2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第05章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[基础题组练]

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A．令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D．令x＝，得y＝sin＝0，排除C．

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B．

C．1   D．

解析：选D．由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.

3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1  B．A＝3

C．ω＝  D．ω＝

解析：选C．由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.

4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

解析：选B．因为y＝sin 2x＝cos＝cos，

y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B．

5．(多选)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增

C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称

D．函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为－

解析：选CD．由题意知＝4π，则ω＝，所以f(x)＝cos.因为f＝cos≠±1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误；

因为x∈(0，π)，所以x＋∈，当x＋∈时，f(x)单调递减；当x＋∈时，f(x)单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最大值为cos＝－，B错误，D正确；f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos＝cos＝－sinx，是奇函数，图象关于原点对称，C正确．

6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．

解析：y＝sin xy＝

siny＝sin.

答案：y＝sin

7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．

解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，

与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，

即sin＝sin，

所以－＋φ＝－，则φ＝，

答案：

8．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

答案：2　(k∈Z)

9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．

解：连接MP(图略)．

依题意，有A＝2，＝3，

又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.

当x＝4时，y＝2sin＝3，

所以M(4，3)．又P(8，0)，

所以|MP|＝＝5.

即M，P两点相距5 km.

10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．

(1)求函数h(x)的单调递增区间；

(2)若g＝，求h(α)的值．

解：(1)由已知可得g(x)＝sin，

则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由g＝得sin＝

sin＝，

所以sin＝－，即h(α)＝－.

[综合题组练]

1．(综合型)(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)

A．(0，0)  B．(1，0)

C．   D．

解析：选D．如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D．

2.(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为π，最大值为2

B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称

C．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称

D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上单调递减

解析：选D．对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin，又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.

所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin.

所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．

对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上是减函数，所以选项D正确．故选D．

3．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．

解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，

所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．

所以ω＝8k＋(k∈Z)，

因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，

所以－≤，即ω≤12，

令k＝0，得ω＝.

答案：

4．(创新型)如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．

解析：由题设并结合图形可知，

AB＝＝

＝＝，得＝4，则ω＝，

所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.

答案：

5．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，

所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，

即x＝－时，g(x)取得最小值－.

6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；

(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．

解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，

所以T＝π，所以ω＝2.

当x＝时，f(x)＝2，

可得2sin＝2，

因为|φ|<，所以φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－，

所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．

(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，

则g(x)＝2sin＋2cos

＝2sin＋2，

令t＝sin，t∈[－1，1]，

记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4＋，

因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈，

即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.