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2019年安徽省中考数学模拟试卷（一）（解析版）
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安徽省中考数学模拟试卷（一）
一．单项选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案，请将正确的答案的序号填入括号中．）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
6．某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（ ）
A．（1﹣10%）x万元 B．（1﹣10%x）万元
C．（x﹣10%）万元 D．（1+10%）x万元
7．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
8．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是 ．
12．如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，若AO＝10，则⊙O的半径长为 ．
13．已知直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 ．
14．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
15．计算：（﹣2）2+20180﹣．
16．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．
（1）甲、乙两队合作多少天？
（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点
三角形（顶点在网格交点处），请你画出：
（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；
（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝
第2个等式：a2＝
第3个等式：a3＝
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2017的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
19．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
20．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别按照下列要求尺规作图，并保留作图痕迹．
（1）作△ABC的外心O；
（2）在AB上作一点P，使得∠CPB＝2∠ABC．
六、（本题满分12分．）
21．某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，如图是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）初一年级共有多少人？
（2）补全频数分布直方图．
（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率．
七、（本题满分12分．）
22．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分．）
23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
2019年安徽省中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．单项选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案，请将正确的答案的序号填入括号中．）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据绝对值的定义，可以得到|﹣2|等于多少，本题得以解决．
【解答】解：由于|﹣2|＝2，故选C．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵（a2）3＝a6，
∴选项A不符合题意；
∵a4•a2＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a3＝a3，
∴选项C不符合题意；
∵（ab）3＝a3b3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2，正确；
C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（ ）
A．（1﹣10%）x万元 B．（1﹣10%x）万元
C．（x﹣10%）万元 D．（1+10%）x万元
【分析】直接利用2月份比1月份减少了10%，表示出2月份产值．
【解答】解：∵1月份产值x亿元，2月份的产值比1月份减少了10%，
∴2月份产值达到（1﹣10%）x亿元．
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．
7．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
B、∵△＝（﹣36）2﹣4×1×36＝1152＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；
C、∵△＝42﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根，C符合题意；
D、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为＝8（环），中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（环2），
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为＝，中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]＝（环2），
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y＝×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝x2﹣4x+8，
∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是 a＜4 ．
【分析】将x＝3代入不等式，再求a的取值范围．
【解答】解：∵x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，
∴9﹣＞2，
解得a＜4．
故a的取值范围是a＜4．
故答案为：a＜4．
【点评】本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得出9﹣＞2是解题的关键．
12．如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，若AO＝10，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得＝，即可解决问题．
【解答】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，
∴AB•DH＝320，
∴DH＝16，
在Rt△ADH中，AH＝＝12，
∴HB＝AB﹣AH＝8，
在Rt△BDH中，BD＝＝8，
设⊙O与AB相切于F，连接OF．
∵AD＝AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE＝90°，∠ABE+∠BDH＝90°，
∴∠OAF＝∠BDH，∵∠AFO＝∠DHB＝90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．已知直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此进行解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
14．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为 ．
【分析】设AB＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵△BCD∽△BAC，
∴，设AB＝x，
∴22＝x，
∵x＞0，
∴x＝4，
∴AC＝AD＝4﹣1＝3，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴CD＝．
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
15．计算：（﹣2）2+20180﹣．
【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣6＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．
16．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．
（1）甲、乙两队合作多少天？
（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【分析】（1）设甲、乙两队合作t天，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，所以乙队单独完成这项工程的速度是甲队单独完成这项工程的，由题意可列方程60﹣20＝t（1+），解答即可；
（2）把在工期内的情况进行比较即可；
【解答】解：（1）设甲、乙两队合作t天，
由题意得：乙队单独完成这项工程的速度是甲队单独完成这项工程的，
∴60﹣20＝t（1+）
解得：t＝24
（2）（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）×y＝1．
解得，y＝36，
①甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）＝198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点
三角形（顶点在网格交点处），请你画出：
（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；
（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．
【分析】（1）由A为对称中心，故A点不动，连接BA并延长，使AD＝AB，连接CA并延长，使AE＝AC，连接ED，三角形AED为三角形ABC关于A中心对称的图形，如图所示；
（2）连接AP并延长，使A′P＝2AP，连接BP并延长，使B′P＝2BP，连接CP并延长，使C′P＝2CP，连接A′B′，A′C′，B′C′，△A′B′C′为所求作的三角形；
（3）满足题意的D点有3个，分别是以AB为对角线作出的平行四边形ACBD1，以AC为对角线的平行四边形ABCD2，以BC为对角线的平行四边形ABD3C，如图所示．
【解答】解：（1）如图所示：△AED为所求作的三角形；
（2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；
（3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝
第2个等式：a2＝
第3个等式：a3＝
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ×（﹣） ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ ×（﹣） （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2017的值．
【分析】（1）根据连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半列式可得；
（2）根据以上所得规律列式可得；
（3）根据以上所得规律列出算式×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+……+×（﹣），再进一步计算可得．
【解答】解：（1）a5＝＝×（﹣），
故答案为：，×（﹣）．
（2）an＝＝×（﹣），
故答案为：，×（﹣）．
（3）a1+a2+a3+…+a2017＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+……+×（﹣）
＝×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
19．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝70m．
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10（m），
∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别按照下列要求尺规作图，并保留作图痕迹．
（1）作△ABC的外心O；
（2）在AB上作一点P，使得∠CPB＝2∠ABC．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线交AB于点O即为所求；
（2）根据以C为圆心，CO为半径画弧，交AB于点P．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求：
（2）如图，点P即为所求：
∵OC＝OB，
∴∠COP＝2∠ABC，
∵CO＝CP，
∴∠CPB＝∠COP＝2∠ABC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
六、（本题满分12分．）
21．某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，如图是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）初一年级共有多少人？
（2）补全频数分布直方图．
（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率．
【分析】（1）用科技小组的频数除以它所占的百分比即可得到总人数；
（2）先计算出体育小组的人数，然后补全频数分布直方图．
（3）利用概率公式求解．
【解答】解：（1）32÷10%＝320，
所以初一年级共有320人；
（2）体育小组的人数＝320﹣48﹣64﹣32﹣64﹣16＝96（人），
频数分布直方图为：
（3）“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
七、（本题满分12分．）
22．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
八、（本题满分14分．）
23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；
（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
一．单项选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案，请将正确的答案的序号填入括号中．）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
6．某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（ ）
A．（1﹣10%）x万元 B．（1﹣10%x）万元
C．（x﹣10%）万元 D．（1+10%）x万元
7．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
8．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是 ．
12．如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，若AO＝10，则⊙O的半径长为 ．
13．已知直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 ．
14．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
15．计算：（﹣2）2+20180﹣．
16．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．
（1）甲、乙两队合作多少天？
（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点
三角形（顶点在网格交点处），请你画出：
（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；
（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝
第2个等式：a2＝
第3个等式：a3＝
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2017的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
19．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
20．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别按照下列要求尺规作图，并保留作图痕迹．
（1）作△ABC的外心O；
（2）在AB上作一点P，使得∠CPB＝2∠ABC．
六、（本题满分12分．）
21．某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，如图是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）初一年级共有多少人？
（2）补全频数分布直方图．
（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率．
七、（本题满分12分．）
22．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分．）
23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
2019年安徽省中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．单项选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案，请将正确的答案的序号填入括号中．）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据绝对值的定义，可以得到|﹣2|等于多少，本题得以解决．
【解答】解：由于|﹣2|＝2，故选C．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵（a2）3＝a6，
∴选项A不符合题意；
∵a4•a2＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a3＝a3，
∴选项C不符合题意；
∵（ab）3＝a3b3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2，正确；
C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（ ）
A．（1﹣10%）x万元 B．（1﹣10%x）万元
C．（x﹣10%）万元 D．（1+10%）x万元
【分析】直接利用2月份比1月份减少了10%，表示出2月份产值．
【解答】解：∵1月份产值x亿元，2月份的产值比1月份减少了10%，
∴2月份产值达到（1﹣10%）x亿元．
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．
7．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
