北师大版八年级上册第四章 一次函数综合与测试精品同步测试题

这是一份北师大版八年级上册第四章 一次函数综合与测试精品同步测试题，共56页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
一次函数提优训练
1．如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．
（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；
（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．

2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△BOH的面积；
（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，
（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；
（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．

4．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．

5．如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；
（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．

6．如图1，在平面直角坐标系中OABC为矩形，OA＝2，OC＝3，AD＝1，点E（﹣1，0），直线l1过点C，D，过点E作直线l2∥l1交y轴于点F．

（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P，G分别为线段BC、DC上的动点，求AP+PG+EF的最小值；
（3）如图2，将△OEF绕着原点O顺时针旋转α°（15＜α＜180）得到△OE1F1，旋转过程中直线E1F1与直线l1交于点M，直线OF1与直线l1交于点N，当△F1MN为等腰三角形时，请直接写出等腰△F1MN腰的长度及α的值．
（附参考数据：如图，在Rt△KHR中，若∠H＝75°，∠R＝90°，则对应的边HK：HR＝+．）
7．如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上．
直线l1：2x﹣y+3＝0
直线l2：2x﹣y﹣3＝0
（1）若点N为l2上第一象限的点，△AHN为等腰Rt△，求N坐标．
（2）若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V．已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I为平面系上的点，且J（x，y），求x的范围（写出过程）．

8．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．

9．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点A、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．

10．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
（3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价2a元．在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求a的值．

11．某校九年级决定购买学习用具对在本次适应性考试中数学成绩进步较大的同学进行奖励，其中计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用y（元）与购买数量x（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套11元，
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若购买计划中，甲、乙两款圆规套装共需65套，甲款圆规套装的数量不超过50套，但不少于乙款圆规套装的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

12．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　 　米，乙在A地时距地面的高度b为　 　米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？

13．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：

C
D
总计/t
A
　 　
　 　
200
B
x
　 　
300
总计/t
240
260
500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
14．D县举办运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品5件和B种奖品2件，共需80元；若购买A种奖品3件和B种奖品3件，共需75元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）大会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
15．某手工艺人用A，B两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款玩具进行销售，拼制每款玩具所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款玩具x个，乙款玩具y个，共用去A种绒布3000片．
玩具
款式
A种绒布（片）
B种绒布（片）
甲款玩具
30
20
乙款玩具
15
30
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）已知每个甲款玩具的利润为a元（8≤a≤14），每个乙款玩具的利润为6元，假设两款玩具均能全部卖出；
①当a＝8时，若要获得总利润不少于850元，则至少要用去B绒布多少片？
②该艺人现有B种绒布数量在4800～5200片，求他加工这批玩具所获利润的取值范围．
16．某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲种商品进货价为每件70元，乙种商品进货价为每件35元，在定价销售时，2件甲种商品与3件乙种商品的售价相同，3件甲种商品比2件乙商品的售价多150元．
（1）每件甲商品与每件乙商品的售价分别是多少元？
（2）若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲商品多少件？
（3）若这批商品全部售完，该商店至少盈利多少元？
17．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）

18．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
19．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
20．某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个（其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量的）．设该校计划购进甲种书柜m个，资金总额为w元．求w与m的函数关系式，并请你为该校设计资金最少的购买方案．
21．某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠若单位参加旅游人数为x人，甲乙两家旅行社支付的费用分别为y1和y2元．
（1）写出y1，y2与x的关系式；
（2）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
22．某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌
A
B
进价（元/台）
120
180
售价（元/台）
150
240
（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；
（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？
23．十一期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，下面他们离家的距离y（km）与汽车行驶是时间x（h）之间的函数图象．
（1）求他们出发0.5小时，离家多少千米？
（2）求线段AB的函数解析式；
（3）他们出发2小时，离目的地还有多少千米？




参考答案
1．如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．
（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；
（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．

【分析】（1）证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，先根据圆周角定理可知：D在以PD为直径的圆上，即以PQ为直径的圆过定点D，证明△DMQ∽△AMD，列比例式，可得D的坐标；
证法二：如图2，连接BQ，可证明△ABQ是等腰三角形，到AB的中点D，则QD⊥AB，根据中点坐标公式可得定点D的坐标；
（2）如图3，过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，确定F在直线y＝x上，知道AF与直线y＝x垂直时AF有最小值，并根据等角的三角函数列比例式解决问题．
【解答】（1）证明：证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，

