人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题17 静态几何之四边形问题（含解析）

专题17 静态几何之四边形问题

中考压轴题中静态几何之四边形问题，涉及到平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形等所有特殊四边形，选择填空解答题型都有体现。

一. 平行四边形问题

1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有    

 A．1组       B．2组       C．3组       D．4组

【答案】C

2. 如图，已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F。

（1）若PF＝PE，PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，PE＝PF，BF ＝BC＋－4，求BC的长。

【答案】（1）连接PO ,

∵PE⊥AC，PE＝，EO＝1，

∴在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，且PO=2。

∴ ∠EPO＝30°。

∵PF⊥BD，PF＝PE＝，

∴在Rt△PFO中，cos∠FPO＝＝。

∴ ∠FPO＝45°。

∴∠EPF＝75°。

（2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。

【考点】平行四边形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质。

【分析】（1）连接PO，利用解Rt△PEO求出∠EPO=30°，再解Rt△PFO求出∠FPO＝45°，从而得解。

（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

二. 矩形问题

 3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=1，AF=，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）BF =AE；（2）AE⊥BF；（3）；（4）中正确的有【    】

A.  4个  B.  3个  C.  2个  D.  1个

【答案】A。

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理。

由△AOF∽△ADE得，即，

∴。

综上所述，结论（1），（2），（3），（4）都正确。故选A。

4.如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2，

（1）求证：AE=EF；

（2）延长EF交矩形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试求AE与EP的数量关系；

【答案】（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°。

∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。

又∵AB=DC=6，BC=8，BE=2，∴AB=EC=6。

∴△ABE≌△ECF（ASA）。

∴AE=EF。

（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。

∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。

∵CP是外角平分线，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。

∴∠AME=∠ECP。

由（1）知∠MA E=∠CEP，

∴△AME∽△ECP。∴。

∵AM=2，EC=3，∴。

∴AE与EP的数量关系是。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，外角平分线定义，相似三角形的判定和性质。

三. 菱形问题

5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．

【答案】

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OB=OD，

∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，

∴△OED≌△OFB，

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形．

【解析】

四. 正方形问题

6.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在边AD上，且AM=AD，延长MD至点E，使ME=MB，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为       。

【答案】。

【考点】正方形的性质，勾股定理。

7. 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形.因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题：

（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中.

（2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________ .

（3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.

【答案】（1）

（2）邻边，直角；

（3）正确.

【解析】（1）此题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理；有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边是菱形，邻边相等的矩形是正方形。所以平行四边形包括正方形，矩形和菱形，即是矩形和菱形的平行四边形是正方形，所以

五. 等腰梯形问题

8.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且BD⊥DC，AB=AD=DC=4，则=【    】

 A.        B.       C.        D.

【答案】B。

【考点】平行的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过D作DE∥AB交BC于点E，连接AE，交BD于点O，则

9.如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=135°，AB=AE=2，DE=4，则五边形ABCDE的面积等于　   　。

【答案】。

【考点】等腰梯形、等腰直角三角形的判定和性质，转换思想的应用。

∵DE=4，AB=4，∴EG=DG=，BF=BC=2。∴DF=AE+2DG=。

∴S五边形ABCDE=S梯形AFDE﹣S△BCF=。　

六.直角梯形问题

10.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝1，AB＝，在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°，当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　   　。

【答案】。

【考点】直角梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝1。

11.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若＝3，求的值．

(1)尝试探究：

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，

CG和EH的数量关系是________，

的值是________．

(2)类比延伸：

如图2，在原题条件下，若＝m(m＞0)则的值是________(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程．

(3)拓展迁移：

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)则的值是________(用含a、b的代数式表示)．

【答案】(1)AB＝3EH　CG＝2EH　　(2)　(3)ab＋1

【解析】(1)依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1′所示，则有△ABF∽△EHF

图1′

∴CG＝2EH，∴＝＝＝

(2)如图2′所示，作EH∥AB交BG于点H，

图2′

(3)如图3′所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD

图3′