2021届甘肃省高三理数第一次高考诊断试卷及答案

这是一份2021届甘肃省高三理数第一次高考诊断试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数第一次高考诊断试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔   〕
A.                            B.                            C.                            D. 
2.假设复数 满足 ，那么 的共轭复数是〔   〕
A.                             B.                             C.                             D. 
3.抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点，那么 〔   〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 12
4.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如下列图．那么甲、乙两人中靶环数的方差分别为〔   〕

A. 7，7                               B. 7，1.2                               C. 1.1，2.3                               
5.函数 ，那么 〔   〕
A. 是奇函数，且在 单调递减
B. 是奇函数，且在 单调递增
C. 是偶函数，且在 单调递减
D. 是偶函数，且在 单调递增
6. ， 表示两条不同直线， ， 表示两个不同平面．设有四个命题： ：假设 ， ，那么 ； ：假设 ， ，那么 ； ：假设 ， ，那么 ； ：假设 ， ，那么 ．那么以下复合命题中为真命题的是〔   〕
A.                              B.                              C.                              D. 
7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．假设将如下列图的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一局部，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为〔   〕

A.                          B.                          C.                          D. 
8. 是第四象限角，且 ，那么 〔   〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9.圆 上任意一点 到直线 的距离大于 的概率为〔   〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
10.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器〞，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．?周礼?中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地〞等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 ，外径 ，筒高 ，方高 ，那么其体积约为〔单位： 〕〔   〕

A.              B.              C.              D. 
11.在 中， ， ，那么 的面积的最大值为〔   〕
A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 
12.设实数 ，假设对任意的 ，不等式 恒成立，那么 的最小值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、填空题
13.设 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系是________．〔按照从大到小的顺序排列〕
14.向量 与向量 夹角为 ，且 ， ，要使 与 垂直，那么 ________．
15.展开式中 的系数为________．
16.函数 ， ，有以下命题：
① 的表达式可改写为 ；
②直线 是函数 图象的一条对称轴；
③函数 的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到；
④满足 的 的取值范围是 ．
其中正确的命题序号是________．〔注：把你认为正确的命题序号都填上〕
三、解答题
17.数列 的前 项和为 ，且 ， ．
〔1〕求 ；
〔2〕设 ，求使得 成立的最小正整数 ．
18.2021年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了?关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见?，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳总分值20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在 间，并得到如下列图频率分布直方图，计分规那么如下表：
一分钟跳绳个数





得分
16
17
18
19
20

〔1〕补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
〔2〕假设两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，那么称该小队为“潜力队〞，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队〞的概率．
19.如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ， ，平面 平面 ， 为棱 上一点．

〔1〕在平面 内能否作一条直线与平面 垂直？假设能，请画出直线并加以证明；假设不能，请说明理由；
〔2〕假设 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.椭圆 的焦距为 ，且经过点 ．
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设椭圆 上存在两点 ， ，使得 的斜率与 的斜率之和为-1，直线 是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，说明理由．
21.函数 ．
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕设函数 ，假设 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，直线 的方程为： 〔其中 为参数〕．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ．
〔1〕将直线 的方程化为普通方程，曲线 的方程化为直角坐标方程；
〔2〕假设直线 过点 且交曲线 于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 ．
23.函数 ， ．
〔1〕假设 ， ，解不等式 ；
〔2〕当 ， 时， 的最大值是 ，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：A

【分析】 求出A的范围，求出A，B的交集即可．
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】先求出z，再求出  的共轭复数即可。
3.【解析】【解答】抛物线 的准线方程是 ，椭圆 的右焦点是 ，
因为抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点，
所以p=4，
故答案为：B

【分析】 先求出椭圆的右焦点是 ，由此能求出p．
4.【解析】【解答】实线的数字为： ，
虚线的数字为： ，
所以 ，
,

.
故答案为：D

【分析】根据平均数，方差的公式，计算即可。
5.【解析】【解答】因为 ， ,定义域关于原点对称，
且 ，
所以 是偶函数，
当 时， ，
所以 在 单调递增，
故答案为：D

【分析】 根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性．
6.【解析】【解答】 ：假设 ， ，那么 是假命题，例如 也可能，故 是真命题；
：假设 ， ，那么 ，根据线面垂直的性质定理即线面平行的性质定理知是真命题；
：假设 ， ，那么 是假命题，例如可以 ；
：假设 ， ，那么 是假命题， 也可能相交.
所以 ， ， 是假命题， 是真命题，
故答案为：C

【分析】 ：m与n相交、平行或异面；：由线面垂直的性质定理得m⊥n；：由线面垂直的性质定理得m⊥n；：m与n相交、平行或异面．
7.【解析】【解答】因为 ，
所以下焦点为 ，渐近线方程为 ，即 ，
那么下焦点到 的距离为 ，
又因为 ，
解得 ，即 ，
所以渐近线方程为：
故答案为：B

