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2019-2020学年九年级数学上册期末考点大串讲 专题13 相似多边形及图形的位似（专题测试）（原卷 解析版）
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专题13 相似多边形及图形的位似
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
2．（2019秋•方城县期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°
4．（2018秋•吴江区期末）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（ ）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
5．（2018秋•南山区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
6．（2019•合肥模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，2.5） C．（1.25，2.5） D．（1.5，3）
7．（2019•历下区三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2019•慈溪市模拟）如图，平行四边形ABCD∽平行四边形EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知，平行四边形ABCD和，平行四边形EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4
9．（2018秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，能求出图中阴影部分面积的条件是（ ）
A．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差 B．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 C．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之和 D．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之和
二、填空题
10．（2017•杭州模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 ．
11．（2017秋•杭州期中）如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 ．
12．（2018秋•三明期末）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ．
13．（2018秋•越秀区期末）已知点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是 ．
14．（2019秋•闵行区校级月考）已知一个四边形边长为3、4、5、6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 ．
15．（2018秋•宁德期末）已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为，若四边形ABCD的面积为36cm2，则四边形EFGH的面积为 cm2．
16．（2018•慈溪市模拟）若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为 ．
三、解答题
17．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，△ABC与△DEF位似比为
18．（2018秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
19．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，
（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．
专题13 相似多边形及图形的位似
专题测试答案及解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
【点拨】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
【解析】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴两个相似多边形的相似比是2：3，
∴两个相似多边形的面积比是4：9，
∵较小多边形的面积为4cm2，
∴较大多边形的面积为9cm2，
故选：A．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2．（2019秋•方城县期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝xcm，
∵四边形ABEF是正方形，
∴EF＝AB＝ycm，
∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，
∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，
∴DF：AB＝CD：AD，
即：
∴＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
3．（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°
【点拨】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，
∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
4．（2018秋•吴江区期末）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（ ）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
【点拨】利用相似多边形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2018秋•南山区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
【点拨】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．
【解析】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A不正确，符合题意；
若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，B正确，不符合题意；
线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
则AC＝AB＝（cm），C正确，不符合题意；
四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
6．（2019•合肥模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，2.5） C．（1.25，2.5） D．（1.5，3）
【点拨】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．
【解析】解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0），
∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2019•历下区三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】利用位似的性质得到＝＝，然后根据比例的性质求解．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
8．（2019•慈溪市模拟）如图，平行四边形ABCD∽平行四边形EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知，平行四边形ABCD和，平行四边形EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4
【点拨】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，由，平行四边形ABCD∽，平行四边形EFGH，得出＝＝，设＝＝＝a，则EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝（1﹣a2）AB•CK，S1+S3＝（1﹣a2）AB•CK，即可得出结果．
【解析】解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形，AB∥EF，
∴CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，
∵平行四边形ABCD∽，平行四边形EFGH，
∴＝＝，
设＝＝＝a，
∵AB＝CD，EF＝HG，
∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，
S1＝（EF+AB）MF＝（a+1）AB•MF，
S3＝（GH+CD）HJ＝（a+1）AB•HJ，
S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝AB•CK﹣EF•GN＝（AB•CK﹣a•AB•a•CK）＝（1﹣a2）AB•CK，
S1+S3＝（a+1）AB•MF+（a+1）AB•HJ＝（a+1）AB（MF+HJ）＝（a+1）AB（CK﹣GN）＝（a+1）AB（1﹣a）CK＝（1﹣a2）AB•CK，
∴S1+S3＝S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、平行四边形的性质、梯形面积与三角形面积以及平行四边形面积的计算等知识；通过作辅助线得出大平行四边形AB边与小平行四边形EF边上高的差等于S1、S2的高的和是解决问题的关键．
9．（2018秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，能求出图中阴影部分面积的条件是（ ）
A．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差 B．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 C．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之和 D．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之和
【点拨】根据相似多边形的性质得到AF•BC＝AB•AH，根据阴影部分面积＝S矩形ABCD+S矩形AHGF﹣S△BFG，列式化简即可得到结论．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
∴AF•BC＝AB•AH，
∵阴影部分面积＝S矩形ABCD+S矩形AHGF﹣S△BFG，
∴AB•BC+AF•AH﹣（AB+AF）•AH＝AB•BC+AF•AH﹣AB•AH﹣AF•AH＝AB•BC+AF•AH﹣AF•BC＝AB•BC﹣AF（BC﹣AH）＝AB•BC﹣AF•DH，
∵AF＝DE，
∴阴影部分面积＝AB•BC﹣DE•DH，
∴能求出图中阴影部分面积的条件是知道矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
10．（2017•杭州模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 （﹣，）或（，﹣） ．
【点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
【解析】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
11．（2017秋•杭州期中）如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 1 ．
【点拨】根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形BCFE是矩形，
∴BC＝EF＝AD＝2，
