高中数学讲义微专题77 定点定直线问题 学案
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一、基础知识：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到。常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2、一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转
二、典型例题：
例1：椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为
（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标
解：（1），设左焦点
，解得
椭圆方程为
（2）由（1）可知椭圆右顶点
设，以为直径的圆过
即
①
联立直线与椭圆方程：
，代入到①
或
当时， 恒过
当时， 恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去
恒过
例2：已知椭圆经过点，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点
解：（1）
代入可得：
椭圆方程为
（2）由（1）可得：
当直线斜率不存在时，
所以可得： 为轴
当斜率存在时，设，则
设，联立方程可得：
同理，联立，可得：
的方程为：，整理可得：
时，直线方程对均成立
直线恒过定点
而斜率不存在时，直线也过
直线过定点
例3：如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形
（1）求椭圆的方程
（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由
解：（1）由椭圆方程可得
为边长是2的三角形
（2）设
设，
由可得：
设，则
由可得：
①
联立方程组，消去整理可得：
代入到①可得：
在定直线上
例4：已知椭圆的中心在坐标原点，左，右焦点分别为，为椭圆上的动点，的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切
（1）求椭圆的方程
（2）若直线过定点且与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于两点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由
解：（1）
因为圆与直线相切
椭圆方程为：
（2）当直线的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点
设，联立方程可得：
由，可得：
，分别令，可得：
，设轴上的定点为
若为直径的圆是否过，则
问题转化为恒成立
即 ①
由及可得：
代入到①可得：
解得：
圆过定点
当直线斜率不存在时，直线方程为，可得为直径的圆过点
所以以线段为直径的圆过轴上定点
例5：如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，当直线的斜率为时，
（1）求椭圆的标准方程
（2）试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论
解：（1）由可得：
由对称性可知：
由可得
椭圆方程为代入，可得：
（2）设由对称性可知，由（1）可知
设，联立直线与椭圆方程：
，整理可得：
解得：，代入可得：
从而
，因为是直线与轴的交点
以为直径的圆的圆心为，半径
圆方程为：，整理可得：
所以令，解得
以为直径的圆恒过
例6：已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，过点且不垂直轴的直线与椭圆相交于两点
（1）求椭圆的方程
（2）若点关于轴的对称点是，求证：直线与轴相交于定点
解：（1） 已知圆方程为：
因为与直线相切
椭圆的方程为：
（2）设直线，
联立方程可得：，消去可得：
考虑直线
直线的方程为：
令可得：
，而，代入可得：
，
代入
可得：
与轴交于定点
例7：在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四个点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上
（1）求椭圆的方程
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标
解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：必在椭圆上
若在椭圆上，则为椭圆的左顶点。
但，所以与在椭圆上矛盾
在椭圆上
椭圆方程为
（2）依题意可得，方程为：
且共线
为中点 在椭圆内部
设，因为与椭圆交于
为中点且于
为的中垂线
设
为中点
当时
恒过
当时，直线
为轴，过
无论位于哪个位置，直线恒过
例8：已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点
（1）求动点的轨迹的方程
（2）过且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由
解：（1）由图像可得：
点的轨迹为以为焦点的椭圆
（2）设直线，，与椭圆方程联立可得：
消去可得：，整理后可得：
设，因为以为直径的圆过点
①
代入到①可得：
所以只需：
可得
所以存在定点
例9：已知椭圆和圆，分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点
（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：
（2）点分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的2倍，求证：直线恒过定点
解：（1）由椭圆可得
设，由在第二象限可得：
的面积为
，代入圆方程可得：
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为
，联立与椭圆方程：
代入直线方程可得：
联立与圆方程：
代入直线方程可得：
的方程为：
整理可得：
直线恒过定点
例10：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
解：（1）抛物线的焦点坐标为
直线的方程为：
椭圆方程为
（2）因为直线与椭圆相切
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即
的方程为
联立方程：
解得
在这条定直线上