【分析】 利用条件求出， 即可求解双曲线的渐近线方程．
8.【解析】【解答】因为 是第四象限角，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D

【分析】 由利用同角三角函数根本关系式可求sinα的值，利用正弦、余弦的二倍角公式及两角和差的余弦。
9.【解析】【解答】设圆心为 ，圆心到直线 的距离 ，
如图，
 
取 ，过 做 交圆于 ，可知满足条件的点在劣弧 上〔不包括A，B〕，
在 中， ,
所以 ， ， 即 ,
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为 ，
由几何概型可知 ,
故答案为：C
【分析】设圆心为 ，圆心到直线 的距离 ， 取 ，过 做 交圆于 ，可知满足条件的点在劣弧 上〔不包括A，B〕，由几何概型可知  。
10.【解析】【解答】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
组合体的体积为 ，
故答案为：D

【分析】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，根据圆柱的体积公式即可求出答案。
11.【解析】【解答】由余弦定理， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D

【分析】根据余弦定理及面积公式即可求出答案。
12.【解析】【解答】解：由题意 得 ，设 ， ，
可得 与 互为反函数，且 与 的图像关于 对称，
所以函数 〔或 〕的图像与直线 相切时 的值是不等式 恒成立时 的最小值，设函数 与直线 相切的切点为 ，
可得 可得 ，同时对 求导可得： ，可得 ，联立可得 ，解得： ，
那么 的最小值为 ，
故答案为：A.

【分析】 设 ， ，可得 与 互为反函数，且 与 的图像关于 对称，可得不等式恒成立，只需不等式恒成立，运用参数别离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得t的范围．
二、填空题
13.【解析】【解答】 ,
,
而 ， ，
所以b＞a＞c，
故答案为：b＞a＞c

【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
14.【解析】【解答】解：因为 与 垂直，
那么 ，
解得 .
故答案为： .

【分析】 将向量与 垂直的关系转化为内积为零，代入两向量的模与夹角，即可得到参数λ的方程，解方程求值。
15.【解析】【解答】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含 的项分别为 ， ， ， ，
合并同类项，那么含 的项为 ，
所以系数为24.
故答案为：24.

【分析】写出 的展开式的通项，令x的指数等于3和1，即得展开式中的系数。
16.【解析】【解答】 ，故①正确；
当 时， ，故②错误；
因为函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，
而 ,故③错误；
由 可得 ，解得 ，
所以 ,解得 ，故④正确.
故答案为：①④

【分析】 根据对称轴的定义可得f〔x〕的图象关于直线对称，故①正确；y=2sin2x的图象向右平移个单位得到故②不正确；求出函数的对称中心判定③不正确；求出函数的增区间判定④正确；求出函数的周期判断⑤不正确；由,知⑥不正确．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕利用数列的递推关系式，推出数列 是等比数列，然后求解即可;
〔2〕化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．
18.【解析】【分析】 〔1〕求出第一、二两组的频率，第三组的频率，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数；
〔2〕 根据频率分布直方图，一分钟跳绳个数在  那么可得16分， 而且这些事件的可能性相同，其中“潜力队〞的两人构成有4种情况，分别得分之和为  ，  ，  ，  ． 那么即可求得恰好选到“潜力队〞的概率 。
19.【解析】【分析】〔1〕 过  作  ，交棱  于  ，  为所求作的直线，根据面面垂直的性质可证得  平面 ；
〔2〕 取  中点  ，  中点  ，连接  ，那么  平面  ，以  为坐标原点，  所在直线为  轴，  所在直线为  轴，  所在直线为  轴，建立空间直角坐标系，求出 平面  的法向量 ， 设  与平面  所成角为   ，由 求出   与平面  所成角的正弦值 。
 
20.【解析】【分析】 〔1〕根据点的坐标和离心率，即可求出椭圆的方程；
〔2〕设   ，   ，设直线l：y=kx+m，构造方程组，消元，根据韦达定理，和弦长公式，运用斜率公式，计算化简整理，即k〔x-2〕+〔y+1〕=0，即可求定点．
21.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕求出g〔x〕的解析式，问题转化为关于x的方程 在  上有两个不相等的实数根，令函数   ，  ，根据函数的单调性求出k的范围即可．
22.【解析】【分析】 〔1〕：首先由   〔  为参数〕消去参数得普通方程，进一步把极坐标方程
  ，转化为普通方程；
〔2〕 直线  的参数方程为 ， 代入  可得 ， 根据中点坐标公式求出 。
 
23.【解析】【分析】 〔1〕通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可求得不等式   的解集；
〔2〕利用绝对值不等式的几何意义及根本不等式可证出  。