∴∠PDQ＝90°，
∵以PQ为直径的圆过定点D，
∵∠MAD+∠ADM＝∠ADM+∠QDM＝90°，
∴∠MAD＝∠QDM，
∵∠AMD＝∠DMQ＝90°，
∴△DMQ∽△AMD，
∴，即DM2＝AM•MQ，
设D（m，m﹣4），
∴m2＝（m﹣4+4）（6﹣m+4），
m2＝m（10﹣m），
5m2﹣20m＝0，
m1＝0（舍），m2＝4，
∴定点D（4，﹣2）；
证法二：如图2，连接BQ，

直线y＝x﹣4，当y＝0时，x﹣4＝0，
∴x＝8，
∴OB＝8，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴OA＝4，
∵Q（0，6），
∴AQ＝6+4＝10，BQ＝＝10，
∴AQ＝BQ，
取AB的中点D，连接DQ，则QD⊥AB，
∴以PQ为直径的圆过定点D，
∵A（0，﹣4），B（8，0），
∴定点D（4，﹣2）；
（2）解：∵△AQD旋转得到△A'QD'，
∴∠A'QD'＝∠AQD，
由图1知：tan∠AQD＝＝＝，
∴tan∠A'QD'＝tan∠AQD＝，
∴＝，
过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，

∵EF⊥FQ，
∴∠EFG+∠QFH＝∠EFQ＝90°，
∵∠EFG+∠FEG＝90°，
∴∠QFH＝∠FEG，
∵∠EGF＝∠FHQ＝90°，
∴△EGF∽△FHQ，
∴，
设EG＝n，则，
∴FH＝2n，
∴F（﹣2n，﹣n），
∴F在直线y＝x上，
∴AF的最小值即是A到直线y＝x的距离，如图4，
过F作FM⊥y轴于M，

∵F（﹣2n，﹣n），
∴OF＝n，
∴tan∠MOF＝，
∵∠MOF+∠AOF＝∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠MOF＝∠OAF，
∴tan∠OAF＝，
∴sin∠OAF＝＝，
∴，OF＝，
∴AF＝2OF＝．
【点评】此题是一次函数和几何变换综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，直线与坐标轴的交点坐标的求法，旋转的性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解本题的关键是熟练掌握圆周角定理和三角函数的定义．
2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△BOH的面积；
（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求解即可．
（2）求出直线OE的解析式，利用方程组确定点H的坐标即可解决问题．
（3）根据菱形的判定方法，分四种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，B（﹣，4），△ODE是由△OCB旋转得到，
∴OC＝OD＝4，
∴D（4，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．

（2）∵E（4，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
由，解得，
∴H（，），
∴OH＝＝，
∵OB＝＝，
∴S△BOH＝•OB•OH＝××＝．

（3）如图，由题意F（0，3），D（4，0），

∴OF＝3，OD＝4，
∴DF＝＝5，
当DM1为菱形的对角线时，M1（﹣4，0），N1（0，﹣3）．
当DM＝DF时，M2（﹣1，0）或M3（9，0），可得N2（﹣5，3），3（5，3），
当DF为对角线时，M4（，0），可得N4（，3），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣3）或（﹣5，3）或（5，3）或（，3）．
【点评】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（1）中求得D坐标是解题的关键，在（2）中求点H的坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，属于中考压轴题．
3．如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，
（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；
（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．

【分析】（1）联立直线AB表达式与直线CD表达式即可求解；
（2）如图，设点M（m，2m﹣4），求出点N（，），由MN2＝（m﹣）2+（﹣2m+4）2＝（3）2，即可求解；
（3）分0≤t≤1、1＜t≤3两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AB的表达式为：y＝2x﹣4，
直线CD的表达式为：y＝﹣x+5…①，
则点C、D的表达式分别为：（5，0）、（0，5），
联立直线AB表达式与直线CD表达式：y＝﹣x+5并解得：x＝3，
故点E（3，2）；

（2）如图，设点M（m，2m﹣4），

过点M作MN⊥CD交于点N，
则MN＝3，
∵MN⊥CD，
∴直线MN表达式中的k值为1，
设直线MN的表达式为：y＝x+b′，将点M坐标代入上式并解得：
直线MN的表达式为：y＝x+（m﹣4）…②，
联立①②并解得：x＝，则点N（，），
MN2＝（m﹣）2+（﹣2m+4）2＝（3）2，
解得：m＝1或5（舍去），
故点M（1，﹣2）；

（3）①如图2（左侧图），

当2≤t≤3时，图象到达O′Q′P′A′的位置，
OA＝2，OB＝4，∵GA′∥OB，则＝2，则GA′＝2AA′
则S＝AA′×A′G＝AA′×AA′tanα＝（t﹣2）2；

