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2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有-项是符合题目要求的.）
1．已知x＝2是方程x2﹣px+2＝0的一个实数根，那么p的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
2．下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．270°
4．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
5．关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
6．设点P（x，y）在第四象限内，且|x|＝3，＝2．则点P关于原点的对称点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
7．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
8．如图，点D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7 B．9 C．16 D．17
9．已知抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，则y1、5、y2大小关系是（ ）
A．y1＞5＞y2 B．y2＞5＞y1 C．5＞y2＞y1 D．5＞y1＞y2
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是 ．
12．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费4800万元，设这两年投入教育经费的平均增长率均为x，依据题意可列方程 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，AB＝3，则四边形AEOF的面积是 ．
14．已知函数y＝x2+4x﹣5，当x＝m时，y＞0，则m的取值范围可能是 ．
15．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（6分）解方程：x2+4x﹣4＝0．
18．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点．将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，连接DE．求证：DE＝AE．
19．（8分）已知A＝（2a﹣b）2+2（2a﹣b）（a﹣b）+（a﹣b）2．
（1）化简A．
（2）若a、b为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，a＞b，求此时A的值．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．
（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．
22．（10分）某商店销售一批纪念品，每件进货价为30元．若售价为每件40元时，每天可售出300件．商场规定该纪念品的销售单价不低于40元，且获利不高于80%．根据市场反应：每涨价1元，每天少卖出10件．设该纪念品的售价为每件x元，销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）设商店每天销售纪念品获得的利润为w元，求商店获得最大利润时纪念品的售价．
（3）若商品某天获利3360元，求当天纪念品的售价．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：EF＝BF+DE．
（3）试试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
24．（12分）如图①，直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+bx+c相交于在x轴和y轴上的B、C两点，OB＝6，D为抛物线的顶点．M是线段BC上的一动点（M与B、C不重合），过M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．
（1）k＝ ；b＝ ．
（2）求MN的最大值．
（3）如图②，若M是线段BC的中点，P是抛物线上的一动点，且点P在直线MN的右侧，连接PM、PC，当△PCM的面积是时，求此时点P的坐标．
2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有-项是符合题目要求的.）
1．已知x＝2是方程x2﹣px+2＝0的一个实数根，那么p的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【分析】把x＝2代入方程，即可求出答案．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣px+2＝0得：4﹣2p+2＝0，
即p＝3，
故选：D．
2．下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；
选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；
选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
故选：B．
3．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．270°
【分析】观察图形可得，图形有两个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．
则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．
故这个角不能是120°．
故选：B．
4．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，
故选：A．
5．关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【分析】根据第一个方程求得k的值，然后计算第二个方程根的判别式，利用k的值进行判断其符号即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，
∴△1＝42﹣4（k﹣1）＝0，
∴k＝5，
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0中，△2＝16﹣4k＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
故选：C．
6．设点P（x，y）在第四象限内，且|x|＝3，＝2．则点P关于原点的对称点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
【分析】直接利用二次根式的性质以及第四象限内点的坐标特点得出x，y的值，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限内，
∴x＞0，y＜0，
∵|x|＝3，＝2，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
则点P关于原点的对称点是：（﹣3，2）．
故选：B．
7．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
8．如图，点D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7 B．9 C．16 D．17
