第二讲　圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

第二讲　圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

高考考点
考点解读
圆锥曲线的定义、标准方程与性质
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程
2．考查圆锥曲线的定义、性质
直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1.位置关系的判定
2．几何或代数关系式的证明
圆锥曲线中的最值(范围)及与弦有关的问题
1.考查弦长问题
2．求直线的方程或圆锥曲线的方程
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法．
(2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题．
(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法．
(4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题．
预测2020年命题热点为：
(1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围．
(2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．

Z
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝∓.
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝∓.
3．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝·|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切.
Y
1．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.
2．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±还是±.
3．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．

1．(2018·全国卷Ⅱ，5)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( A )
A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析]　因为e＝＝，所以＝＝3，即＝2，＝±，所以渐近线方程为y＝±x.
2．(2018·全国卷Ⅰ，8)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM―→·FN―→＝( D )
A．5　　　 B．6　　　　
C．7　　　 D．8
[解析]　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，F(1,0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有
可得或
所以FM―→＝(0,2)，FN―→＝(3,4)，
所以FM―→·FN―→＝0×3＋2×4＝8.
3．(文)(2018·全国卷Ⅲ，10)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析]　方法一(直接法)：由已知，双曲线C的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，
所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d＝＝，
因为a2＋b2＝c2，离心率e＝＝，
所以e2＝＝2，a2＝，＋b2＝c2，b2＝，＝，＝，所以d＝2.

方法二(数形结合)：

画图草图，记C的递增的渐近线斜率为k，倾斜角为α，点P(4,0)到C的渐近线的距离为d，则k＝tanα＝(借助以角α为内角的直角三角形，α对边为b，邻边为a，由勾股定理求得斜边c)，

所以sinα＝＝，
又离心率e＝＝，
记c＝t，则a＝t，
所以b＝t，sinα＝＝，
在Rt△OPQ中，sinα＝，所以＝，所以d＝2.
(理)(2018·全国卷Ⅲ，11)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若＝，则C的离心率为( C )
A． B．2
C． D．
[解析]　选C．方法一：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0，由可得P，由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，
得＝×，化简可得3a2＝c2，即e＝.
方法二：因为|PF2|＝b，|OF2|＝c，
∴|PO|＝a，在Rt△POF2中，设∠PF2O＝θ，则有cosθ＝＝；
∵在△PF1F2中，cosθ＝＝，
∴＝⇒b2＋4c2－6a2＝4b2⇒4c2－6a2＝3c2－3a2⇒c2＝3a2⇒e＝.
4．(2018·天津卷，7)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　因为双曲线的离心率为2，所以＝2，c＝2a，b＝a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)，双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，所以d1＝＝，
d2＝＝；依题意得：＋＝6，解得：a＝，b＝3，所以双曲线方程为：－＝1.
5．(2018·北京卷，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0).
[解析]　由已知，直线l：x＝1，
又因为l被抛物线截得的线段长为4，抛物线图象关于x轴对称，
所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a×1，解得a＝1.故抛物线方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
6．(2018·江苏卷，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2.
[解析]　由题意画图可知，渐近线y＝x与坐标轴的夹角为60°，故＝，c2＝a2＋b2＝4a2，故e＝＝2.
7．(文)(2018·全国卷Ⅰ，20)设抛物线C：y2＝2x，点A，B，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程．
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解析]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
(理)(2018·全国卷Ⅰ，19)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程．
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
[解析]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
代入＋y2＝1可得，点A的坐标为或.
所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，
所以∠OMA＝∠OMB．
综上，∠OMA＝∠OMB．