②3＜t≤4时，如图3，设A′P′交直线CD于点H，

此时，点A′（t，0），则A′C＝5﹣t＝A′H，
∴P′H＝P′E＝2﹣A′H＝3﹣（5﹣t）＝t﹣3，
∴S＝S梯形AA′P′E﹣S△EHP′＝（t﹣3+t﹣2）×2（t﹣3）2＝﹣t2+5t﹣；
③如图4，
4＜t≤5时，图象到达O′′Q′′P′′A′′的位置，
直线BE交O″Q″于点H′，直线CD交A″P″于点G′，

AA''＝t﹣2，AO''＝t﹣4，A''C＝5﹣t，H'O''＝2AO''＝2（t﹣4）＝2t﹣8，G'A''＝A''C＝5﹣t，
S△AO″H′＝×AO''×O''H'＝（t﹣4）2，同理S△A″CG′＝（5﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣4）2﹣（5﹣t）2＝﹣t2+13t﹣．
则AA″＝t，AO″＝t﹣2，A″C＝3﹣t，
H′O″＝2AO″＝2（t﹣2），G′A″＝A″C＝3﹣t，
S△AO″H′＝×AO″×O″H′＝（t﹣2）2，
同理：S△A″CG′＝（3﹣t）2，
S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣2）2﹣（3﹣t）2＝﹣t2+7t﹣，
故：S＝．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、正方形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
4．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．

【分析】（1）证明四边形OBCD为正方形，可得B（0，6），由待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，CL＝HL．BM∥EF，CM＝ME，证得△BCM≌△CDP，分别表示CE和AD的长，根据三角形面积公式可得结论；
（3）过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，则△EFR为等腰直角三角形，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，证明△EFG≌△REN，连接KE，设PD＝a，ED＝b，表示各边长，根据平行线分线段成比例定理列比例式，可得a＝b，从而得结论．
【解答】解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，
∴OB＝BC，∠OBC＝90°，
∵CD⊥x轴于点D，
∴∠CDO＝90°，
∵∠BOD＝90°，
∴四边形OBCD为正方形，
∵四边形OBCD的面积为36．
∴OB＝6，
∴B（0，6），
∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，
∴b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6；
（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，
∴A（﹣3，0），
如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，

∵BH＝BC，
∴CL＝HL，
∵BL⊥CP，EF⊥CP，
∴BM∥EF，
∴CM＝ME，
∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°
∴∠CBM＝∠PCD，
∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，
∴△BCM≌△CDP（ASA），
∴CM＝PD，
∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，
∴CE＝2CM＝2（6﹣t），
∵AD＝OA+OD＝9，
∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；
（3）设PD＝a，
如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BF＝EM＝PD＝a，
∴OF＝OP，
连接FP，设FK与OH交于A'，

∴∠OFP＝45°，
∵∠FOP+∠FHP＝180°，
∴F、O、P、H四点共圆，
∴∠OFP＝∠OHP＝45°，
∴∠OHF＝45°，
∵FK⊥OH，
∴∠FA'H＝90°，
∴∠EFK＝45°，
如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，

∴△EFR为等腰直角三角形，
∴EF＝ER，
过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、
∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，
∴△EFG≌△REN（AAS），
∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，
∵CG＝BF＝a，GE＝a，
设ED＝b，
∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，
∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，
∴OK＝b，
∵OK∥QR，
∴，即，
∴b（3a+b）＝（a+b）2，
∴a＝b，
∴3a＝6，
∴a＝2，
∴P（4，0）．
【点评】本题为一次函数综合运用题，涉及到三角形全等、一次函数表达式的求解，其中（3），求解△EFR为等腰直角三角形是本题的难点，本题相等线段较多，利用参数表示线段的长，是解决此类问题的关键．
5．如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；
（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．

【分析】（1）要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC＝AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；
（2）分两种情形：点N在x轴上方或下方分别求解即可．
（3）求OP﹣DE的值则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的长；
【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于M点，如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°
则∠MAC＝∠OBA
在△MAC和△OBA中，
，
∴△MAC≌△OBA（AAS）
则CM＝OA＝3，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣7，3）．

（2）如图2中，当点N在x轴上方时，CN∥x轴，此时N（﹣，3），可得M（﹣，0）或M′（，0）．

当点N′在x轴下方时，可得N′（﹣，﹣3），此时M（﹣，0）．
综上所述，满足条件的点N（﹣，3），M（﹣，0）或N（﹣，3），M（，0）或N（﹣，﹣3），M（﹣，0）．