【分析】根据勾股定理分别求出AB、BC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，AB＝＝＝5，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝13，
∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EF＝BC＝，HG＝BC＝，EH＝AD＝，FG＝AD＝，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝16，
故选：C．
9．已知抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，则y1、5、y2大小关系是（ ）
A．y1＞5＞y2 B．y2＞5＞y1 C．5＞y2＞y1 D．5＞y1＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+k的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，
∴点（﹣2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∵﹣＜0＜1，
∴5＞y1＞y2，
故选：D．
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为B（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是 （1，5） ．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故答案为：（1，5）．
12．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费4800万元，设这两年投入教育经费的平均增长率均为x，依据题意可列方程 2500（1+x）2＝4800 ．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2020年的投入可得出方程．
【解答】解：依题意得2019年的投入为2500（1+x）、2020年投入是2500（1+x）2，
则2500（1+x）2＝4800．
故答案为：2500（1+x）2＝4800．
13．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，AB＝3，则四边形AEOF的面积是 ．
【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△DOF，可得四边形AEOF的面积＝S△AOD，即可求解．
【解答】解：∵△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，
∴△AOE≌△DOF，
∴S△AOE＝S△DOF，
∴四边形AEOF的面积＝S△AOD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S△AOD＝S正方形ABCD＝×3×3＝，
故答案为．
14．已知函数y＝x2+4x﹣5，当x＝m时，y＞0，则m的取值范围可能是 m＜﹣5或m＞1 ．
【分析】根据函数y＝x2+4x﹣5，令y＝0求出x的值，即可得到该函数与x轴的两个交点，再根据二次函数的性质，即可得到当x＝m时，y＞0时m的取值范围．
【解答】解：当y＝0时，0＝x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1），解得x1＝﹣5，x2＝1，
∵函数y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵当x＝m时，y＞0，
∴m的取值范围是m＜﹣5或m＞1，
故答案为：m＜﹣5或m＞1．
15．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为 3或7 ．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4（k+2）≥0，
解得k≤7；
若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合三角形三边条件，
所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，
则k+2＝5，即k＝3；
若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5，符合三角形三边条件，
则k+2＝9，即k＝7；
综上，k的值为3或7，
故答案为：3或7．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
【分析】过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且A、B关于直线x＝﹣2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝4，DE＝AB＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，
∴A（0，﹣4），E（﹣2，﹣6），
把A、E的坐标代入y＝a（x+2）2+c得：
，
解得：a＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（6分）解方程：x2+4x﹣4＝0．
【分析】方程变形后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝4，
配方得：x2+4x+4＝8，即（x+2）2＝8，
开方得：x+2＝±2，
解得：x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
18．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点．将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，连接DE．求证：DE＝AE．
【分析】由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，可证△ADE是等边三角形，可得结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．
19．（8分）已知A＝（2a﹣b）2+2（2a﹣b）（a﹣b）+（a﹣b）2．
（1）化简A．
（2）若a、b为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，a＞b，求此时A的值．
【分析】（1）利用完全平方公式计算；
（2）先利用因式分解法解方程得到a＝3，b＝﹣1，然后把a、b的值代入A＝（3a﹣2b）2中计算即可．
【解答】解：（1）A＝[（2a﹣b）+（a﹣b）]2
＝（3a﹣2b）2
＝9a2﹣12ab+4b2；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴A＝（3a﹣2b）2＝（9+2）2＝121．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作AD⊥y轴于D，先确定B点坐标，然后根据△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC进行计算．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当x＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝3，则B（0，3），
作AD⊥y轴于D，如图，
因为AD＝1，OC＝3，OD＝4，OB＝3，