例1 (1)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝x2有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( A )
A．y2－＝1　　　　　 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　抛物线y＝x2，
即x2＝8y的焦点为F(0,2)，
即c＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可得F到渐近线的距离为d＝＝b＝，
即有a＝＝＝1，
则双曲线的方程为y2－＝1.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( A )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
[解析]　解法一：－＝1表示双曲线，
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m2 由双曲线性质知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，
其中c是半焦距，所以焦距2c＝2·2|m|＝4，
解得|m|＝1，
所以－1 解法二：由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2 (3)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( C )
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，1)
[解析]　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴
『规律总结』
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
3．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
G
1．本例(3)中若椭圆改为双曲线－＝1(a>b，b>0)过F2的直线与双曲线交于A，B两点，其他条件不变，则e2(e为双曲线离心率)的值为5－2.
[解析]　(1)如图所示：因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|，

所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a.
所以|AF1|＝2a，|AF2|＝2a－2a.
因为|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，
所以(2c)2＝(2a)2＋(2a－2a)2，
所以e2＝5－2.
2．在本例(3)中若条件变为“在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点，若在线段BF上存在点P，使得△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形”，试求双曲线离心率e的取值范围．
[解析]　由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公共点，则原点到直线BF的距离小于或等于a，
又直线BF的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，
所以≤a，整理得a4－3a2c2＋c4≤0，
即e4－3e2＋1≤0，解得≤e2≤，又e>1，
所以1


　　 例2 (文)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解析]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，
由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
(理)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．
[解析]　(1)设点F的坐标为(－c,0)．
依题意，得＝，＝a，a－c＝，
解得a＝1，c＝，p＝2，
进而得b2＝a2－c2＝.
所以椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为
y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P(－1，－)，故点Q(－1，)，
将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，
整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，
解得y＝0或y＝.
由点B异于点A，可得点B(，)．
由点Q(－1，)，
可得直线BQ的方程为(－)(x＋1)－(＋1)(y－)＝0，
令y＝0，解得x＝，
故点D(，0)．
所以|AD|＝1－＝.
又因为△APD的面积为，
故··＝，
整理得3m2－2|m|＋2＝0，
解得|m|＝，
所以m＝±.
所以直线AP的方程为
3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.

『规律总结』
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤

(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．

G
　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
[解析]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
由题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.

例3 (2018·衡水一模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝且与双曲线C2：－＝1有共同焦点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
(3)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE.
[解析]　(1)由e＝，可得：＝，
即＝，所以＝，a2＝4b2，①
又因为c2＝2b2＋1，即a2－b2＝2b2＋1，②
联立①②解得：a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)因为l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
所以直线l的斜率必存在且为负，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，
联立消去y整理可得：
(k2＋)x2＋2kmx＋m2－1＝0，③
根据题意可得方程③只有一实根，
所以Δ＝(2km)2－4(k2＋)(m2－1)＝0，
整理可得：m2＝4k2＋1，④
因为直线l与两坐标轴的交点分别为(－，0)，(0，m)且k<0，所以l与坐标轴围成的三角形的面积
S＝·，⑤
把④代入⑤可得：S＝(－2k)＋≥2(当且仅当k＝－时取等号)．
(3)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，
所以E(x0,0)，
因为⊥，所以可设C(2，y1)，
所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，
由∥可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝，
所以直线AC的方程为＝，
整理得：y＝(x＋2)，
点P在DE上，令x＝x0代入直线AC的方程可得：
y＝，
即点P的坐标为(x0，)，
所以P为DE的中点，所以PD＝PE.
『规律总结』
1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
2. 弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．
3．与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
G
　如图，点P(0，－1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD的面积取最大值时直线l1的方程．
[解析]　(1)由已知可得b＝1，且2a＝4，
即a＝2，所以椭圆C1的方程是＋y2＝1.
(2)因为直线l1⊥l2，且都过点P(0，－1)，
所以设直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，
直线l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0.
所以圆心(0,0)到直线l1的距离为d＝.
所以直线l1被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为|AB|＝2＝.
由⇒k2x2＋4x2＋8kx＝0，
Δ＝64k2≥0，所以xD＋xP＝－.
所以|DP|＝＝，
所以S△ABD＝|AB||DP|
＝××＝＝＝
＝≤＝，
当＝⇒k2＝⇒k＝±时等号成立，
此时直线l1的方程为y＝±x－1.