（3）如图3中，过点D作DQ⊥OP于Q点，则OP﹣DE＝PQ，

∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
，
∴△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝3．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质一次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图1，在平面直角坐标系中OABC为矩形，OA＝2，OC＝3，AD＝1，点E（﹣1，0），直线l1过点C，D，过点E作直线l2∥l1交y轴于点F．

（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P，G分别为线段BC、DC上的动点，求AP+PG+EF的最小值；
（3）如图2，将△OEF绕着原点O顺时针旋转α°（15＜α＜180）得到△OE1F1，旋转过程中直线E1F1与直线l1交于点M，直线OF1与直线l1交于点N，当△F1MN为等腰三角形时，请直接写出等腰△F1MN腰的长度及α的值．
（附参考数据：如图，在Rt△KHR中，若∠H＝75°，∠R＝90°，则对应的边HK：HR＝+．）
【分析】（1）易求D，C两点坐标，利用待定系数法可求解直线l1的解析式，由l1∥l2，可设直线l2的解析式为，利用待定系数法可求解关系式；
（2）利用勾股定理可求解EF的长，即EF＝2，要求AP+PG+EF的最小值，即求AP+PG的最小值，过点A作关于BC所在直线的对称点A1，过A1作A1G⊥l1于G，当点A1，P，G在一条直线上时A1G为AP+PG的最小值，利用含30°角的直角三角形的性质可求解；
（3）可分三种情况讨论解决：当MF1＝MN＝2时；当F1M＝F1N＝时；当NF1＝NM时．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，AD＝1，
∴D（1，﹣2），C（3，0），
设直线l1为y＝kx+b，
把C（3，0），D（1，﹣2），代入解析式得，
解得，
∴直线l1的解析式为，
∵l1∥l2，
∴设直线l2的解析式为，
将E（﹣1，0）代入上式可得，
解得，
∴直线l2的解析式为；
（2）当x＝0时，，
∴F（0，），
∴EF＝，
∴EF＝2，
要求AP+PG+EF的最小值，即求AP+PG的最小值，
如图，过点A作关于BC所在直线的对称点A1，过A1作A1G⊥l1于G，则A1B＝AB＝OC＝3，

∵AP+PG＝A1P+PG，
当点A1，P，G在一条直线上时A1G为AP+PG的最小值，
∵四边形OABC为矩形，OA＝2，OC＝3，AD＝1，
∴BD＝2，BC＝，∠ABC＝90°，
∴DC＝，A1D＝5，
∴∠DCB＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵∠A1GD＝90°，
∴∠GA1D＝30°
∴DG＝，A1G＝，
∴AP+PG+EF的最小值为；
（3）如图①，当MF1＝MN＝2时，α＝60°；

如图②，当F1M＝F1N＝时，α＝105°；
如图③，当NF1＝NM＝时，α＝150°．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合题，涉及的知识点有一次函数的应用，轴对称的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，注意分类讨论思想的运用．
7．如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上．
直线l1：2x﹣y+3＝0
直线l2：2x﹣y﹣3＝0
（1）若点N为l2上第一象限的点，△AHN为等腰Rt△，求N坐标．
（2）若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V．已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I为平面系上的点，且J（x，y），求x的范围（写出过程）．

【分析】（1）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点N在第一象限；若点H为直角顶点时，点N在第一象限；③若点N为直角顶点时，点N在第一象限；进行讨论可求点N的坐标；
（2）根据矩形的性质可求J点的横坐标x的取值范围．
【解答】解：（1）①若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连结AC，
如图1，∠AHB＞∠ACB＞45°，
∴△AHN不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点H为直角顶点时，点N在第一象限，如图1，
过点N作MN⊥CB，交CB的延长线于点M，
则Rt△ABH≌Rt△HMN（HL），
∴AB＝HM＝4，MN＝HB，
设N（x，2x﹣3），则MN＝x﹣4，
∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），
x＝，
∴N（，）；
③若点N为直角顶点时，点N在第一象限，如图2，
设N1（x，2x﹣3），
过点N1作N1G1⊥OA，交BC于点P1，
则Rt△AN1G1≌Rt△HM1P1，
∴AG1＝N1P1＝3﹣（2x﹣3），
∴x+3﹣（2x﹣3）＝4，
x＝2
∴N1（2，1）；
设N2（x，2x﹣3），
同理可得x+2x﹣3﹣3＝4，
∴x＝，
∴N2（，）；
综上所述，点N的坐标为（，）；（2，1）；（，）；

