2020高考数学一轮复习检测：第1章 第2节　常用逻辑用语(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－πx＜0　　 B．∀x∈R，x2－πx≤0

C．∃x0∈R，x－πx0≤0  D．∃x0∈R，x－πx0＜0

解析：选D.全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0＜0”．故选D.

2．(2018·衡水模拟)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

解析：选C.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.

3．(2018·武汉质检)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)

A．(¬p)∨(¬q)为真命题

B．p∨(¬q)为真命题

C．(¬p)∧(¬q)为真命题

D．p∨q为真命题

解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选A.

4．(2018·太原联考)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选D.充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，即a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.

5．(2019·吉林实验中学期末)下列命题中正确的是(　　)

A．命题“∃x0∈R，使得x－1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2－1＞0”

B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题

C．命题“若x2＝y2，则x＝y”的逆否命题是真命题

D．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的否命题是“若x≠3，则x2－2x－3≠0”

答案：D

6．(2018·日照二模)已知命题p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命题q：任意x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论：

①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；

③命题“¬p或q”是真命题；④命题“p或¬q”是假命题．

其中所有正确结论的序号为(　　)

A．②③  B．①④

C．①③④  D．①②③

解析：选D.对于命题p，取x0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即任意x∈R，x2＋x＋1＞0，所以命题q为真命题．综上“p且q”是真命题，“p且¬q”是假命题，“¬p或q”是真命题，“p或¬q”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.

7．(2018·山东菏泽模拟)函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)

A．a＜0  B．0＜a＜

C.＜a＜1  D．a≤0或a＞1

解析：选A.因为函数f(x)过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合可得a≤0或a＞1.观察选项，根据集合间的关系{a|a＜0}{a|a≤0或a＞1}，故选A.

8．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．

解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a＞b＞c，但不满足a＋b＞c.

答案：－1，－2，－3(答案不唯一)

9．(2018·豫西南五校联考)若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．

解析：由x∈可得－1≤tan x≤.∴1≤tan x＋2≤2＋，∵“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，∴实数m的最大值为1.

答案：1

10．(2018·青岛模拟)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；

③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题．

其中正确结论的序号为________．

解析：∵当x＝时，tan x＝1，

∴命题p为真命题，命题¬p为假命题．

由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，

∴命题q为真命题，命题¬q为假命题．

∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧¬q”是假命题，命题“¬p∨q”是真命题，命题“¬p∨¬q”是假命题．

答案：①②③④

B级　能力提升练

11．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C.

12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)

A．a＞b＋1  B．a＞b－1

C．a2＞b2  D．a3＞b3

解析：选A.由选项中的不等式可得a＞b，a＞b推不出选项中的不等式．选项A中，a＞b＋1＞b，反之a＞b推不出a＞b＋1；选项B中，a＞b＞b－1，反之a＞b－1推不出a＞b，为必要不充分条件；选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件，故选A.

13．(2018·江西上饶二模)已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(¬p)∧(¬q)

C．p∧(¬q)  D．(¬p)∧q

解析：选D.当x＝1时，log4x＝log8x，所以命题p是假命题；函数y＝tan x的图象与y＝1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tan x＝1－3x，即命题q是真命题，故(¬p)∧q是真命题，选D.

14．(2018·沈阳模拟)有关下列说法正确的是(　　)

A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件

B．若p：∃x0∈R，x－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1＜0

C．命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1”

D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题

解析：选D.对于A，由f(0)＝0，不一定有f(x)是奇函数，如f(x)＝x2；反之，函数f(x)是奇函数，也不一定有f(0)＝0，如f(x)＝.

∴“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A错误；对于B，若p：∃x0∈R，x－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1≤0.故B错误；对于C，命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1且x≠－1”．故C错误；对于D，若命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则¬p∧q为假命题，¬q∧p为真命题，则(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题；反之，若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题，则¬p∧q或¬q∧p至少有一个为真命题．若¬p∧q真，¬q∧p假，则p假q真；若¬p∧q假，¬q∧p真，则p真q假；不可能¬p∧q与¬q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题．故选D.

15．(2018·佛山模拟)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

解析：已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，

∴原命题的否定是“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，显然a≠0.∴f(1)f(0)＜0，

即(a2－2a＋1)(－2a＋1)＜0，

即(a－1)2(2a－1)＞0，

解得a＞，且a≠1，

∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

答案：∪(1，＋∞)

C级　素养加强练

16．(2018·湖北襄阳模拟)设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值点．

已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2－a＋m＞0，若r是¬t的必要不充分条件，则正整数m的值为________．

解析：若p为真，则3a≤9，得a≤2.

若q为真，则函数f(x)无极值点，∴f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，

得Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得1≤a≤5.

∵“p∧q”为真命题，

∴p、q都为真命题，

∴⇒1≤a≤2.

∵a2－a＋m＞0，

∴(a－m)＞0，

∴a＜m或a＞m＋，

即t：a＜m或a＞m＋，

从而¬t：m≤a≤m＋，

∵r是¬t的必要不充分条件，

∴¬t⇒r，r¬t，

∴或

解得1≤m≤，

又∵m∈N*，∴m＝1.

答案：1