A组
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为( B )
A．y2＝6x　　　　　　　 B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
[解析]　依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，
所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，
解得x＝，y＝p.
又△MFO的面积为4，所以××p＝4，
解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D )
A．m2－a2 B．－
C．(m－a) D．m－a
[解析]　不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
3．(文)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故选D．
(理)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，
故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析]　由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，
因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：
－＝1(a>0，b>0)有两个交点，
所以>，所以1＋>4，所以e>2.
5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( B )
A．　　 B．3　　　
C．　　 D．2
[解析]　如图所示，因为＝4，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，
所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.
6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若＝，则p＝2.
[解析]　设直线AB：y＝x－，代入y2＝2px得：
3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，
又因为＝，即M为A，B的中点，
所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，
解得p＝2，p＝－6(舍去)．
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为－2.
[解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.
8．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.
[解析]　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.
9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．
[解析]　(1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．
令y＝0，可得x＝x0－，
圆心(2,0)到切线的距离d＝＝2，
整理可得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0，
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝，
所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0
＝2·＝2
＝2[(x0－1)＋＋2]．
设t＝x0－1∈[4，＋∞)，
则f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上单调递增，
所以f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.
B组
1．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )
A．(，＋∞)　 B．(，2 )　　
C．(1，)　 D．(1,2)
[解析]　由题意得双曲线的离心率e＝.
∴e2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴1 故选C．
2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
[解析]　解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.
解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．

由PF⊥x轴得P(－c，)．
设E(0，m)，
又PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
所以e＝＝.
故选A．
3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析]　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A(，2)，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故选B．
(理)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( A )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1
C．m1 D．m [解析]　由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A．
4．已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若·<0，则x0的取值范围是( A )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－1,1)
[解析]　由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0，)．根据题意，可知N(x0,0)，x0≠0，＝(－x0，－y0)，＝(0，－y0)，所以·＝－y0(－y0)<0，即0 5．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于( B )
A． B．
C． D．
[解析]　由椭圆＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程为5x2＋9y2－45＝0联立并整，得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，则△APF的周长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×|2＋|＝.故选B．
6．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为.
[解析]　设双曲线方程：－＝1(a>0，b>0)，
由题意可知，将x＝c代入，解得：y＝±，
则|AB|＝，由|AB|＝2×2a，
则b2＝2a2，所以双曲线离心率e＝＝＝.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为.
[解析]　如图所示，

因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|.
A(－c，)，直线AF2的方程为：y－0＝(x－c)，
化为：y＝(x－c)，代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，
可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，
所以xC·(－c)＝，解得xC＝.
因为＝2，
所以c－(－c)＝2(－c)，
化为：a2＝5c2，解得e＝.
8．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，AF1⊥AB且AF1＝AB，则椭圆C的离心率为－.
[解析]　设|AF1|＝t，则|AB|＝t，|F1B|＝t，由椭圆定义有：|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，

所以|AF1|＋|AB|＋|F1B|＝4a，
化简得(＋2)t＝4a，t＝(4－2)a，
所以|AF2|＝2a－t＝(2－2)a，
在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝(2c)2，
所以[(4－2)a]2＋[(2－2)a]2＝(2c)2，
所以()2＝9－6＝(－)2，所以e＝－.
9．(文)设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解析]　(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，
又∵△ABF2的周长为16，
∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，
在△ABF2中，由余弦定理得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，
∴a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2
∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
从而c＝a，所以椭圆离心率为e＝＝.
(理)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

[解析]　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．
(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，
＝(c－x，－y)，
∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，
x∈[－a，a]，
由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知
Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简得：m2＝2k2＋1.
设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝.
①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，
∴|MN|＝·|d1－d2|，
∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝，
∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，
即S<2.
②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.
∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.