2020年湖南省株洲市中考数学试卷
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2020年湖南省株洲市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的相反数为，则等于．
A． B． C． D．
2. 下列运算正确的是．
A． B． C． D．
3. 一个不透明的盒子中装有个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字、、和．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为．
A． B． C． D．
4. 一实验室检测、、、四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是．
A．
B．
C．
D．
5. 数据、、、、、的中位数为．
A． B． C． D．
6. 下列哪个数是不等式的一个解？．
A． B． C． D．
7. 在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是．
A． B． C． D．或
8. 下列不等式错误的是．
A． B． C． D．
9. 如图所示，点、、对应的刻度分别为、、、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为．
A． B．
C． D．
10. 二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则．
A．
B．
C．
D．、的大小无法确定
| 二、 填空题（共8题） |
11. 关于的方程的解为________．
12. 因式分解：________．
13. 计算的结果是________．
14. 王老师对本班个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码 | ||||||
频率 |
则该班学生所穿校服尺码为“”的人数有________个．
15. 一个蜘蛛网如图所示，若多边形为正九边形，其中心点为点，点、分别在射线、上，则________度．
16. 如图所示，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为________．
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、分别在轴、轴上，点在函数（，为常数且）的图象上，边与函数的图象交于点，则阴影部分的面积为________．（结果用含的式子表示）
18. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
22. 近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：
（1）求该数据中每天代寄包裹数在范围内的天数；
（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于千克的包裹收费元；重量超千克的包裹，在收费元的基础上，每超过千克（不足千克的按千克计算）需再收取元．
① 某顾客到该代办点寄重量为千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？
② 这天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过千克，且不超过千克．现从中随机抽取件包裹的重量数据作为样本，统计如下：
重量（单位：千克） | |||
件数（单位：件） |
求这件包裹收取费用的平均数．
23. 如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为，，求的值．
24. 是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．
（1）如图① ，求证：直线是的切线；
（2）如图② ，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为，，求的值．
25. 如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．
（1）若点为线段的中点，求的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于．
① 求证：；
② 把称为，两点间的“距离”，记为，求的值．
26. 如图所示，二次函数的图象（记为抛物线）与轴交于点，与轴分别交于点、，点、的横坐标分别记为，，且．
（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；
（2）若关于的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图象与轴没有交点．
（3）若，点的坐标为，过点作直线垂直于轴，且抛物线的顶点在直线上，连接、、，的延长线与抛物线交于点，若，求的最小值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】因为的相反数是，所以．
故选：
【点评】本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．
2. 【答案】A
【解析】选项，根据同底数幂的乘法法则可得，选项正确；
选项，根据合并同类项法则可得，选项错误；
选项，根据幂的乘方的运算法则可得，选项错误；
选项，根据积的乘方的运算法则可得，选项错误．
故选：
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．
3. 【答案】C
【解析】根据题意可得：在个小球中，其中标有正数的有个，分别是，，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：．
故选：
【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
4. 【答案】D
【解析】，，，，
又，
从轻重的角度看，最接近标准的是选项中的元件．
故选：
【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
5. 【答案】C
【解析】把这组数据从小到大排列为：，，，，，，则这组数据的中位数是．
故选：
【点评】此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6. 【答案】A
【解析】解不等式，得，
因为只有，所以只有是不等式的一个解．
故选：
【点评】此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简单的不等式．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7. 【答案】B
【解析】点是第二象限内的点，
，
四个选项中符合题意的数是．
故选：
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
8. 【答案】C
【解析】．根据两个负数绝对值大的反而小可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；
．由，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；
．由，，可得，原不等式错误，故此选项符合题意；
．由，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．
9. 【答案】D
【解析】由题意，知，，．
由旋转的性质，得．
在中，．
．
扇形的面积为．
即线段扫过的图形的面积为．
故选：
【点评】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
10. 【答案】B
【解析】，，
．
又，
，
，，
，．
点，在该二次函数的图象上，
，．
．
．
故选：
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】方程，
移项，得，
合并同类项，得．
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程移项，把系数化为，即可求出解．
12. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．
13. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案是：．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
14. 【答案】；
【解析】由表可知尺码的频率为，又因为班级总人数为，
所以该班学生所穿校服尺码为“”的人数有．
故答案是：．
【点评】本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率频数总数．
15. 【答案】；
【解析】根据正多边形性质得，中心角为：
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为．
16. 【答案】；
【解析】、分别是的边、的中点，
为的中位线，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．
17. 【答案】；
【解析】是反比例函数图象上一点
根据反比例函数的几何意义可知：的面积为．
点在函数（，为常数且）的图象上，四边形为矩形，
根据反比例函数的几何意义可知：矩形的面积为．
阴影部分的面积矩形的面积的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．
18. 【答案】；
【解析】如图，
四边形为正方形，
，，
为直径，，
由题意得，
，
，
，
正方形周长为尺．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．
20. 【答案】
【解析】原式
，
当，，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则．
21. 【答案】（1）
（2）米
【解析】（1）在中，；
（2），
，
，
在中，，
，
，
．
综上所述，长度增加了米．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
22. 【答案】（1）天
（2）①元；② 元
【解析】（1）结合统计图可知：
每天代寄包裹数在范围内的天数为天；
（2）① 因为，故重量超过了，
除了付基础费用元，还需要付超过部分的费用元，
则该顾客应付费用为元；
② 元．
所以这件包裹收取费用的平均数为元．
【点评】本题考查频数分布直方图、加权平均数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
正方形边长为，．
，．
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，如图① ，
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：如图② ，是的直径，的半径为，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）① 答案见解析；②
【解析】（1）点为线段的中点，，
，即：点坐标为，
又轴，，
，
．
（2）① 在为等腰直角三角形中，，，
，
又轴，
，
，
在和中，
，
，
② 解：设点坐标为，
，
，，
，
设直线解析式为：，将两点代入得：
则．
解得，．
当时，，，，符合；
当时，，，，不符，舍去；
综上所述：．
【点评】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）由题意得：，
函数过点，
，
，
；
（2）由题意，一元二次方程的判别式．
，
，
在函数中，，
，
，
即函数图象与轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线上，则有，
即① ，
，
，
即，
，
由① 得：② ，
，
，
，，
，
则．
，
，
．
，
．
由② 得：，
，
当时，．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．
