黑龙江省大庆市2020年中考数学真题试题（解析版）

2020年大庆市初中升学统一考试
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. －1，0，，这四个数中，最大的数是（ ）
A. －1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正数大于 大于负数，从而可得答案．
【详解】解：由正数大于 大于负数，
＜＜＜
所以：最大的数是
故选
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】，
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．
3. 若，则的值为（ ）
A. －5 B. 5 C. 1 D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性可求出x，y的值，代入计算即可；
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．
4. 函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．
【详解】解：由题意得：

故选：
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
5. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）

A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．
6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
7. 在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A. 平均分 B. 方差 C. 中位数 D. 极差
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】将该歌手的分数按从小到大进行排序为，，，，，，
则去掉前其中位数为分
去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为，，，，
则去掉后其中位数为分
因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．
8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A. 1：1 B. 1：3 C. 1：6 D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据结合已知条件可得答案．
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为，则圆柱的高为，


故选D．
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
9. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A. 或 B. 15 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
10. 如图，在边长为2的正方形中，，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合．设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为，则当时，的值为（ ）

A. 或 B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别是：①当x<1时，重叠部分为直角三角形的面积，将其三角形面积用x表示，但是求出，与x<1相违背，要舍去；②当12时，重叠部分为一个多边形，可以从剩余部分的角度进行求解，分别将矩形PQFE、、的面积用x表示，求出x即可，将x求出后，应该与前提条件假设的x的范围进行比较，判断x的值．
【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH中，如图所示，当A运动到MN的中点时，点E、F恰好与AB、AC的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，

∴AME和AMF均为等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，
设A到EF的距离AM=x，
①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB与EF交于P点，AC与EF交于Q点，

∵AM=x，且△APQ为等腰直角三角形，
∴，解得：，但是与前提条件x<1相违背，故不存在该情况；
②当1
∵公共部分面积为，正方形剩余部分，∴，四边形ANHP是直角梯形，当AM=x，则AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，
∴，解得：；
③当2＜x＜3时，此时图形的位置如下图所示，AB与EH交于K点，AB与HG交于I点，AC与FG交于L点，AC与HG交于J点，BC与EH交于P点，BC与GF交于Q点，

∵公共部分面积为，∴，
且，解得：或（舍），
④当x=3时，H,G分别是AB,AC的中点，此时重合的部分的面积为2，不符合题意；

⑤当x≥3时，重合的面积小于2，也不符合题意；
所以，满足条件的AM的值为或，
故选：A．
【点睛】本题考察了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把x的移动范围进行分类，根据不同的x取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用x进行表示，解题的关键在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
【答案】(﹣2，3)
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】
提出公因式a后，括号内的两项都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
13. 一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．
【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半
则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】
由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
15. 两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出树状图进行求解即可；
【详解】由题可得到树状图如下图所示：

∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键．
16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．

【答案】440
【解析】
分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17. 已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
18. 如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
如图，作过A、B、F作⊙O,为点F的轨迹，然后计算出,的长度即可．
【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB
∵等边
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°
∵
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB,OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=
∴∠OBG=30°
设OB=x，则OG=x
∴，解得x=或x=-（舍）
∴的长度为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】7．
【解析】
【分析】
先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得．
【详解】原式

．
【点睛】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点， 熟记各运算法则是解题关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】
先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【详解】原式

将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
21. 解方程：
【答案】3
【解析】
【分析】
去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
【详解】，
去分母得：，
解得：．
检验：把代入中，得，
∴是分式方程的根．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
22. 如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）

【答案】两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据俯角的定义得出，，，，再根据平行线的性质、角的和差可得，，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，又在中，解直角三角形可得，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】如图，过点A作于点N
由题意得：，，，
，
，
，米
是等腰直角三角形
（米）
在中，，即
解得（米）
在中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点、之间的距离为35米．

【点睛】本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23. 为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的，满足关系式．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求，的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）
【答案】（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40；（2）a=12，b=8；（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
【解析】
【分析】
（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；
（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，再根据可求得a和b的值；
（3）先计算出40名学生中一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）的人所占的比例，再乘以1000即可求解．
【详解】解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40
（2）设，则，
根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，
即a+b=20，
，解得，
∴a=12，b=8；
（3）（人），
答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
【点睛】本题考查抽样调查、读频数分布直方图的能力、利用统计图获取信息的能力和由样本估计整体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到，又因为，所以可以证明四边形为平行四边形；
（2）根据，从而可以证明平行四边形是菱形，得到，再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
在△AOM和△CON中

∴△AOM△CON
∴
又∵
∴四边形为平行四边形．
（2）∵四边形为平行四边形
∵
∴平行四边形菱形
∴
∵
设BN的长度为x
在Rt△ABN中，，




∴
【点睛】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．
25. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【解析】
【分析】
（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．
【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：，
至多需要购买21个甲种笔记本，
，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．
26. 如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点，的坐标和的面积．
【答案】（1）；（2）的面积为
【解析】
【分析】
（1）联立与求解的坐标，利用得到关于原点成中心对称，求解的坐标，结合已知得到的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）得到的值，得到的坐标，的解析式，记与轴的交点为 求解的坐标，利用可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：




当
当
经检验：符合题意．
＜

为与的交点，

轴，轴，


的面积为6．



反比例函数的解析式为：
（2）
直线为，
记与轴的交点为，
令 则





【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．
27. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为△ABC的中位线，即可求证；
（2）根据题中条件证明△BND∽△DNA，再根据AB=AC，进行等量代换即可证明；
（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，点D为BC中点，
又∵AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵，
∴OD⊥MN，
故是的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N，
∴△BND∽△DNA，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴


（3）∵，
∴BD=CD=3，
∵，
∴AC=，
∴AB=5，
由勾股定理可得AD=4，,
由（2）可得，△BND∽△DNA，
∴
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．
28. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）所以：当时， 的最大面积；（3）．
【解析】
【分析】
（1）把和点代入：，从而可得答案；
（2）过作轴于 过作轴于，则 利用的面积与的面积之比为1：7，求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设过作轴于，交于 建立的面积与的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；
（3）记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有 结合已知条件可得答案．
【详解】解：（1）把和点代入：，

解得：
所以：抛物线的解析式为：，
（2）,
令 则
解得：

过作轴于 过作轴于，则


的面积与的面积之比为1：7，








设的解析式为：

解得：
为：

解得：

过作轴于，交于
设
则


当最大，则的面积最大，
所以：当时，
所以的最大面积＝


（3）
令
记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，

令 则
解得：


抛物线的顶点为
当时，

当时，的取值范围是，



【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．