（2）当点J在直线l2上时，
∵点J的横坐标为x，
∴N（x，2x﹣3），
当点H和点B重合时，H（4，3），
∴AH的中点G坐标为（2，3），
∵四边形AJHI是矩形，
∴∠AJB＝90°，
∴JG＝AP＝2，
∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣3）2＝4，
∴x＝（点J在AB上方的横坐标）或x＝2（点J在AB下方的横坐标），
当点H和点C重合时，H（4，0），AH的中点G'坐标为（2，），
同理：NG'＝AP＝，
∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣）2＝，
∴x＝（和点J在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x＝（和点J在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标）
∴≤x≤或≤x≤2．
当点J在l1上时，同理：﹣≤x＜0或0＜x≤．
综上所述，x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤2或≤x≤．


【点评】考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
8．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．

【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．
（2）由题意直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解决问题．
（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．证明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG＝AF，根据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由题意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出＝，可得DH＝6a，推出tan∠PHD＝＝＝2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan∠FHT＝＝2，推出HT＝2，再根据OT＝OD+DH+HT，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，
∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，
∴C（12，9），
∵AC⊥x轴，
∴A（12，0），
∵OA＝OB，
∴B（0，﹣12），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．

（2）如图2中，

∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACM是矩形，
∴AO＝CM＝12，
∵NC＝OM＝9，
∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，
∴N（3，9），
∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），
∴OD＝4a，
把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，
∴E（4a，3a），
∴DE＝3a，
把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，
∴P（4a，12a），
∴PD＝12a，
∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，
∴＝．

（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．

∵GF∥x轴，
∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，
∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，
∴四边形OSRA是矩形，
∴OS＝AR，
∴SR＝OA＝12，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAR＝∠AFR，
∴FR＝AR＝OS，
∵OF⊥FQ，
∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，
∴∠OFS+∠QFR＝90°，
∵∠QFR+∠FQR＝90°，
∴∠OFS＝∠FQR，
∴△OFS≌△FQR（AAS），
∴SF＝QR，
∵∠SFB＝∠AFR＝45°，
∴∠SBF＝∠SFB＝45°，
∴SF＝SB＝QR，
∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，
∴△BSG≌△QRG（AAS），
∴SG＝GR＝6，
设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，
∵GQ﹣FG＝AF，
∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，
∵GQ2＝GR2+QR2，
∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，
解得m＝4，
∴FS＝8，AR＝4，
∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，
∴四边形OSFT是矩形，
∴OT＝SF＝8，
∵∠DHE＝∠DPH，
∴tan∠DHE＝tan∠DPH，
∴＝，
由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，
∴＝，
∴DH＝6a，
∴tan∠PHD＝＝＝2，
∵∠PHD＝∠FHT，
∴tan∠FHT＝＝2，
∴HT＝2，
∵OT＝OD+DH+HT，
∴4a+6a+2＝8，
∴a＝，
∴OD＝，PD＝12×＝，
∴P（，）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点A、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，结论：的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+4．

（2）如图1中，结论：的值不变．
理由：连接BM，设PB交OM于G．

∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵四边形POMN是正方形，
∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，
∴∠AOP＝∠BOM，
∵OA＝OB，
∴△AOP≌△BOM（SAS），
∴∠OPG＝∠GMB，
∵∠OGP＝∠BGM，
∴∠GBM＝∠GOP＝90°，
∵QM＝QP，
∴QB＝QP＝QM，
∵△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝QP，
∴＝＝．
如图1﹣1中，当点P在AB的延长线上时，

同法可证，△AOP≌△BOM（SAS），
∴∠APG＝∠GMO，
∵∠OGM＝∠BGP，
∴∠GBP＝∠GOM＝90°，
∵QM＝QP，
∴QB＝QP＝QM，
∵△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝QP，
∴＝＝，
综上所述，＝．

（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，

∵BH垂直平分线段PN，BH垂直平分线段OM，
∴BM＝OB＝4，
∴M（﹣2，4+2），
∴P（﹣4﹣2，﹣2），
∴BN＝BP＝•（4+2）＝4+4，
∴PH＝BN＝4+4，
∵QB＝QN＝OQ，
∴∠NBO＝90°，
∴BN∥OA∥PH，
∴H（﹣6﹣8，﹣2）．
如图2﹣2中，当点P与A重合时，得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合，H（0，0）．

如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，设PH交OB于J，在JO上取一点F，使得PJ＝JF．