∵矩形ABCD∽BCFE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1（负值舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．（2018秋•三明期末）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 （3，3） ．
【点拨】先利用正方形的性质得到B（2，2），然后把B点的横纵坐标分别乘以即可得到E点坐标．
【解析】解：∵四边形ABCO为正方形，
而A（0，2），
∴B（2，2），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．
故答案为（3，3）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了正方形的性质．
13．（2018秋•越秀区期末）已知点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是 （8，6） ．
【点拨】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而结合已知得出答案．
【解析】解：∵点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，
∴点A的对应点A'的坐标为：（8，6）．
故答案为：（8，6）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
14．（2019秋•闵行区校级月考）已知一个四边形边长为3、4、5、6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 24 ．
【点拨】一个四边形的最小边长是3，与它相似的四边形最小边长为4，可知相似比为3：4，然后解答．
【解析】解：由题意可知相似比为3：4，所以四边形周长为（3+4+5+6）×＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
15．（2018秋•宁德期末）已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为，若四边形ABCD的面积为36cm2，则四边形EFGH的面积为 81 cm2．
【点拨】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方进行计算．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∴四边形ABCD的面积：四边形EFGH的面积＝4：9，
∴四边形EFGH的面积＝×36＝81（cm2）．
故答案为81．
【点睛】本题考查了多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
16．（2018•慈溪市模拟）若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为 1+ ．
【点拨】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．
【解析】解：设矩形的长是a，宽是b，
则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，
∵矩形ABCD∽矩形HDCG，
∴＝，即＝，
整理得：a2﹣2ab﹣b2＝0，
两边同除以b2，得（）2﹣﹣1＝0，
解得，＝1+或＝1﹣（舍去）
∴长与宽的比为1+，
故答案为：1+．
【点睛】本题考化成了相似多边形的性质，根据相似得到方程，解方程是解决本题的关键．
三、解答题
17．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 （2，6） ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 （3，6） ，△ABC与△DEF位似比为 ．
【点拨】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可；
（2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
【解析】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）；
（2）连接CO′．CO′＝＝，
∴△ABC外接圆的半径是，
故答案为；
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6），
△ABC与△DEF位似比为＝＝，
故答案为（3，6），．
【点睛】本题考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
18．（2018秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 （5，6） ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1：2 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
【点拨】（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；
②易得△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解析】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为2，
∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2 …（7分）
∴＝，
而△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积＝4m．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
19．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，
（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．
【点拨】（1）根据相似多边形的判定解答即可；
（2）利用相似多边形的判定和性质解答即可．
【解析】解：（1）不相似，理由如下：
∵≠，
∴不相似；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要，即，
可得：2d+2b＝a+c．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
2．（2019秋•方城县期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°
4．（2018秋•吴江区期末）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（ ）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
5．（2018秋•南山区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
6．（2019•合肥模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，2.5） C．（1.25，2.5） D．（1.5，3）
7．（2019•历下区三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2019•慈溪市模拟）如图，平行四边形ABCD∽平行四边形EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知，平行四边形ABCD和，平行四边形EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4
9．（2018秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，能求出图中阴影部分面积的条件是（ ）
A．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差 B．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 C．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之和 D．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之和
二、填空题
10．（2017•杭州模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 ．
11．（2017秋•杭州期中）如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 ．
12．（2018秋•三明期末）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ．
13．（2018秋•越秀区期末）已知点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是 ．
14．（2019秋•闵行区校级月考）已知一个四边形边长为3、4、5、6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 ．
15．（2018秋•宁德期末）已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为，若四边形ABCD的面积为36cm2，则四边形EFGH的面积为 cm2．
16．（2018•慈溪市模拟）若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为 ．
三、解答题
17．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，△ABC与△DEF位似比为
18．（2018秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
19．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，
（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．
专题13 相似多边形及图形的位似
专题测试答案及解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
【点拨】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
【解析】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴两个相似多边形的相似比是2：3，
∴两个相似多边形的面积比是4：9，
∵较小多边形的面积为4cm2，
∴较大多边形的面积为9cm2，
故选：A．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2．（2019秋•方城县期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝xcm，
∵四边形ABEF是正方形，
∴EF＝AB＝ycm，
∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，
∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，
∴DF：AB＝CD：AD，
即：
∴＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
3．（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°
【点拨】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，
∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
4．（2018秋•吴江区期末）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（ ）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
【点拨】利用相似多边形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2018秋•南山区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
【点拨】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．
