高中数学讲义微专题14 函数的切线问题

微专题14 函数的切线问题

一、基础知识：

（一）与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线

（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）

2、切线与导数：设函数上点在附近有定义且附近的点，则割线斜率为：

当无限接近时，即接近于零，直线到达极限位置时的斜率表示为：

,

即切线斜率，由导数定义可知：。故为在处切线的斜率。这是导数的几何意义。

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子在处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：在处不可导

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。

（二）方法与技巧：

1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程

2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题

4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）

5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。

二、典型例题

例1：求函数在处的切线方程

思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程

解：   切点坐标为

   切线方程为：

小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用

例2：已知函数，则：

（1）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线平行

（2）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线垂直

解： （1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为，再利用平行条件求出，进而求出切线方程

设切点坐标为    由切线与平行可得：

切线方程为：

（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出，进而求出切线方程

设切点坐标  ，直线的斜率为

   而

不在定义域中，舍去

不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直

小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件

（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内

例3：函数上一点处的切线方程为，求的值

思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，在直线上，，即，得到的一个等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出

解：在上，

又因为处的切线斜率为

小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜率即为切点导数值

（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确定两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。

例4：曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

A.      B.        C.            D.

思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 所以切线方程为：即，

与两坐标轴的交点坐标为  

答案：D

小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。

例5：一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(     )．

   A.         B.       C.        D.

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是

答案：B

小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜率即为切点的导数值。

（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：① 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。② 直线倾斜角的范围为

例6：求过点，且与曲线相切的直线方程

思路：满足，但题目并没有说明是否为切点，所以要分是否为切点进行分类讨论。当是切点时，易于求出切线方程，当不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点，切线斜率为，三个未知量需用三个条件求解：① ，②，③

解：（1）当为切点时 

   切线方程为：

（2）当不是切点时，设切点，切线斜率为

，消去可得：

而 

方程等价于：

解得：（舍），

  切线方程为

综上所述：切线方程为或

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子

（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。

例7：设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为，进而可得导函数的最小值为，便可求出的值

解：

直线的斜率为，依题意可得：

例8：若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　)

  A.或         B. 或        C. 或         D. 或

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值。设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得

，同理，切点为解得

答案：A

小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系

（2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量。通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）

例9：（2014，北京）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围

思路：由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线，所以考虑先设切点，切线斜率为，则满足 ，所以切线方程为，即

，代入化简可得：，所以若存在3条切线，则等价于方程有三个解，即与有三个不同交点，数形结合即可解决

解：设切点坐标，切线斜率为，则有：

  切线方程为：

因为切线过，所以将代入直线方程可得：

所以问题等价于方程，令

即直线与有三个不同交点

令解得   所以在单调递减，在单调递增

所以若有三个交点，则

所以当时，过点存在3条直线与曲线相切

例10：已知曲线，点在抛物线上且的横坐标为，过作斜率为的直线交于另一点，交轴于，过点且与垂直的直线与交于另一点，问是否存在实数，使得直线与曲线相切？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析。点，则可求出，从而与抛物线方程联立可解得，以及点坐标，从而可写出的方程，再与抛物线联立得到点坐标。如果从坐标入手得到方程，再根据相切求，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于为切点，考虑抛物线本身也可视为函数，从而可以为入手点先求出切线，再利用切线过代入点坐标求，计算量会相对小些。

解：由在抛物线上，且的横坐标为1可解得

设化简可得：  

 消去：

设直线即

联立方程：

由可得：

切线的斜率

代入得：

小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算简便

（2）本题在求点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知的横坐标求出的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题。

三、近年好题精选：

1、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为________

2、已知直线与曲线切于点，则的值为_________

3、若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（    ）

A．最大值为       B．最大值为       C．最小值为      D．最小值为

4、（2015，新课标II文），已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______

5、（2015，陕西理）设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_________

6、（2014，广东）曲线在点处的切线方程为__________

7、（2014，江西）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为__________

8、已知函数，则过原点且与函数图像相切的直线方程为______

9、已知函数，若函数的图像在处的切线方程为，则_______,__________

习题答案：

1、答案：

解析：由切线过可得：，所以，另一方面，，且，所以，从而切线方程为：

2、答案：

解析：代入可得：，，所以有，解得

3、答案：B

解析：设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则。可知在单调递增，在单调递减，所以

4、答案：8

解析：，所以，切线方程为，联立方程，从而由相切可得：

5、答案：

解析：的导数，所以，故处的切线斜率为，设切点，由的导数，可得：，则，即点坐标

6、答案：

解析：，所以，则切线方程为：

7、答案：

解析：，因切点坐标未知，故设，由切线与平行可知切线斜率为，即，解得：，所以，即点坐标

8、答案：

解析：设切点坐标为，切线的斜率为，因为

所以切线方程为：

9、答案：

解析：将代入到直线方程可得切点坐标为

直线方程为