人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题24 动态 几何之双（多）动点形成的函数关系问题（含解析）

专题24 动态 几何之双（多）动点形成的函数关系问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写单动点形成的函数关系问题模拟题。

双动点和多动点问题就是在一些基本几何图形上，设计几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

 解决点动问题常常用的是“类比法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况。（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。（3）类比猜想并证明其他情况中的图形所具有的性质。

在中考压轴题中，双(多)动点形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。其考点类型主要有两类，一是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值；二是根据条件研究动点的变化趋势（特殊位置）来判断函数图象。动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象。

双(多)动点形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；

（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

【答案】（1）5  （2），     （3）3、t＝2.5，

【解析】

试题分析：（1）在矩形ABCD中，         

由△APE∽△OPQ，得． 

②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t      

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．    

（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，

考点：矩形、相似三角形

点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似

2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）当t为何值时，DQ=2AD？

（3）求线段QC所在直线与⊙P相切时t的值。

【答案】（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。∴。

∵点Q的速度是1个单位长度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。

∵⊙P的直径为AC，∴∠ADC=90°。

∴，即，解得。

当点Q与点D重合时，AD=AQ，∴，解得。

∴当时，点Q与点D重合。

     （3）线段QC所在直线与⊙P相切时，CQ⊥AB，AQ=8－t，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。

∴，即，解得t=。

∴线段QC所在直线与⊙P相切时，。

【考点】双动点问题，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，切线的性质，相似三角形的判定与性质。

3.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

（1）求AD的长；

（2）设CP=x， △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式， 并求自变量的取值范围；

（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

【答案】、解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，…………………………………………………………………………2分

∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当时，

ED=，QH=，

此时． …………………………………………2分

②如图2，当时，

ED=，QH=，

此时． …………………………………………2分

∴y与x之间的函数解析式为（自变量取值写对给1分）

（其他解法相应给分）

【解析】略

4. 如图，在等边△ABC中， M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C境，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【    】

A.一直增大      B.一直减小        C.先减小后增大        D.先增大后减小

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象，等边三角形的性质，三角形中位线定理。

故选C。

5. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)．求NC，MC的长（用t的代数式表示）

(2)．当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)．当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

【答案】

(1)．∵AQ=3﹣t，

∴CN=4﹣（3﹣t）=1+t，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，

∴AC=5，

在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CM=；（3分）