【解析】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A不正确，符合题意；
若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，B正确，不符合题意；
线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
则AC＝AB＝（cm），C正确，不符合题意；
四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
6．（2019•合肥模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，2.5） C．（1.25，2.5） D．（1.5，3）
【点拨】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．
【解析】解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0），
∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2019•历下区三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】利用位似的性质得到＝＝，然后根据比例的性质求解．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
8．（2019•慈溪市模拟）如图，平行四边形ABCD∽平行四边形EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知，平行四边形ABCD和，平行四边形EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4
【点拨】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，由，平行四边形ABCD∽，平行四边形EFGH，得出＝＝，设＝＝＝a，则EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝（1﹣a2）AB•CK，S1+S3＝（1﹣a2）AB•CK，即可得出结果．
【解析】解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形，AB∥EF，
∴CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，
∵平行四边形ABCD∽，平行四边形EFGH，
∴＝＝，
设＝＝＝a，
∵AB＝CD，EF＝HG，
∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，
S1＝（EF+AB）MF＝（a+1）AB•MF，
S3＝（GH+CD）HJ＝（a+1）AB•HJ，
S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝AB•CK﹣EF•GN＝（AB•CK﹣a•AB•a•CK）＝（1﹣a2）AB•CK，
S1+S3＝（a+1）AB•MF+（a+1）AB•HJ＝（a+1）AB（MF+HJ）＝（a+1）AB（CK﹣GN）＝（a+1）AB（1﹣a）CK＝（1﹣a2）AB•CK，
∴S1+S3＝S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、平行四边形的性质、梯形面积与三角形面积以及平行四边形面积的计算等知识；通过作辅助线得出大平行四边形AB边与小平行四边形EF边上高的差等于S1、S2的高的和是解决问题的关键．
9．（2018秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，能求出图中阴影部分面积的条件是（ ）
A．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差 B．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 C．矩形ABCD和矩形HDEG的面积之和 D．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之和
【点拨】根据相似多边形的性质得到AF•BC＝AB•AH，根据阴影部分面积＝S矩形ABCD+S矩形AHGF﹣S△BFG，列式化简即可得到结论．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
∴AF•BC＝AB•AH，
∵阴影部分面积＝S矩形ABCD+S矩形AHGF﹣S△BFG，
∴AB•BC+AF•AH﹣（AB+AF）•AH＝AB•BC+AF•AH﹣AB•AH﹣AF•AH＝AB•BC+AF•AH﹣AF•BC＝AB•BC﹣AF（BC﹣AH）＝AB•BC﹣AF•DH，
∵AF＝DE，
∴阴影部分面积＝AB•BC﹣DE•DH，
∴能求出图中阴影部分面积的条件是知道矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
10．（2017•杭州模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 （﹣，）或（，﹣） ．
【点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
【解析】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
11．（2017秋•杭州期中）如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 1 ．
【点拨】根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形BCFE是矩形，
∴BC＝EF＝AD＝2，
∵矩形ABCD∽BCFE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1（负值舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．（2018秋•三明期末）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 （3，3） ．
【点拨】先利用正方形的性质得到B（2，2），然后把B点的横纵坐标分别乘以即可得到E点坐标．
【解析】解：∵四边形ABCO为正方形，
而A（0，2），
∴B（2，2），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．
故答案为（3，3）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了正方形的性质．
13．（2018秋•越秀区期末）已知点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是 （8，6） ．
【点拨】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而结合已知得出答案．
【解析】解：∵点A（4，3）、B（3，0）、C（0，2），以0为位似中心在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'，
∴点A的对应点A'的坐标为：（8，6）．
故答案为：（8，6）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
14．（2019秋•闵行区校级月考）已知一个四边形边长为3、4、5、6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 24 ．
【点拨】一个四边形的最小边长是3，与它相似的四边形最小边长为4，可知相似比为3：4，然后解答．
【解析】解：由题意可知相似比为3：4，所以四边形周长为（3+4+5+6）×＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
15．（2018秋•宁德期末）已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为，若四边形ABCD的面积为36cm2，则四边形EFGH的面积为 81 cm2．
【点拨】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方进行计算．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∴四边形ABCD的面积：四边形EFGH的面积＝4：9，
∴四边形EFGH的面积＝×36＝81（cm2）．
故答案为81．
【点睛】本题考查了多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
16．（2018•慈溪市模拟）若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为 1+ ．
【点拨】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．
【解析】解：设矩形的长是a，宽是b，
则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，
∵矩形ABCD∽矩形HDCG，
∴＝，即＝，
整理得：a2﹣2ab﹣b2＝0，
两边同除以b2，得（）2﹣﹣1＝0，
解得，＝1+或＝1﹣（舍去）
∴长与宽的比为1+，
故答案为：1+．
【点睛】本题考化成了相似多边形的性质，根据相似得到方程，解方程是解决本题的关键．
三、解答题
17．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 （2，6） ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 （3，6） ，△ABC与△DEF位似比为 ．
【点拨】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可；
（2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
【解析】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）；
（2）连接CO′．CO′＝＝，
∴△ABC外接圆的半径是，
故答案为；
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6），
△ABC与△DEF位似比为＝＝，
故答案为（3，6），．
【点睛】本题考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
18．（2018秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 （5，6） ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1：2 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
【点拨】（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；
②易得△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解析】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为2，
∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2 …（7分）
∴＝，
而△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积＝4m．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
19．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，
（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．
【点拨】（1）根据相似多边形的判定解答即可；
（2）利用相似多边形的判定和性质解答即可．
【解析】解：（1）不相似，理由如下：
∵≠，
∴不相似；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要，即，
可得：2d+2b＝a+c．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．
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