∵BP＝BN，
∴∠BPN＝∠BNP＝22.5°，
∵∠OPN＝90°，∠PAO＝45°，
∴∠APO＝67.5°，
∴∠AOP＝67.5°，
∴∠POJ＝22.5°，
∵∠PFJ＝∠FPO+∠POF＝45°，
∴∠FPO＝∠POF＝22.5°，
∴PF＝OF，设PJ＝BJ＝JF＝x，则PB＝BN＝PF＝OF＝x，
∴2x+x＝4，
∴x＝4﹣2，
∴BN＝PH＝4﹣4，P（2﹣4，2），
∴H（6﹣8，2），
综上所述，满足条件的点H的坐标为（﹣6﹣8，﹣2）或（0，0）或（6﹣8，2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
（3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价2a元．在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求a的值．

【分析】（1）由乙团队人数不超过40人，讨论x的取值范围，得到分段函数；
（2）由（1）在甲团队人数不超过80人时，讨论y的最大值与联合购票费用相减即可；
（3）在（2）的基础上在购票单价减去a元，经过讨论，得到含有a的购票最大费用，两个团队联合购票费用为100（120﹣2a），根据题意构造方程．
【解答】解：（1）由题意乙团队人数为（100﹣x）人
则100﹣x≤40
x≥60
当60≤x≤80时，
y＝130x+150（100﹣x）＝﹣20x+15000
当80＜x＜100时
y＝120x+150（100﹣x）＝﹣30x+15000
（2）由（1）
甲团队人数不超过80人
∵k＝﹣20＜0
∴y随x增大而减小
∴当x＝60时，y最大＝13800
当两团队联合购票时购票费用为
100×120＝12000
甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约13800﹣12000＝1800元．
（3）在（2）的条件下
当60≤x≤80时，
y＝（130﹣a）x+150（100﹣x）＝﹣（20+a）x+15000
∵k＝﹣（20+a）＜0
∴y随x增大而减小
∴当x＝60时，y最大＝13800﹣60a
由价格方案，联合购票费用为100（120﹣2a）＝12000﹣200a
∴13800﹣60a﹣（12000﹣200a）＝3900
解得a＝15
答：a的值为15
【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查了分段函数，一元一次不等式以及如何讨论含有字母参数的一次函数最值问题．
11．某校九年级决定购买学习用具对在本次适应性考试中数学成绩进步较大的同学进行奖励，其中计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用y（元）与购买数量x（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套11元，
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若购买计划中，甲、乙两款圆规套装共需65套，甲款圆规套装的数量不超过50套，但不少于乙款圆规套装的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以求得费用的最小值和所对应的的购买方案．
【解答】解：（1）当0≤x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，
30k1＝360，
解得，k1＝12，
即当0≤x≤30时，y与x的函数关系式为y＝12x，
当x＞30时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，
，
解得，
即当x＞30时，y与x的函数关系式是y＝10x+60，
综上可知：y与x的函数关系式为y＝；

（2）设购买甲款圆规套装的数量x套，则购买乙款圆规套装的数量是（65﹣x）支，
由甲款圆规套装的数量不超过50套，但不少于乙款圆规套装的数量，得
，
解得32.5≤x≤50，
∵x为整数，
∴33≤x≤50，
设总费用为W元，
当x＞30时，y与x的函数关系式是y＝10x+60，
∴W＝11（65﹣x）+（10x+60）＝﹣x+775，
以为k＝﹣1＜0，所以W随x的增大而减小，
故当x＝50时，W取得最小值，此时W＝725，65﹣x＝15，
答：当购买甲款圆规套装50套，B种乙款圆规套装15套时总费用最低，最低费用是725元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
12．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　10　米，乙在A地时距地面的高度b为　30　米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？

【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x＜2和x≥2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者作差等于70得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝70，得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30；

（2）当0≤x＜2时，y＝15x；
当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；

（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；
当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．
答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度＝初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式作差找出关于x的一元一次方程．
13．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：

C
D
总计/t
A
　（240﹣x）　
　（x﹣40）　
200
B
x
　（300﹣x）　
300
总计/t
240
260
500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【分析】（1）根据题意，用240减x可得需要从A处调运的数量；用200减去（240﹣x）可得从A调研往D处的数量；300减去x即为从B调运往D处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；
（3本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0＜m＜2时；当m＝2时；当2＜m＜15时．
【解答】解：（1）填表如下：

C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200
由题意得：
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0
∴w随x的增大而增大
∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：

（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：

【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．
14．D县举办运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品5件和B种奖品2件，共需80元；若购买A种奖品3件和B种奖品3件，共需75元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）大会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
【分析】（1）设A、B两种奖品的单价分别为x、y元，则，即可求解；
（2）设购买A种奖品m件，则B为（100﹣m）件，由题意得：，而W＝10m+15（100﹣m）＝1500﹣5m，即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种奖品的单价分别为x、y元，
则，
解得：；

