2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第29讲 图形的轴对称、平移和旋转 学案

第29讲　图形的轴对称、平移和旋转
知识梳理
1轴对称图形与轴对称

轴对称图形
轴对称
定义
如果一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴．
区别
轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形，对称轴不一定只有一条．
轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，只有一条对称轴．
轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）对应点的连线被对称轴垂直平分．
2中心对称图形与中心对称

中心对称图形
中心对称
定义
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称．
区别
中心称图形是指具有特殊形状的一个图形．
中心对称指的是两个全等图形之间的相互位置关系．
中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形全等；（2）对应点的连线都经过对称中心且被对称中心平分．
3平移

平移
旋转
定义
一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形移动叫做平移．
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定角度的图形变换叫做旋转．
要素
平移的方向和距离．
旋转中心、旋转角度和旋转方向．
性质
（1）平移前后的图形全等；（2对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
（1）旋转前后的图形全等；（2）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（3）对应点到旋转中心的距离相等．
与轴对称变换的关系
经过两次对称轴平行的轴对称变换，相当于一次平移；平移的距离是两对称轴距离的2倍．
经过两次对称轴相交的轴对称轴变换，相当于一次旋转，旋转的角度是两对称轴夹角的2倍．
5年真题
命题点1 轴对称图形与中心对称图形
1．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　C　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2018•广东）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　D　）
A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形
3．（3分）（2017•广东）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　D　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
4．（3分）（2016•广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　B　）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
命题点2 轴对称的性质
5．（4分）（2017•广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　10　．

10【解析】如图3中，连接AH．

由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1，
∴AH=AE2+EH2=32+12=10，故答案为10．
6．（4分）（2016•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　3　．

3【解析】由折叠得：BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°，
∴∠EB′C＝90°，∵BC＝3BE，∴EC＝2BE＝2B′E，∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝2AB，∴AB=12AC=12×23=3，故答案为：3．
命题点3 几何变换与探究
7．（9分）（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC＝　60　°；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．故答案为：60．
（2）如图1中，

∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA=12OB＝2，AB=3OA＝23，
∴S△AOC=12•OA•AB=12×2×23=23，∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=27，∴OP=2S△AOCAC=4327=2217．
（3）①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE＝ON•sin60°=32x，∴S△OMN=12•OM•NE=12×1.5x×32x，
∴y=338x2．∴x=83时，y有最大值，最大值=833．
②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
作MH⊥OB于H．则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin60°=32（8﹣1.5x），
∴y=12×ON×MH=-338x2+23x．当x=83时，y取最大值，y＜833，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝23，∴y=12•MN•OG＝123-532x，
当x＝4时，y有最大值，∵x＞4，
∴y最大值＜23，综上所述，y有最大值，最大值为833．
8．（9分）（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（23，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为　（23，2）　；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DEDB=33；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝23，∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴B（23，2）．故答案为（23，2）．
（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝23，∵tan∠ACO=AOOC=33，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°；
①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝23，
综上所述，满足条件的AD的值为2或23．
（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（23，0），∴直线AC的解析式为y=-33x+2，设D（a，-33a+2），∴DN=-33a+2，BM＝23-a
∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，
∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33．
②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，∴BH＝23-32x，
在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=(12x)2+(23-32x)2，
∴DE=33BD=33•(12x)2+(23-32x)2，
∴矩形BDEF的面积为y=33[(12x)2+(23-32x)2]2=33（x2﹣6x+12），
即y=33x2﹣23x+43，∴y=33（x﹣3）2+3，∵33＞0，∴x＝3时，y有最小值3．

9．（9分）（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，
在△AOB和△OPQ中，AB=PQ∠ABO=∠PQOBO=QO ，∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E．①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ＝x+2，OE=x+22，∴y=12×x+22•x，即y=14（x+1）2-14，
又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2﹣x，OE=2-x2，
∴y=12×2-x2•x，即y=-14（x﹣1）2+14，又∵0≤x≤2，
∴当x＝1时，y有最大值为14；综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．