所以△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC
＝×（1+3）×4﹣×1×1﹣×3×3
＝3．
21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．
（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，再利用待定系数法求出直线A′A2的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，则P点为所作；
设直线A′A2的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣2，﹣3），A2（2，2）代入得，解得，
∴直线A′A2的解析式为y＝x﹣，
当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）．
22．（10分）某商店销售一批纪念品，每件进货价为30元．若售价为每件40元时，每天可售出300件．商场规定该纪念品的销售单价不低于40元，且获利不高于80%．根据市场反应：每涨价1元，每天少卖出10件．设该纪念品的售价为每件x元，销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）设商店每天销售纪念品获得的利润为w元，求商店获得最大利润时纪念品的售价．
（3）若商品某天获利3360元，求当天纪念品的售价．
【分析】（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣40），而40≤x≤30（1+80%），即40≤x≤54，即可求解；
（2）由题意得：w＝y（x﹣30），再根据函数的增减性即可求解；
（3）由题意得：w＝3360，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣40）＝700﹣10x，
而40≤x≤30（1+80%），即40≤x≤54，
即y＝700﹣10x（40≤x≤54）；
（2）由题意得：w＝y（x﹣30）＝（700﹣10x）（x﹣30）＝﹣10（x﹣70）（x﹣30），
则函数的对称轴为x＝（70+30）＝50，
∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，
当x＝50时，w取得最大值，
故商店获得最大利润时纪念品的售价为50元；
（3）由题意得：w＝3360，即w＝﹣10（x﹣70）（x﹣30）＝3360，解得x＝58（舍去）或42，
故当天纪念品的售价42元．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：EF＝BF+DE．
（3）试试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
【分析】（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，根据旋转的性质可得∠BAQ＝∠DAE，则可得出结论；
（2）先判断出点Q、B、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AQF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝QF，再根据QF＝BQ+BF等量代换即可得证．
（3）把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连结GM．证明△AHG≌△AMG（SAS），由全等三角形的性质得出MG＝HG．求出∠GDM＝90°，由勾股定理就可以得出结论HG2＝GD2+BH2．
【解答】（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
由旋转可得：∠BAQ＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BAQ＝∠DAE，
∴∠BAQ+∠BAF＝45°，
即∠QAF＝∠EAF，
∴FA平分∠QAE．
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴AB＝AD，BQ＝DE，∠ABQ＝∠D＝90°，
∴∠ABQ+∠ABF＝90°+90°＝180°，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵AQ＝AE，∠QAF＝∠EAF，AF＝AF，
∴△QAF≌△EAF（SAS），
∴QF＝EF，
∴EF＝BF+DE；
（3）解：BH、HG、GD三条线段间的数量关系为HG2＝GD2+BH2．
证明：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠ADG＝45°．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连结GM．
∴△ABH≌△ADM，
∴DM＝BH，AM＝AH，∠ADM＝∠ABH＝45°，∠DAM＝∠BAH．
∴∠ADB+∠ADM＝45°+45°＝90°，
即∠GDM＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAH+∠DAG＝45°，
∴∠DAM+∠DAE＝45°，
即∠MAG＝45°，
∴∠MAG＝∠HAG．
在△AHG和△AMG中，
，
∴△AHG≌△AMG（SAS），
∴MG＝HG．
∵∠GDM＝90°，
∴MG2＝GD2+DM2，
∴HG2＝GD2+BH2．
24．（12分）如图①，直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+bx+c相交于在x轴和y轴上的B、C两点，OB＝6，D为抛物线的顶点．M是线段BC上的一动点（M与B、C不重合），过M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．
（1）k＝ ﹣ ；b＝ ﹣ ．
（2）求MN的最大值．
（3）如图②，若M是线段BC的中点，P是抛物线上的一动点，且点P在直线MN的右侧，连接PM、PC，当△PCM的面积是时，求此时点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）MN＝（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+2x，即可求解
（3）由△PCM的面积＝S△HMC+S△HMP＝×MH×xP＝×（m﹣5﹣1）×m＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝6，则点B（6，0），
将点B的坐标代入y＝kx+2得，0＝6k+2，解得k＝﹣，
故一次函数表达式为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），则c＝2，
故抛物线的表达式为y＝x2+bx+2，
将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2，
故答案为﹣，﹣；
（2）设点N（x，x2﹣x+2），则点M（x，﹣x+2），
则MN＝（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+2x，
∵﹣＜0，故MN有最大值，
当x＝3时，MM的最大值为3；
（3）设点P（m，m2﹣m+2），
而点C（0，2），设直线CP交MN于点H，
由点PC的坐标得，直线PC的表达式为y＝（m﹣7）x+2，
当x＝3时，y＝（m﹣7）x+2＝m﹣5，即点H（3，m﹣5），
△PCM的面积＝S△HMC+S△HMP＝×MH×xP＝×（m﹣5﹣1）×m＝，
解得m＝9或﹣3
∵点P在MN的右侧，故m＞3，故舍去﹣3，
故点P的坐标为（9，2）．
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有-项是符合题目要求的.）