B、∵△＝（﹣36）2﹣4×1×36＝1152＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；
C、∵△＝42﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根，C符合题意；
D、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为＝8（环），中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（环2），
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为＝，中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]＝（环2），
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y＝×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝x2﹣4x+8，
∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是 a＜4 ．
【分析】将x＝3代入不等式，再求a的取值范围．
【解答】解：∵x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，
∴9﹣＞2，
解得a＜4．
故a的取值范围是a＜4．
故答案为：a＜4．
【点评】本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得出9﹣＞2是解题的关键．
12．如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，若AO＝10，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得＝，即可解决问题．
【解答】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，
∴AB•DH＝320，
∴DH＝16，
在Rt△ADH中，AH＝＝12，
∴HB＝AB﹣AH＝8，
在Rt△BDH中，BD＝＝8，
设⊙O与AB相切于F，连接OF．
∵AD＝AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE＝90°，∠ABE+∠BDH＝90°，
∴∠OAF＝∠BDH，∵∠AFO＝∠DHB＝90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．已知直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此进行解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
14．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为 ．
【分析】设AB＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵△BCD∽△BAC，
∴，设AB＝x，
∴22＝x，
∵x＞0，
∴x＝4，
∴AC＝AD＝4﹣1＝3，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴CD＝．
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
15．计算：（﹣2）2+20180﹣．
【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣6＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．
16．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．
（1）甲、乙两队合作多少天？
（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【分析】（1）设甲、乙两队合作t天，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，所以乙队单独完成这项工程的速度是甲队单独完成这项工程的，由题意可列方程60﹣20＝t（1+），解答即可；
（2）把在工期内的情况进行比较即可；
【解答】解：（1）设甲、乙两队合作t天，
由题意得：乙队单独完成这项工程的速度是甲队单独完成这项工程的，
∴60﹣20＝t（1+）
解得：t＝24
（2）（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）×y＝1．
解得，y＝36，
①甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）＝198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
17．在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点
三角形（顶点在网格交点处），请你画出：
（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；
（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．
【分析】（1）由A为对称中心，故A点不动，连接BA并延长，使AD＝AB，连接CA并延长，使AE＝AC，连接ED，三角形AED为三角形ABC关于A中心对称的图形，如图所示；
（2）连接AP并延长，使A′P＝2AP，连接BP并延长，使B′P＝2BP，连接CP并延长，使C′P＝2CP，连接A′B′，A′C′，B′C′，△A′B′C′为所求作的三角形；
（3）满足题意的D点有3个，分别是以AB为对角线作出的平行四边形ACBD1，以AC为对角线的平行四边形ABCD2，以BC为对角线的平行四边形ABD3C，如图所示．
【解答】解：（1）如图所示：△AED为所求作的三角形；
（2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；
（3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝
第2个等式：a2＝
第3个等式：a3＝
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ×（﹣） ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ ×（﹣） （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2017的值．
【分析】（1）根据连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半列式可得；
（2）根据以上所得规律列式可得；
（3）根据以上所得规律列出算式×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+……+×（﹣），再进一步计算可得．
【解答】解：（1）a5＝＝×（﹣），
故答案为：，×（﹣）．
（2）an＝＝×（﹣），
故答案为：，×（﹣）．
（3）a1+a2+a3+…+a2017＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+……+×（﹣）
＝×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
19．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝70m．
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10（m），
∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别按照下列要求尺规作图，并保留作图痕迹．
（1）作△ABC的外心O；
（2）在AB上作一点P，使得∠CPB＝2∠ABC．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线交AB于点O即为所求；
（2）根据以C为圆心，CO为半径画弧，交AB于点P．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求：
（2）如图，点P即为所求：
∵OC＝OB，
∴∠COP＝2∠ABC，
∵CO＝CP，
∴∠CPB＝∠COP＝2∠ABC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
六、（本题满分12分．）
21．某中学为推进素质教育，在初一年级设立了六个课外兴趣小组，如图是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）初一年级共有多少人？
（2）补全频数分布直方图．
（3）求“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率．
【分析】（1）用科技小组的频数除以它所占的百分比即可得到总人数；
（2）先计算出体育小组的人数，然后补全频数分布直方图．
（3）利用概率公式求解．
【解答】解：（1）32÷10%＝320，
所以初一年级共有320人；
（2）体育小组的人数＝320﹣48﹣64﹣32﹣64﹣16＝96（人），
频数分布直方图为：
（3）“从该年级中任选一名学生，是参加音乐、科技两个小组学生”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
七、（本题满分12分．）
22．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
八、（本题满分14分．）
23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；
（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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