人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题03 代数之方程（组）问题（含解析）
展开专题03 代数之方程（组）问题
中考压轴题中方程（组）问题，包括方程（组）的应用问题，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用问题，分式方程的增根问题，不定方程的应用问题。
一、方程（组）的应用问题：方程（组）的应用表现为列方程（组），（解应用题），中考压轴题中主要出现在选择和填空题中，它的重点和难点在于找出等量关系，列出方程求解。
1. 某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为
A、20％ B、30% C、50% D、120%
【答案】A
【解析】
2. 在新农村建设中，某乡镇决定对一段长6000米的公路进行修建改造。根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务。设现在每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是【 】。
A. B.
C. D.
【答案】A。
【考点】方程的应用（工程问题）。
【分析】列方程式解题关键是找出等量关系，本题等量关系为：
3. “某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？” 若设共有x个苹果，则列出的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
二、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用问题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用在中考压轴题中较多出现，特别与二次函数结合命题，这在后面专题中再详细叙述，这里主要对根的判别式和根与系数的关系的直接应用进行命题。
4. 关于x的方程有实数根，则的取值范围是【 】
A. >–5 B. ≥–5且≠–1 C. >–5且≠–1 D. ≥–5
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式，分类思想的应用。
【分析】当时，方程为一元一次方程，有一个实数根。
当时，方程为一元二次方程，
∴。
综上所述，关于x的方程有实数根，则的取值范围是。
故选D。
5. 已知 x1、x2是一元二次方程的两个实数根。
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）∵x1、x2是一元二次方程的两个实数根，
∴。
（2）∵x1、x2是一元二次方程的两个实数根，
∴。
∴。
若成立，解这个方程得，。
∵，
∴存在实数，使成立。
【考点】一元二次方程定义，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解分式方程，分类思想的应用。
三、分式方程的增根问题：分式方程的增根问题也是中考压轴题中常见的问题。
6. 已知关于x的分式方程有增根，则a= 。
【答案】1。
【解析】方程两边都乘以最简公分母（x＋2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简公分母等于0求出方程有增根，然后代入求解即可得到a的值：
方程两边都乘以（x＋2）得，a－1=x＋2。
∵分式方程有增根，∴x＋2=0，即a－1=0，解得a=1。
四、不定方程的应用问题：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，就称这样的方程为不定方程。如x－y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。中考压轴题中往往是附加一些限制条件的不定方程问题。
7. 假期到了，学校组织19名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供安排，若每个房间都要住满，共有几种安排方案（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】C。
【考点】二元一次方程的应用。
【分析】设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，则根据题意得，3x+2y=19，
∵2y是偶数，19是奇数，∴3x只能是奇数，即x必须是奇数。
间住2人间，第三种是：5间3人间，2间2人间。
故选C。
8.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批价格分别为80元、60元的篮球和足球。该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
【答案】设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，
【考点】二元一次方程的应用。
