人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题05 代数之方程和不等式综合问题（含解析）

专题05 代数之方程和不等式综合问题

中考压轴题中方程和不等式综合问题，主要是解答题，并且以方案型问题主，它的重点和难点在于找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解。

1. 某学校为了绿化校园，决定从某苗圃购进甲、乙、丙三种树苗共80株，其中甲种树苗株树是乙种树苗株树的2倍，购买三种树苗的总金额不超过1320元，已知乙种树苗的单价是16元/株，乙种树苗的单价是甲种树苗的单价的，购买丙种树苗12株的金额等于购买甲种树苗20株的金额。

（1）甲、丙两种树苗的单价分别是多少元？

（2）若要求甲种树苗的株树不超过丙种树苗的株树，请你帮助设计共有哪些购买方案？

【答案】（1）设甲种树苗的单价是x元/株，丙种树苗的单价是y元/株，

              则根据题意，得，解得。

              答：甲、丙两种树苗的单价分别是12元/株和20元/株。

（2）设至少购进乙种树苗z株，

      则根据题意，得，解得14≤x≤16。

   ∵z为整数，∴z＝14，15，16。

   当z＝14时，2z＝28，；

当z＝15时，2z＝30，；

当z＝16时，2z＝32，。

∴共有3种购买方案：

购进乙14株，甲28株，丙80-14×3=38株；

购进乙15株，甲30株，丙80-45=35株；

购进乙16株，甲32株，丙80-48=32株。

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的整数解。

2. 郑州市花卉种植专业户王有才承包了30亩花圃，分别种植康乃馨和玫瑰花，有关成本、销售额见下表：

（1）2012年，王有才种植康乃馨20亩、玫瑰花10亩，求王有才这一年共收益多少万元？（收益=销售额-成本）

（2）2013年，王有才继续用这30亩花圃全部种植康乃馨和玫瑰花，计划投入成本不超过70万元.若每亩种植的成本、销售额与2012年相同，要获得最大收益，他应种植康乃馨和玫瑰花各多少亩？

（3）已知康乃馨每亩需要化肥500kg,玫瑰花每亩需要化肥700kg，根据（2）中的种植亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载化肥的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输全部化肥比原计划减少2次.求王有才原定的运输车辆每次可装载化肥多少千克？

【答案】（1）17万元；（2）康乃馨25亩，玫瑰花5亩；（3）4000千克

【解析】

答：要获得最大收益，应养殖康乃馨25亩，玫瑰花5亩；

（3）设王有才原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏

由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5=16000（㎏），

根据题意得，解得a=4000，

把a=4000代入原方程公分母得，2a=2×4000=8000≠0，

故a=4000是原方程的解．

答：王有才原定的运输车辆每次可装载饲料4000㎏．

考点：一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用

点评：解题的关键是列不等式求x的取值范围，再表示出函数关系求最大值，再列分式方程求解．

3. 在“老年节” 前夕，某公司工会组织323名退休职工到浙江杭州旅游，旅游前，工会确定每车保证有一名随团医生，并为此次旅游请了8名医生，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客50人，乙种客车每辆载客20人。

（1）请帮助工会设计租车方案。

（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，工会按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？

（3）旅游前，一名医生由于有特殊情况，工会只能安排7名医生随团，为保证所租的每辆车安排有一名医生，租车方案调整为：同时租80座、50座和20座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问工会的租车方案如何安排？

【答案】（1）设租甲种客车辆，则乙种客车8－辆，根据题意，得

，解得。

∵取正整数，∴为5或6或7。

当时，8－；当时，8－；当时，8－。

∴工会租车方案有三种：

方案1：租甲种客车5辆，乙种客车3辆；

方案2：租甲种客车6辆，乙种客车2辆；

方案3：租甲种客车7辆，乙种客车1辆。

（3）设租80座的客车辆，50座的客车辆，则租30座的客车7――辆，

根据题意，得80＋50＋30（7――）=323＋7，

整理，得，

∵、取正整数，∴，，7――。

∴所租的三种客车的座位恰好坐满，旅行社的租车方案为：租80座的客车2辆，50座的客车1辆， 30座的客车4辆。

【考点】一元一次不等式组和二元一次方程的应用。