【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷12 双曲线（解析版）

2021年高考数学一轮复习双曲线创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共60分，每题5分）1．定义：离心率的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E：，为双曲线的半焦距，如果成等比数列，则双曲线E（    ）A．可能是“黄金双曲线” B．可能不是“黄金双曲线”C．一定是“黄金双曲线” D．一定不是“黄金双曲线【答案】C【解析】由成等比数列可得，而，解方程求得双曲线的离心率，即可判断双曲线是否为“黄金双曲线”.详解：双曲线的方程为，设为双曲线的半焦距，成等比数列，，又，，，，又，，所以双曲线一定是“黄金双曲线”，故选C. 2．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点，且（为原点），若，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线则其离心率为 设,双曲线的一条渐近线方程为,即则由可得,所以 又因为双曲线、的离心率相同则, 解方程组可得 所以双曲线的方程为故选:D3．已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（  ）A．             B．C．         D．【答案】D【解析】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.4．设为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆短轴上的一个顶点，当时，该椭圆的离心率为，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（    ）A．设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2B．设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4C．设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2D．设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4【答案】C【解析】对于双曲线而言，，排除A，B.由，得，故选：C.5．已知双曲线，圆.是双曲线右支上的一个动点，以为圆心作圆与圆相外切，则以下命题正确的是（    ）A．过双曲线的右焦点 B．过双曲线的右顶点C．过双曲线的左焦点 D．过双曲线的左顶点【答案】A【解析】与相外切， 可得：， 而，故， 故过右焦点.故选：A6．已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线：及双曲线：,是共渐近线的双曲线，则直线与双曲线，都无交点，只能是直线和双曲线重合，渐近线方程为:因为，故得到值为.故答案为：B.7．设双曲线M与双曲线N的中心都为坐标原点，对称轴都为坐标轴，双曲线M与双曲线N的离心率分别为，若双曲线M的实轴长是双曲线N的实轴长的2倍，它们的虚轴长相等，则点必在（    ）A．双曲线上 B．椭圆上C．双曲线上 D．椭圆上【答案】C【解析】设双曲线N的方程为，则双曲线M的方程为或，所以，则，即.所以点必在双曲线上.故选：C8．双曲线，曲线经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（      ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由曲线，可得令，得， 即，则， 所以双曲线的离心率为，故选C.9．已知，则动点P的轨迹是（    ）A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．一条射线 D．双曲线右边一支【答案】D【解析】且    动点的轨迹为双曲线的右边一支故选：10．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（   ）A．        B．            C．          D．【答案】D【解析】因,故,设交点,则,右准线方程为,点到这条直线的距离为,所以,即,也即,该方程有正根,所以,解之得或,所以当时,双曲线的离心率最小,此时,应选D.11．设分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|＝24b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，三角形 的面积为：.故选C.12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则与满足的关系是（ ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】由椭圆与双曲线定义得，所以，选B.二、填空题（共20分，每题5分）13．若为双曲线：（，）右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，双曲线与双曲线：（）的渐近线相同，则双曲线的虚轴长是__________．【答案】【解析】由题意，A（-a，0），F（c，0），M（由双曲线的定义可得 c2-3ac-4a2=0，∴e2-3e-4=0，∴e=4，即又双曲线与双曲线：（）的渐近线相同，所以 则双曲线的虚轴长是故答案为14．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点带人方程有，所以，则所求双曲线方程为.15．已知、是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，，则双曲线两条渐近线夹角的正切值为________【答案】【解析】由题,,因为与轴垂直,所以将代入中可得,所以,由双曲线的定义可得,因为,即,所以,即渐近线为,设两条渐近线的夹角为,所以故答案为:16．已知一簇双曲线：（且），设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一动点，三角形的内切圆与x轴切于点，则__________．【答案】【解析】如图，设、与圆分别切于点、，根据内切圆的性质可得，，，又点在双曲线的右支上，所以有．则．又，，，所以，所以，即，因此．故答案为：.三、解答题17．（10分）已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】解：(1) 设双曲线C：，点代入得： ∴双曲线C：在△PF1F2中，设 ，∴ ，由②得：，，  ，∴；(2) ∵ ∴ ，1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）2°当直线AB斜率存在时，设AB： ，联立： ，∴，解得：，此时 ，∴直线l方程：或.18．（12分）已知双曲线.(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设，当，；当，，∴标准方程为或.（2）设（x≥2），∴，即最小值为.19．（12分）已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.试题解析：（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得 .因为 ，所以.设，，根据根与系数的关系得，.则 .因为，即 .整理得.令，则.所以 .等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.20．（12分）如图，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，圆是以为直径的圆，直线：与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式;（Ⅱ）当时，求直线的方程；（Ⅲ）当，且满足时，求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）圆，；（Ⅱ）设点、，由，得，，，，，，，因此，直线的方程为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，于是，，又到的距离，.21．（12分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点和,且（其中为原点）,求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设双曲线的方程为 （a＞0，b＞0），由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；（2）设A，B，则由，可得，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围试题解析：（1）解：设双曲线的方程为,故双曲线方程为．（2）解：将代入得由得且   设,则由得=,得又，,即22．（12分）双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.(1)求双曲线及抛物线的标准方程；(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1），（2）【解析】(1)先根据M坐标求p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程.详解：(1) 代入得解得因为焦点为所以，双曲线的焦点在轴上将代入所以或 (舍去)所以所以她物线的标准方程为曲线的标准方程为(2)渐近线设直线，别消去得将代入得，解得或，经验证，不合题意，故舍去.所以