计数原理-备战2021年高考数学（理）纠错笔记 试卷

专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
易错点1 分类计数时考虑不全
☞典例分析
某有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？

1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．应用分类加法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．

1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有           种不同的选取方法(用数字作答).
易错点2 未选准分步依据
☞典例分析
将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？

对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.

1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
（2）完成每一步有若干方法;
（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．

2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为
A．5760 B．57600
C．2880 D．28800
易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件
☞典例分析
解不等式.

注意公式的适用条件．数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式A中，n∈N*，m∈N*，且n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．

1．应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“n∈N*，m∈N*，且n≥m”，即上标不大于下标且均为正整数.
2．这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.

对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：
（1） 排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.
（2） （2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：
①当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；
②对含有字母的排列数的式子进行变形.
注意常用变形的应用.

3．
A． B．
C． D．
【答案】D


组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.
组合数公式的阶乘形式主要作用有：(1)计算m，n较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
易错点4 重复计数与遗漏计数
☞典例分析
有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是
A．1260 B．2025
C．2520 D．5040

计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.

1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.
无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.
2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.
解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻，求不同排法种数的方法是：先将个元素排成一排,然后把k个元素插入个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.

4．某学校安排甲、乙、丙、丁等5位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有1位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,丙、丁也不能参加同一学科,则不同的安排方法有　　　　种. 
易错点5 不能正确区分分堆与分配问题
☞典例分析
有12本不同的书，分成4堆.
(1)若每堆3本，有几种方法？
(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)

1．分堆与分配问题
将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CC…C个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为.
2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．

5．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
易错点6 混淆项的系数与项的二项式系数
☞典例分析
若的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为　　　.

二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,或0”,有时也取其他值.
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

1．通项公式表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展开式中的项Tk＋1依赖于k.
2．一个二项展开式的第项的二项式系数是，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n有关的个组合数，与的取值无关，且是正数；而第项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.

6．已知(x2+)6的二项展开式中含x3项的系数为,则展开式的常数项为　　　　　,各项的系数和为　　　　. 

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有种不同的方法
完成这件事共有种不同的方法
【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．
2．两个计数原理的区别与联系
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一
每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏

（1）利用两个原理解决涂色问题
解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．
解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题．
（2）利用两个原理解决集合问题
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个．
二、排列
1．排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2．解决排列应用问题的步骤：
(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．
(2)注意对元素或位置有无特殊要求．
(3)借助排列数公式计算．

当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．
3．排列数、排列数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
公式，其中，且，叫做排列数公式.
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.

排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
三、组合
1．组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：
（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
2．组合数、组合数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
，其中，且.这个公式叫做组合数公式.
因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.另外，我们规定.
3．组合数的性质
性质1：.
性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.
性质2：.
性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.
四、二项式定理
1．二项式定理
，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数.
二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
2．二项式系数的性质
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.
（2）增减性与最大值.当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.
（3）各二项式系数的和.已知.令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为.
（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.
（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

1．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
2．（2020·山东高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
3．（2020·山东淄博·高三一模）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种 B．20种 C．22种 D．24种
4．（2020·首都师范大学附属中学高二期中）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·北京高三其他模拟）甲､乙､丙三人手持黑白两色棋子，在3行8列的网格中，三人同时从左到右，从1号位置摆到8号位置，若甲的1号位置与乙的1号位置颜色相同，称甲乙对应位置相同，反之称甲乙对应位置不同，则下列情况可能的是（ ）

A．甲乙丙相互有3个对应位置不同
B．甲乙丙互相不可能有4个对应位置不同
C．甲乙1个位置不同，甲丙3个位置不同，乙丙5个位置不同
D．甲乙3个位置不同，甲丙4个位置不同，乙丙5个位置不同
6．（2020·全国高三月考）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·广东清新一中高三月考）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
8．（2020·怀仁县大地学校高二月考（理））在某校运动会的开幕式中，学校对已经入选的男、女共名国旗护卫队队员进行队形安排，要求位男队员走在国旗后方，左、右两边各名队员负责护旗，且同侧的必须男女队员都有，则队员的安排方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·辛集市第一中学高三月考）已知，，，记为，，中不同数字的个数，如：，，，则所有的的排列所得的的平均值为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（理））用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
1

2

3

4

5

6

7

8

9

A．种 B．种 C．种 D．种
11．（2020·广西高三其他模拟（理））的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B． C．25 D．55
12．（2020·湖南雅礼中学高三其他模拟（理））如果的展开式中存在正的常数项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·怀仁县大地学校高二月考（理））若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·浙江高三其他模拟）设，下列一定不是二项式展开式中的项的是（ ）
A．6 B． C． D．
15．（2020·山西太原市实验中学高二期中（理））设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
16．（2020·全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
17．（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

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专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
易错点1 分类计数时考虑不全
☞典例分析
某有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，
根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．
【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．
【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．
根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．
【参考答案】39种.

1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．应用分类加法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．

1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有           种不同的选取方法(用数字作答).
【答案】18

易错点2 未选准分步依据
☞典例分析
将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？
【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；
同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.
【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.
【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;
同理，第2，3，4封信各有3种投法.
根据分步乘法计数原理，共有种投法.
【参考答案】81种.

对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.

1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
（2）完成每一步有若干方法;
（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．

2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为
A．5760 B．57600
C．2880 D．28800
【答案】B
【解析】先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即种排法，女生不排在两端,则加上另外的3名男生共4个选择中选2个排在两端，即种排法，剩下的元素全排列,即种排法，故有 =57600．
故选：B．

易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件
☞典例分析
解不等式.
【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84