（2）设购买A种奖品m件，则B为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：70≤m≤75，
W＝10m+15（100﹣m）＝1500﹣5m，
当m＝75时，W有最小值为：1125，
答：最少费用为1125．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是（2）中用不等式组，确定m的取值范围．
15．某手工艺人用A，B两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款玩具进行销售，拼制每款玩具所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款玩具x个，乙款玩具y个，共用去A种绒布3000片．
玩具
款式
A种绒布（片）
B种绒布（片）
甲款玩具
30
20
乙款玩具
15
30
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）已知每个甲款玩具的利润为a元（8≤a≤14），每个乙款玩具的利润为6元，假设两款玩具均能全部卖出；
①当a＝8时，若要获得总利润不少于850元，则至少要用去B绒布多少片？
②该艺人现有B种绒布数量在4800～5200片，求他加工这批玩具所获利润的取值范围．
【分析】（1）由题意通过的数量关系，可得出关系式；
（2）①求出B原料的用量与乙玩具的个数y的函数关系式，根据函数的增减性可得答案；
②建立不等式组，确定x的取值范围，再根据a的取值范围，再根据函数的增减性求出相应的值即可．
【解答】解：（1）由题意得，
30x+15y＝3000，即：y＝﹣2x+200；
（2）①由题意得：8x+6y≥850，
由（1）得，2x＝200﹣y，代入得，y≥25，
设B原料的用量为w，则w＝20x+30y，即w＝20y+2000，
∵k＝20＞0，
∴w随着y的增大而增大，
∴当y取最小值25时，w的最小值为25×20+2000＝2500，
因此若获得总利润不少于850元时，则至少要用去B原料2500片；
②由题意得，，解得，20≤x≤30，
设总利润为W元，则M＝ax+6y＝ax+6×（200﹣2x）＝（a﹣12）x+1200，
当12≤x≤14时，则a＝14，x＝30时，M最大＝1260元，
当8≤x≤12时，则a＝8，x＝20时，M最大＝1080元，
所以利润的取值范围为1080≤M≤1260．
【点评】本题考查一次函数、一元一次不等式组的应用，掌握函数的增减性和自变量的取值范围是正确计算的前提．
16．某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲种商品进货价为每件70元，乙种商品进货价为每件35元，在定价销售时，2件甲种商品与3件乙种商品的售价相同，3件甲种商品比2件乙商品的售价多150元．
（1）每件甲商品与每件乙商品的售价分别是多少元？
（2）若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲商品多少件？
（3）若这批商品全部售完，该商店至少盈利多少元？
【分析】（1）可设甲种商品的销售利润为x元，乙种商品的销售利润为y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售利润相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售利润多150元，列出方程组求解即可；
（2）设进货甲商品a件，则乙商品（80﹣a）件．根据“甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元”列出不等式并解答；
（3）设进货乙商品b件，利润为M元．由题意列出一次函数关系式M＝（90﹣70）（80﹣b）+（60﹣35）b＝5b+1600，结合一次函数图象的性质求得最值．
【解答】解：（1）设每件甲商品与每件乙商品的售价分别是x、y元．
依题意得：，
解得；

（2）设进货甲商品a件，则乙商品（80﹣a）件．
依题意得：70a+35（80﹣a）≤4200
解得a≤40；

（3）设进货乙商品b件，利润为M元．
由（2）得a≤40，则b≥40
M＝（90﹣70）（80﹣b）+（60﹣35）b＝5b+1600
∵5＞0
∴M随b的增大而增大
∴当b＝40时，M取得最小值，即5×40+1600＝1800（元）
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
17．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）

【分析】（1）由图可看出，乙车所行路程y与时间x的成一次函数，使用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点横坐标为6，代入（1）中的函数即可求得距出发地的路程；
（3）交点P表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点P的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点P的纵坐标先求出；从图中看出，点P的纵坐标与点B的纵坐标相等，而点B在线段BC上，BC对应的函数关系可通过待定系数法求解，点B的横坐标已知，则纵坐标可求．
【解答】解：（1）设乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，得，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝60x﹣120（x≥2）；

（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y＝60×6＝120＝240，
则F点坐标为（6，240），
故两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为240千米；

（3）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2，
把（6，240）、（8，480）代入，
得，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝120x﹣480，
则当x＝4.5时，y＝120×4.5﹣480＝60．
可得：点B的纵坐标为60，
∵AB表示因故停车检修，
∴交点P的纵坐标为60，
把y＝60代入y＝60x﹣120中，
有60＝60x﹣120，
解得x＝3，
则交点P的坐标为（3，60），
∵交点P表示第一次相遇，
∴乙车出发3﹣2＝1小时，两车在途中第一次相遇．
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较高．
18．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a＝10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为w元，
w＝9000a+6000（30﹣a）＝3000a+180000，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
19．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；