1．已知x＝2是方程x2﹣px+2＝0的一个实数根，那么p的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
2．下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．270°
4．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
5．关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
6．设点P（x，y）在第四象限内，且|x|＝3，＝2．则点P关于原点的对称点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
7．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
8．如图，点D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7 B．9 C．16 D．17
9．已知抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，则y1、5、y2大小关系是（ ）
A．y1＞5＞y2 B．y2＞5＞y1 C．5＞y2＞y1 D．5＞y1＞y2
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是 ．
12．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费4800万元，设这两年投入教育经费的平均增长率均为x，依据题意可列方程 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，AB＝3，则四边形AEOF的面积是 ．
14．已知函数y＝x2+4x﹣5，当x＝m时，y＞0，则m的取值范围可能是 ．
15．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（6分）解方程：x2+4x﹣4＝0．
18．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点．将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，连接DE．求证：DE＝AE．
19．（8分）已知A＝（2a﹣b）2+2（2a﹣b）（a﹣b）+（a﹣b）2．
（1）化简A．
（2）若a、b为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，a＞b，求此时A的值．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．
（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．
22．（10分）某商店销售一批纪念品，每件进货价为30元．若售价为每件40元时，每天可售出300件．商场规定该纪念品的销售单价不低于40元，且获利不高于80%．根据市场反应：每涨价1元，每天少卖出10件．设该纪念品的售价为每件x元，销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）设商店每天销售纪念品获得的利润为w元，求商店获得最大利润时纪念品的售价．
（3）若商品某天获利3360元，求当天纪念品的售价．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：EF＝BF+DE．
（3）试试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
24．（12分）如图①，直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+bx+c相交于在x轴和y轴上的B、C两点，OB＝6，D为抛物线的顶点．M是线段BC上的一动点（M与B、C不重合），过M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．
（1）k＝ ；b＝ ．
（2）求MN的最大值．
（3）如图②，若M是线段BC的中点，P是抛物线上的一动点，且点P在直线MN的右侧，连接PM、PC，当△PCM的面积是时，求此时点P的坐标．
2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有-项是符合题目要求的.）
1．已知x＝2是方程x2﹣px+2＝0的一个实数根，那么p的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【分析】把x＝2代入方程，即可求出答案．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣px+2＝0得：4﹣2p+2＝0，
即p＝3，
故选：D．
2．下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；
选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；
选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
故选：B．
3．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．270°
【分析】观察图形可得，图形有两个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．
则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．
故这个角不能是120°．
故选：B．
4．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，
故选：A．
5．关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【分析】根据第一个方程求得k的值，然后计算第二个方程根的判别式，利用k的值进行判断其符号即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，
∴△1＝42﹣4（k﹣1）＝0，
∴k＝5，
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0中，△2＝16﹣4k＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
故选：C．
6．设点P（x，y）在第四象限内，且|x|＝3，＝2．则点P关于原点的对称点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
【分析】直接利用二次根式的性质以及第四象限内点的坐标特点得出x，y的值，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限内，
∴x＞0，y＜0，
∵|x|＝3，＝2，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
则点P关于原点的对称点是：（﹣3，2）．
故选：B．
7．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
8．如图，点D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7 B．9 C．16 D．17
【分析】根据勾股定理分别求出AB、BC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，AB＝＝＝5，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝13，
∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EF＝BC＝，HG＝BC＝，EH＝AD＝，FG＝AD＝，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝16，
故选：C．
9．已知抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，则y1、5、y2大小关系是（ ）
A．y1＞5＞y2 B．y2＞5＞y1 C．5＞y2＞y1 D．5＞y1＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+k的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y＝2（x+1）2+k图象过（﹣2，y1）、（1，5）、（﹣，y2）三点，
∴点（﹣2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∵﹣＜0＜1，
∴5＞y1＞y2，
故选：D．
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为B（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是 （1，5） ．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故答案为：（1，5）．
12．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费4800万元，设这两年投入教育经费的平均增长率均为x，依据题意可列方程 2500（1+x）2＝4800 ．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2020年的投入可得出方程．
【解答】解：依题意得2019年的投入为2500（1+x）、2020年投入是2500（1+x）2，
则2500（1+x）2＝4800．
故答案为：2500（1+x）2＝4800．
13．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，AB＝3，则四边形AEOF的面积是 ．
【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△DOF，可得四边形AEOF的面积＝S△AOD，即可求解．
【解答】解：∵△AOE绕点O顺时针旋转90°后与△DOF重合，
∴△AOE≌△DOF，
∴S△AOE＝S△DOF，
∴四边形AEOF的面积＝S△AOD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S△AOD＝S正方形ABCD＝×3×3＝，
故答案为．
14．已知函数y＝x2+4x﹣5，当x＝m时，y＞0，则m的取值范围可能是 m＜﹣5或m＞1 ．
【分析】根据函数y＝x2+4x﹣5，令y＝0求出x的值，即可得到该函数与x轴的两个交点，再根据二次函数的性质，即可得到当x＝m时，y＞0时m的取值范围．
【解答】解：当y＝0时，0＝x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1），解得x1＝﹣5，x2＝1，
∵函数y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵当x＝m时，y＞0，
∴m的取值范围是m＜﹣5或m＞1，
故答案为：m＜﹣5或m＞1．
15．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为 3或7 ．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4（k+2）≥0，
解得k≤7；
若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合三角形三边条件，
所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，
则k+2＝5，即k＝3；
若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5，符合三角形三边条件，
则k+2＝9，即k＝7；
综上，k的值为3或7，
故答案为：3或7．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
【分析】过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且A、B关于直线x＝﹣2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝4，DE＝AB＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，
∴A（0，﹣4），E（﹣2，﹣6），
把A、E的坐标代入y＝a（x+2）2+c得：
，
解得：a＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（6分）解方程：x2+4x﹣4＝0．
【分析】方程变形后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝4，
配方得：x2+4x+4＝8，即（x+2）2＝8，
开方得：x+2＝±2，
解得：x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
18．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点．将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，连接DE．求证：DE＝AE．
【分析】由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，可证△ADE是等边三角形，可得结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．
19．（8分）已知A＝（2a﹣b）2+2（2a﹣b）（a﹣b）+（a﹣b）2．
（1）化简A．
（2）若a、b为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，a＞b，求此时A的值．
【分析】（1）利用完全平方公式计算；
（2）先利用因式分解法解方程得到a＝3，b＝﹣1，然后把a、b的值代入A＝（3a﹣2b）2中计算即可．
【解答】解：（1）A＝[（2a﹣b）+（a﹣b）]2
＝（3a﹣2b）2
＝9a2﹣12ab+4b2；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴A＝（3a﹣2b）2＝（9+2）2＝121．
20．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A（1，4），与y轴、x轴分别交于点B和点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作AD⊥y轴于D，先确定B点坐标，然后根据△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC进行计算．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当x＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝3，则B（0，3），
作AD⊥y轴于D，如图，
因为AD＝1，OC＝3，OD＝4，OB＝3，
所以△ABC的面积＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△OBC