3年模拟
1．（2020•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（　C　）

A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
2．（2020•大鹏新区一模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　A　）
A．B． C．D．
3．（2020•揭阳二模）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　C　）
A． B．C．D．
4．（2020•揭西县模拟）下列图形中：①等腰梯形；②等边三角形；③平形四边形；④圆，一定是轴对称图形而且对称轴不止一条的有（　B　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020•顺德区四模）若点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　B　）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）
6．（2020•荔湾区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD长是（　C　）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
7．（2020•番禺区模拟）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　A　）

A．6 B．12 C．62 D．2（1+2）
8．（2020•龙岗区模拟）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则mn为（　B　）

A．2 B．2 C．5+12 D．3+52
B【解析】连接AH、AG，作AM⊥HG于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB．
∵EA＝EH，∴∠1＝∠2，
∵∠EAB＝∠EHG＝90°，∴∠HAB＝∠AHG，
∵DH∥AB，∴∠DHA＝∠HAB＝∠AHM，
在△AHD和△AHM中，∠DHA=∠AHM∠D=∠AMH=90°AH=AH
∴△AHD≌△AHM（AAS），∴DH＝HM，AD＝AM，
∴AM＝AB．在Rt△AGM和Rt△AGB中，AG=AGAM=AB，∴Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），
∴GM＝GB，∴△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，
∵四边形ABCD的周长＝m＝4BC，
∴mn=2；故选：B．

9．（2019•白云区二模）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（　C　）

A．5 B．10 C．13 D．15
C【解析】由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，
由折叠可得，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，∴CD=4=2，
又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，
∴Rt△ACD中，AC=22+32=13，
故选：C．
10．（2020•福田区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
A【解析】如图连接PC，

在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴A′B′＝AB＝4，
∵P是A′B′的中点，∴PC=12A′B′＝2，
∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝1，
又∵PM≥PC﹣CM，即PM≥1，∴PM的最小值为1（此时P、C、M共线）．故选：A．
11．（2020•资兴市二模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C1处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长度为　25　．

25【解析】如图所示，过E作EG⊥BC于G，则AE＝BG，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，
∵Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴AE＝BG＝3，BE＝5，
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠可得，∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE＝5，
∴GF＝BF﹣BG＝5﹣3＝2，
∴Rt△EFG中，EF=EG2+GF2=42+22=25，故答案为：25．

12．（2020•平遥县一模）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB＝3，BC＝4，则折痕EF的长为　2512　．

2512【解析】设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，根据折叠的性质可得：∠NBD＝∠CBD，AM＝DM=12AD，∠FMD＝∠EMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，∴∠NBD＝∠ADB，
∴BN＝DN，设AN＝x，则BN＝DN＝4﹣x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2＝BN2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，∴x=78，即AN=78，
∵C′D＝CD＝AB＝3，∠BAD＝∠C′＝90°，∠ANB＝∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），∴∠FDM＝∠ABN，
∴tan∠FDM＝tan∠ABN，∴ANAB=MFMD，
∴783=MF2，∴MF=712，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，∴EF∥AB，
∵AM＝DM，∴ME=12AB=32，
∴EF＝ME+MF=32+712=2512．故答案为：2512．

13．（2020•番禺区模拟）在Rt△ABC中，AC⊥AB，D为内平面内一动点，CD＝a，CB＝b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ADC沿射线AB方向平移，得到△BEF，点A、C、D的对应点分别为点B、E、F，连接AF．
（1）如图，若D在△ABC内部，请在图中画出△BEF；
（2）在（1）的条件下，若CD⊥AF，求AF的长（用含a，b的式子表示）；
（3）若∠ABC＝α．试探究当线段AF的长度取最小值时∠ACD的大小（用含α的式子表示）．

解：（1）如图1所示：

（2）如图2中，连接CE，DF，AE．

∵将△ACD沿射线AB方向平移，得到△BEF，
∴CD∥EF，CD＝EF；AC∥BE，AC＝BE，
∴四边形ACEB是平行把四边形，
∵∠CAB＝90°，
∴四边形ABEC为矩形．∴BC＝AE，
∵CD⊥AF，∴EF⊥AF．
∵CD＝a，BC＝b，∴EF＝a，AE＝b．
∴AF=AE2-EF2=b2-a2．
（3）如图，当线段AF的长度最小时，F点在AE上，

∵四边形ABEC是矩形，∠ABC＝α，
∴AE＝BC，且互相平分，∴OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣α，
∴∠ACD＝∠BEF＝∠CBE＝90°﹣α．