高中数学讲义微专题26 未知角的三角函数值
展开www.ks5u.com微专题26 求未知角的三角函数值
在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧
一、基础知识：
1、与三角函数计算相关的公式：
（1）两角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
（2）倍半角公式：
①
②
③
（3）辅助角公式：，其中
2、解决此类问题的方法步骤：
（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配
（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开
（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值
（4）将结果整体代入到运算式即可
3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如：，可判断出在第一象限
二、典型例题：
例1：已知， ，求：
（1）
（2）
解：（1）已知的角为 ，而所求角,故可以考虑
而 而，故在第一象限
（2） 与（1）类似。考虑，则
小炼有话说：
（1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解
（2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值的符号
（3）本题第1问也可利用方程的思想，即 来求解，但方程过于复杂，难于计算，要进行比较，体会题目所给方法的方便之处
例2：已知，且.
（1）求；
（2）求.
解：（1）
（2）
例3：已知，，求的值．
解：
小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解
例4：设，求
解：
例5：已知，则（ ）
A. B. C. D.
思路：所求角与相关，但题目中有，所以考虑利用消去，即，化简后可得：即
答案：D
例6：已知，且均为锐角，求
解：
①
若为锐角，
则根据在单调递增，可知，与条件矛盾
，代入①可得：
例7：已知，，，则_______
思路一：考虑用已知角表示未知角，，从而，展开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由和可知，但，所以不能判定的符号，所以由可得：，分别代入表达式可计算出或，由可知
解：
当时，
当时，
答案：
思路二：本题以，为突破口，发现其三角函数值含有一定关系，计算出，从而，所以得到与的关系。结合可知，即，所以
解：
或，
若即，与矛盾，故舍去
若即，则：
答案：
小炼有话说：（1）在思路一中，虽然在计算的正弦时，没有办法简单地根据角的范围进行取舍，但是在最后的结果中会发现有一个解是不符合题意的。在解题过程中，要时刻关注角的范围，使之成为一道防线赶走不符合条件的解
（2）思路二是从三角函数值的特点作为突破口，进而寻求已知条件中的角之间的关系，这也是对题目条件的一种妙用
例8：已知，则的值是______________
解：
例9：已知，求
思路：若要求出的值，则需要它的一个三角函数。所给条件均为正切值，所以也考虑计算，其中可由求出。再代入式子中可得：，下面考虑的范围。如果按照原始条件：可得，则或，但本题可通过进一步缩小的范围。由可知，由可知，所以，从而
解：
且
且
由可知
例10：已知在中，，则角的大小为（ ）
A. B. C. 或 D.
思路：在中，可知，，所以若要求角，结合条件 可知选择，将的两个方程平方后相加可得：，即，所以或，以为突破口，若，则，那么，且。与条件不符。所以
解：
即
或
若，则
与条件不符 故舍去