（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；

②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
20．某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个（其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量的）．设该校计划购进甲种书柜m个，资金总额为w元．求w与m的函数关系式，并请你为该校设计资金最少的购买方案．
【分析】（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，由题意得：，解得：；
（2）由题意得：w＝180m+240（20﹣m）＝﹣60m+4800，20﹣m≥，解得：m≤12，即可求解．
【解答】解：（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，由题意得：，解得：；

（2）由题意得：w＝180m+240（20﹣m）＝﹣60m+4800，
20﹣m≥，解得：m≤12，
∵﹣60＜0，
∴w随m 的增大而减小
∵0≤m≤12，
∴当m＝12时，w取最小值，最小值为﹣60×12+4800＝4080（元），
∴当购买甲书柜12个，乙书柜8个时，资金最少．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是列出w与m的函数关系式．
21．某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠若单位参加旅游人数为x人，甲乙两家旅行社支付的费用分别为y1和y2元．
（1）写出y1，y2与x的关系式；
（2）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
【分析】（1）根据甲、乙旅行社的不同的优惠方案，可求出函数关系式，
（2）分情况讨论，得出人数的取值范围，进而确定当人数在什么范围选择哪个旅行社．
【解答】解：（1）y1＝200×75%×x＝150x，（10≤x≤25），y2＝200×80%（x﹣1）＝160x﹣160，（10≤x≤25）
（2）①当y1＝y2时，即：150x＝160x﹣160，
解得，x＝16，
②当y1＞y2时，即：150x＞160x﹣160，
解得，x＜16，
③当y1＜y2时，即：150x＜160x﹣160，
解得，x＞16，
答：当10≤x＜16时，乙旅行社费用较少，当x＝16，时，两个旅行社费用相同，当16＜x≤25时，甲旅行社费用较少．
【点评】考查一次函数的应用，正确地求出函数关系式是正确解答的关键，分情况讨论是函数问题常用的方法．
22．某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌
A
B
进价（元/台）
120
180
售价（元/台）
150
240
（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；
（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？
【分析】（1）设A品牌的洗衣机购进x台，B品牌的洗衣机购进y台，根据购进两种洗衣机的总价及销售完后的利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝单台利润×销售数量（购进数量），列出函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）设4月份购进A种型号的电风扇x台，B种型号的电风扇y台，
依题意得：，解得：．
答：商场4月份购进A种型号的电风扇100台，B种型号的电风扇50台．

（2）设5月份购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇（300﹣m）台，利润为w元．
由题意得，120m+180（300﹣m）≤42000，
解不等式得：m≥200，
又∵300﹣m≥50，即m≤250，
∴200≤m≤250，
w＝（150﹣120）m+（0.9×240﹣180）（300﹣m）＝﹣6m+10800，
∵﹣6＜0，w随m的增大而减小，
∴当m＝200时，w有最大值，此时，300﹣m＝100．
答：A种型号的电风扇购进200台，B种型号的电风扇购进100台时，利润最大．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
23．十一期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，下面他们离家的距离y（km）与汽车行驶是时间x（h）之间的函数图象．
（1）求他们出发0.5小时，离家多少千米？
（2）求线段AB的函数解析式；
（3）他们出发2小时，离目的地还有多少千米？

【分析】（1）求出线段OA所对应的函数关系式，求出当x＝0.5时，y的值即可，
（2）用待定系数法可求出线段AB所对应的函数关系式，
（3）把x＝2代入AB所对应的关系式，可求出y的值，再从总路程170千米减去y的值即可．
【解答】解：（1）设线段OA所对应的y与x的关系式为，y＝kx，把（1.5，90）代入得，
1.5k＝90，
解得，k＝60，
∴线段OA所对应的y与x的关系式为，y＝60x，（0≤x≤1.5）
当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30，
答：他们出发0.5小时，离家30千米．
（2）设线段AB所对应的y与x的关系式为，y＝kx+b，把（1.5，90），（2.5，170）代入得，
，
解得，k＝80，b＝﹣30
∴线段AB所对应的y与x的关系式为，y＝80x﹣30，（1.5＜x≤2.5）
（3）当x＝2时，代入y＝80x﹣30得，y＝130，
170﹣130＝40千米，
答：他们出发2小时，离目的地还有40千米．
【点评】考查一次函数的图象和性质，用待定系数法求出函数的关系式是解决问题的关键，同时要充分了解分段函数的意义．