江苏省常州市武进区2021届九年级上学期期中考试数学试题

江苏省常州市武进区2020～2021学年度九年级上学期期中考试

数学试题

一、选择题（每小题2分，共16分）

1．下列各图形中，是轴对称图形的是 --------------------------------【    】

 A．  B．  C．  D．

2．下列将一元二次方程化成一般形式正确的是 ---------------------------【    】

 A．  B． 

 C．  D．

3．下列一元二次方程有两个异号的实数根的是 ------------------------【    】

 A．  B． 

 C．  D．

4．已知⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是 -----------【    】

 A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定

5．正九边形的每个内角的度数为 ----------------------------------【    】

 A．40  B．80  C．120  D．140

6．某电动自行车厂四月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为               【    】

 A．10%   B．11%  C．12.1%   D．21%

7．已知关于x的方程可以配方成的形式，则k的值为 -----------------------【    】

 A． B． C． D．

8． 如图，，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是               【    】

  A．2    B．     C．      D．

二、填空题（每小题2分，共20分）

9．一元二次方程的根是             .

10．已知是方程的一个根，则m的值为         .

11．圆锥的高为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积是           ．

12．当x=            时，代数式与的值相等．

13．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A∶∠C＝4∶1，则∠A＝       °．

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为         ．

15．一个两位数等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，根据题意，可以列出方程                          ．

16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝       °．

           16题图                   17题图                   18题图

17．如图，△ABC中，AB＝AC，点M是AB上一点，AM＝3，以AM为半径的⊙A与BC相切于点D，交AC于点N，劣弧MN长为2π，则BC的长为          ．

18．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为         ．

三、解下列方程（每题4分，共16分）

19．⑴         ⑵

⑶  ⑷

四、尺规作图题（共6分）

20．如图，点A是⊙O上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）

⑴ 画出⊙O的内接正△ABC．

⑵ 在⊙O上画出M、N两点，使得∠MAN＝30°．（画一种即可）

五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分）

21．（6分）已知关于的一元二次方程有实数根．

⑴ 求n的取值范围；

⑵ 当n取最大值时，求方程的根．

22．（6分）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，．

⑴ 求∠C的度数；

⑵ 求图中阴影部分的面积．

23．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C沿边CD以1cm/s的速度向点D移动，当E、F两点中有一点到达终点时，则另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，求点E运动的时间．

24．（8分）某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？

25．（8分）国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：

如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．

    小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．

⑴ 请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；

⑵ 图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．

26. （8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，0)，B(1，1)，C(0，3)．过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．连接CD．

⑴ 若点M是y轴上一点，当AM⊥CD时，点M的坐标为           ；

⑵ 若点P是△ABC的外心，求点P的坐标；

⑶ 在x轴上是否存在点Q，使得∠BQD＝∠ACB，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

九年级数学参考答案及评分意见

一、选择题（每小题2分，共16分）

二、填空题（每小题2分，共20分）

9． 10．－2  11．  12．－1或－2  13．144°

14．     15．    16．56  17．    18．

三、解下列方程（每题4分，共16分）

19．⑴

  2分                        

  4分                         

⑵

  --------------------------- 2分

  --------------------------- 4分

⑶

  ------------------------ 2分

  ------------------------ 4分

⑷

  --------------------------- 2分

  --------------------------- 4分

四、尺规作图题（共6分）

20．⑴ 如图，△ABC为求作的图形  --------------------------------------- 4分

    ⑵ 作等边△MON，则∠MAN＝30°（作法不唯一，画对即可）  ---------------- 2分

五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分）

21．⑴   ---------------------------------------------------------- 1分

由“关于x的方程有实数根”得：b2－4ac≥0，即：4－4n≥0  ---------------- 2分

解得：  ----------------------------------------------------- 3分

∴ n的取值范围是  --------------------------------------------- 4分

⑵ 由得：n的最大值为1   ------------------------------------------ 5分

把n＝1代入原方程得：化简得：  解得：  ---------------------------------- 6分

22．⑴ 连接OA，OB.

 △OAB中，OA＝OB＝2，AB＝  

 ∴ ，  

 ∴   ----------------------------------------- 2分

 ∴ ∠AOB＝90°  ------------------------------- 3分

 ∴   ----------------------------------------- 4分

⑵ ，  ------------------------------------------ 5分

 ∴   ----------------------------------------- 6分

23．解：设点E运动的时间是x秒.

根据题意可得：  ---------------------------------------------- 3分

解这个方程得：  ---------------------------------------------- 4分

，    ∴ 两点运动了1.5s后停止运动.

由得：，  --------------------------------------------------- 5分

答：当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，点E运动的时间是秒  ----------- 6分

24．解：当每件衬衫应降价x元时，商场平均每天盈利达到1200元.

根据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200  -------------------------- 3分

解得：x1＝10，x2＝20   --------------------------------------- 5分

当时，平均每天售出： 20＋2×10＝40  ----------------------------- 6分

当时，平均每天售出： 20＋2×20＝60  ----------------------------- 6分

要使库存减少最快，则x＝20   ------------------------------------ 7分

答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元.   ------------ 8分

25．⑴ ∵ AE是⊙O的直径 

∴ ∠ADE＝90°

∴ ∠AED＋∠EAD＝90°  ------------------------- 1分

∵ ∠ABD＝∠AED，∠ABD＝∠DAE   ---------------- 2分

∴ ∠DEA＝∠AED

∴ ∠EAD＋∠DAE＝90°  即：OA⊥AE  ----------------- 3分

∵ 点A是半径OA的外端

∴ 直线l与⊙O相切  ------------------------------ 4分

⑵ 过点A点AF⊥BD，垂足为点F，∴ ∠AFB＝∠AFD＝90°

∵ ∠ABD＝30°  ∴ ∠AED＝30°

∴ 直径AE＝2AD＝＝BC  --------------------------- 5分

∵ ∠ABD＝30°，AB＝4   ∴ AF＝＝2  ---------------- 6分

∴

∴ BD＝BF+DF＝  ------------------------------ 7分

∵ BC是直径   ∴ ∠BDC＝90°

∴   ----------------------------------------- 8分

26．⑴ M（0，1）  -------------------------------------------------- 1分

⑵ 过点O作直线MN⊥AC，垂足为点E.

∵ 点C(0，3)，点A（－3，0）

∴ OA＝OC＝3

∴ MN垂直平分AC，∠COE＝∠AOE＝45°

∴ △ABC的外心P在直线MN上

直线MN的表达式为：y＝－x  -------------------------------------- 2分

设P（a，－a）

由PA＝PB可得：

解得：  ----------------------------------------------------- 3分

∴ 点P的坐标为（，）  ----------------------------------------- 4分

⑶ （，0），（，0）  -------------------------------------------- 8分