高中数学讲义微专题51 等差等比数列综合问题 学案
展开www.ks5u.com微专题51 等差等比数列综合问题
一、基础知识：
1、等差数列性质与等比数列性质：
| 等差数列 | 等比数列 |
递推公式 | ||
通项公式 | ||
等差（比）中项 | ||
等间隔抽项 | 仍构成等差数列 | 仍构成等比数列 |
相邻项和 | 成等差数列 | 成等比数列 |
2、等差数列与等比数列的互化：
（1）若为等差数列，，则成等比数列
证明：设的公差为，则为一个常数
所以成等比数列
（2）若为正项等比数列，，则成等差数列
证明：设的公比为，则为常数
所以成等差数列
二、典型例题：
例1：已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）
A. B. 或 C. D.
思路：由“成等差数列”可得：，再由等比数列定义可得：，所以等式变为：解得或，经检验均符合条件
答案：B
例2：已知是等差数列，且公差不为零，其前项和是，若成等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
思路：从“成等比数列”入手可得：，整理后可得：，所以，则，且，所以符合要求
答案：B
小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用（或）进行表示，从而得到（或）的关系
例3：已知等比数列中的各项均为正数，且，则_______________
思路：由等比数列性质可得：，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，求和可用等差数列求和公式：
答案：
例4：三个数成等比数列，其乘积为，如果第一个数与第三个数各减，则成等差数列，则这三个数为___________
思路：可设这三个数为，则有，解得，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为，所以有：，即，解得或者，时，这三个数为，当时，这三个数为
答案：
小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为（或），这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。
例5：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，则有（ ）
A. B. C. D. 或
思路：抓住和的序数和与的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出发，，因为，而为等比数列，联想到与有关，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等号不成立）所以即
答案：B
小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。
例6：数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（ ）
A. B.
C. D. 与的大小不确定
思路：比较大小的式子为和的形式，所以以为入手点，可得，从而作差比较，由为正项等比数列可得：，所以
答案：B
小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。
例7：设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
思路：求和看通项，考虑，所以，，所以
答案：A
例8：(2011,江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为的等差数列，则的最小值是___________
思路：可知等比数列为，等差数列为 ，依题意可得①，若要最小，则要达到最小，所以在①中，每一项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。所以，所以，验证当时， ，①式为，满足题意。
答案：
例9：已知等差数列的公差，前项和为，等比数列是公比为的正整数，前项和为，若，且是正整数，则等于（ ）
A. B. C. D.
解：本题的通项公式易于求解，由可得，而处理通项公式的关键是要解出，由可得，所以，由，可得，所以可取的值为，可得只有才有符合条件的，即，所以，所以，，则
答案：D
例10：个正数排成行列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有的公比都相同，已知，则_______，___________
思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个数阵，抓住已知中的，可得，从而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的每一项 。而第四列即可作为突破口，设每 行的公差为 由可得，从而，所以 。则，求和的通项公式，利用错位相减法可求得：
答案：
小炼有话说：对于数阵问题首先可设其中的项为（第行第列），因为数阵中每行每列具备特征，所以可将其中一行或一列作为突破口，求得通项公式或者关键量，然后再以该行（或该列）为起点拓展到其他的行与列，从而得到整个数阵的通项公式
