

对于④，的定义域为，由，得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”.

故答案为：②③.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的是（  ）

A．A与B是互斥事件但不是对立事件              B．A与C是互斥事件也是对立事件

C．A与D是互斥事件                            D．C与D不是对立事件也不是互斥事件

【答案】ABD

【解析】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,

“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,

在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；

在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；

在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；

在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.

10、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）已知函数，且，则

   A．1＜a＜2                          B．a＋b＝ab

   C．ab的最小值为1＋              D．

【答案】：ABD

【解析】：由题意知1＜a＜2＜b，(a﹣1)(b﹣1)＝1，故a＋b＝ab，．

11、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）函数在(0，)上有唯一零点，则

   A．       B．      C．          D．

【答案】：ABC

【解析】：，．

12、（2021年江苏教育基地大联考）已知函数，则下列结论正确的是

A．函数是周期函数                 B．函数在上有4个零点

C．函数的图象关于对称       D．函数的最大值为

【答案】ACD．

【解析】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；

对于B，令，得，函数的零点个数可转化为两函数

图象交点个数，画图可知，图象在上有只有2个交点，

所以B错误；

对于C，由，所以，所以函数的

图象关于对称，C正确；

对于D，由，取一个周期，

令，得，且当时，，当时，

，当时，，所以函数在时取极大值．

由于，所以函数的最大值为，D正确．

所以本题选ACD．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020秋•河南期中）我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为　　．

【答案】2．

【解答】解：设该“圭田”的底边长为x，

则由题意，利用余弦定理可得：x2＝42+42﹣2×＝8，

解得x＝2，故该“圭田”的底边长为2．

故答案为：2．

14、（2020·济南市历城第二中学高三月考）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．

【答案】900

【解析】：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.

第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；

第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有种不同情况.

所以所有的不同分派方案有种.

故答案为：900.

15、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为       ．（取1.211＝7.5，1.212＝9）

【答案】：40000

【解析】：

      利润为40000．

16、（2021年江苏基地联考）某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入

其中．若水晶球最高点到底座底面的距离为m，

则水晶球的表面积为        m2．

【解析】四个小三角形的顶点所在平面截球面得小圆的的半径

为，小圆面到底座的距离为．设球的半径为，

由条件，得，解得，

所以水晶球的表面积为m2．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（湖北师大附中2021年联考）在△ABC 中，角A,  B,  C 所对的边分别为a, b, c，且 b= c( cosAsinA ).

（1）求角C ,

（2）若c=2，D为边BC 的中点，在下列条件中任选一个，求AD的长度．

条件① △ABC 的面积 S = 2, 且 B> A ;

　　　条件②cosB=.

（注，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）

【解析】：(1)由知，

又，

因为

又，所以  ……………………………5分

(2)选择条件①：由的面积知，，即

  (1)

又，所以  (2)

联立(1)(2)得或又，所以

因此，在中，

，

所以  ……………………………10分

选择条件②：由知.

所以，

在中，由，

所以，，

所以在中，

，

所以    ……………………………10分

18、数列{an} 满足 a1 +2a2 +3a3 +…+ nan = (n 1)• 2n+1+ 2( n≥l) ,

（1）求数列{an}的通项公式 ；

（2）设为数列{bn}的前n项和，求Sn.

【解析】(1)由题意，

由，         ①

得，    ②

①—②，得

，

所以

又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.  ………………6分

（没有讨论的情况扣1分）

(2)由题意，，所以

，    ③

，          ④

③—④，得

所以

从而.   ……………………………12分

19、如图，在四棱锥S - ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=，BC=2，AD=1．

(1)若M为棱SB的中点，求证：AM //平面SCD;

(2)当SM=MB，DN=3NC时，求平面AMN与

平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

【解析】(1)证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．

在△SBC中，ME为中位线，∴ME/ /BC且ME=BC，

∵ AD//BC且AD=BC，∴ME//AD且ME = AD，

∴四边形AMED为平行四边形．

∴AM / /DE．∵DE平面SCD，AM平面SCD，

∴AM/ /平面SCD.

(2)解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则,

于是

设平面AMN的一个法向量为则

将坐标代入并取y=7，得．另外易知平面SAB的一个法向量为

所以平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦为

20、（12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．

(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．

下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；

(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1 =1．

(i)求P2，P3（直接写出结果即可）；

(ii)证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．

【解析】：(I)这150个点球中的进球频率为，则该同学踢一次点球命中的概率p= 0.6，

由题意，可能取1，2，3，则P（=1）= 0.6，P（=2）= 0.4×0.6=0.24，

P（=3）= 0.4×0.4=0.16，

的分布列为：

即E（）=l×0.6+2×0.24+3×0.16=1.56

(II)(i)由题意P2=0，P3=．

(ii)第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1，

第n-1次触球者不是甲的概率为1- Pn-1，则，从而，

又是以为首项，公比为的等比数列

则

，故第19次触球者是甲的概率大．

21、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.

(1) 求椭圆 C 的标准方程；

(2) 求 △PCD 面积的最大值．

【解析】 (1) 由题意得：得a2＝4，b2＝1，(4分)

故椭圆C的标准方程为：＋y2＝1.(5分)

(2) 由题意设lAP：y＝k(x＋2)，－<k<0，所以C(0，2k)，

由消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝，

由xA＝－2得xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝，

所以P，(8分)

设D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三点共，所以kBD＝kPB，故＝，

解得x0＝，得D，(10分)

所以S△PCD＝SPAD－S△CAD＝×AD×|yP－yC|

＝，(12分)

因为－<k<0，所以S△PCD＝＝－2＋2×，

令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋＝－2＋

＝－2＋≤2＋＝－1，(14分)

当且仅当t＝时取等号，此时k＝，所以△PCD面积的最大值为－1.(16分)

22、（湖北师大附中2021年名校联考）已知函数定义域为(0,＋) .

 (1) 若f(x)在(0 ,+)上有且只有一个零点；求实数a的值；

(2) 当a = e 时 ，若 f (x )≥l +x2xe在(0,＋)上恒成立，求整数的最大值.

(注:其中e是自然对数的底数，e0·51.65, e2.72 ,e1·5 4.48, e1.64.95)

【解析】(1)设的零点为，则，……………………………①

又因，则由题意知，即，………………②

由①②得，所以  ……………………………③

又对①式两边取对数得，即.  …………………………④

比较③④得：，故

所以满足条件的实数的值只有一个，且  …………………………6分

(2)当时，

在上恒成立在上恒成立．

设，则

设，则

故在(0，1)上单调递减，在上单调递增.

又，，，

所以存在，使得，即

当时，，此时；

当时，，此时

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以在处取得最小值

又，所以

要使在上恒成立，需满足

所以整数的最大值为1．  …………………………12分