＝×（1+3）×4﹣×1×1﹣×3×3
＝3．
21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．
（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，再利用待定系数法求出直线A′A2的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，则P点为所作；
设直线A′A2的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣2，﹣3），A2（2，2）代入得，解得，
∴直线A′A2的解析式为y＝x﹣，
当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）．
22．（10分）某商店销售一批纪念品，每件进货价为30元．若售价为每件40元时，每天可售出300件．商场规定该纪念品的销售单价不低于40元，且获利不高于80%．根据市场反应：每涨价1元，每天少卖出10件．设该纪念品的售价为每件x元，销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）设商店每天销售纪念品获得的利润为w元，求商店获得最大利润时纪念品的售价．
（3）若商品某天获利3360元，求当天纪念品的售价．
【分析】（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣40），而40≤x≤30（1+80%），即40≤x≤54，即可求解；
（2）由题意得：w＝y（x﹣30），再根据函数的增减性即可求解；
（3）由题意得：w＝3360，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣40）＝700﹣10x，
而40≤x≤30（1+80%），即40≤x≤54，
即y＝700﹣10x（40≤x≤54）；
（2）由题意得：w＝y（x﹣30）＝（700﹣10x）（x﹣30）＝﹣10（x﹣70）（x﹣30），
则函数的对称轴为x＝（70+30）＝50，
∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，
当x＝50时，w取得最大值，
故商店获得最大利润时纪念品的售价为50元；
（3）由题意得：w＝3360，即w＝﹣10（x﹣70）（x﹣30）＝3360，解得x＝58（舍去）或42，
故当天纪念品的售价42元．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：EF＝BF+DE．
（3）试试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
【分析】（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，根据旋转的性质可得∠BAQ＝∠DAE，则可得出结论；
（2）先判断出点Q、B、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AQF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝QF，再根据QF＝BQ+BF等量代换即可得证．
（3）把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连结GM．证明△AHG≌△AMG（SAS），由全等三角形的性质得出MG＝HG．求出∠GDM＝90°，由勾股定理就可以得出结论HG2＝GD2+BH2．
【解答】（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
由旋转可得：∠BAQ＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BAQ＝∠DAE，
∴∠BAQ+∠BAF＝45°，
即∠QAF＝∠EAF，
∴FA平分∠QAE．
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴AB＝AD，BQ＝DE，∠ABQ＝∠D＝90°，
∴∠ABQ+∠ABF＝90°+90°＝180°，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵AQ＝AE，∠QAF＝∠EAF，AF＝AF，
∴△QAF≌△EAF（SAS），
∴QF＝EF，
∴EF＝BF+DE；
（3）解：BH、HG、GD三条线段间的数量关系为HG2＝GD2+BH2．
证明：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠ADG＝45°．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连结GM．
∴△ABH≌△ADM，
∴DM＝BH，AM＝AH，∠ADM＝∠ABH＝45°，∠DAM＝∠BAH．
∴∠ADB+∠ADM＝45°+45°＝90°，
即∠GDM＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAH+∠DAG＝45°，
∴∠DAM+∠DAE＝45°，
即∠MAG＝45°，
∴∠MAG＝∠HAG．
在△AHG和△AMG中，
，
∴△AHG≌△AMG（SAS），
∴MG＝HG．
∵∠GDM＝90°，
∴MG2＝GD2+DM2，
∴HG2＝GD2+BH2．
24．（12分）如图①，直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+bx+c相交于在x轴和y轴上的B、C两点，OB＝6，D为抛物线的顶点．M是线段BC上的一动点（M与B、C不重合），过M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．
（1）k＝ ﹣ ；b＝ ﹣ ．
（2）求MN的最大值．
（3）如图②，若M是线段BC的中点，P是抛物线上的一动点，且点P在直线MN的右侧，连接PM、PC，当△PCM的面积是时，求此时点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）MN＝（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+2x，即可求解
（3）由△PCM的面积＝S△HMC+S△HMP＝×MH×xP＝×（m﹣5﹣1）×m＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝6，则点B（6，0），
将点B的坐标代入y＝kx+2得，0＝6k+2，解得k＝﹣，
故一次函数表达式为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），则c＝2，
故抛物线的表达式为y＝x2+bx+2，
将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2，
故答案为﹣，﹣；
（2）设点N（x，x2﹣x+2），则点M（x，﹣x+2），
则MN＝（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+2x，
∵﹣＜0，故MN有最大值，
当x＝3时，MM的最大值为3；
（3）设点P（m，m2﹣m+2），
而点C（0，2），设直线CP交MN于点H，
由点PC的坐标得，直线PC的表达式为y＝（m﹣7）x+2，
当x＝3时，y＝（m﹣7）x+2＝m﹣5，即点H（3，m﹣5），
△PCM的面积＝S△HMC+S△HMP＝×MH×xP＝×（m﹣5﹣1）×m＝，
解得m＝9或﹣3
∵点P在MN的右侧，故m＞3，故舍去﹣3，
故点P的坐标为（9，2）．
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