高中数学讲义微专题23 恒成立问题——数形结合法

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一、基础知识：

1、函数的不等关系与图像特征：

（1）若，均有的图像始终在的下方

（2）若，均有的图像始终在的上方

2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数

3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等

4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）

5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备

6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图

（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征

二、典型例题：

例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________

思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则的图像应在的上方，所以应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图像可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得：，综上可得：

答案：

小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。

（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）

（3）处理好边界值是否能够取到的问题

例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________

思路：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，即，所以

答案：

例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围

思路：恒成立不等式变形为，即的图像在图像的上方即可，先作出的图像，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可得只需，解得：

答案：

小炼有话说：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求

例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是______

思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或

答案：或

小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。

（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。

（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧

例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________

思路：恒成立的不等式为，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为所在区间含参，的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到是开口向上的抛物线，若要，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是否在区间内），所以只需 ，解得

答案：

小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可

例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________

思路：首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，，即可保证，的图像始终在的下方。解得：；当时，代入验证不符题意。

答案：

小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系

（2）注意函数奇偶性对作图的影响

（3）本题中参数扮演两个角色：① 二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。

例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________

思路：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值决定的开口，观察可得，且时，即可，

当时，不等式为，可证明其成立

答案：

小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。

例8：设，若时均有，则_________

思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：，，则在图像上要求这两个函数同时在轴的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点，且为开口向上的抛物线。所以的斜率必大于0，即，通过观察图像可得：与与轴的交点必须重合。，所以，解得：（舍）或

答案：

小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。

（2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。

例9：(2015山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(      )

A.         B.           C.        D.

思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是与很难确定其范围，从而与无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出图像，看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然是分段函数，但是图像连续且单调递减。所以是上的减函数。那么无论与位于哪个区间，由及单调性均可得到：只需，所以，解得

答案：A

例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_____________

思路：是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面的图像比较容易作出，另一方面可看作是的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式：，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图像。恒成立，意味着的图像向右平移一个单位后，其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：

答案：