九年级数学上学期期中检测题新版北师大版

期中检测题

(时间：100分钟　　满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列判断错误的是( D )

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形    B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．四条边都相等的四边形是菱形    D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

2．(2019·湘西州)一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是( C )

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根

C．没有实数根    D．无法判断

3．(2019·淮安)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( B )

A．k＜－1    B．k＞－1    C．k＜1    D．k＞1

4．(2019·河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( D )

A．30°    B．25°    C．20°    D．15°

5．若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同，则a的值为( C )

A．1    B．1或－3    C．－1    D．－1或3

6．如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( A )

7．(2019·东营)从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2＋b2＞19的概率是( D )

A．    B．    C．    D．

8．(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( B )

A．9(1－2x)＝1    B．9(1－x)2＝1    C．9(1＋2x)＝1    D．9(1＋x)2＝1

9．(郴州中考)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )

A．7    B．8    C．7    D．7

10．(2019·安徽)如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )

A．0    B．4    C．6    D．8

点拨：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝4，则在线段BC上存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9，在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝12，∴点P在CH上时，4＜PE＋PF≤12，在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴BE＝BF＝2，∴PE＋PF＝4，∴点P在BH上时，4＜PE＋PF＜4，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝9.即共有8个点P满足PE＋PF＝9，故选：D.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．(2019·威海)一元二次方程3x2＝4－2x的解是__x1＝，x2＝__．

12．(黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件__EB＝DC(答案不唯一)__，使四边形DBCE是矩形．

13．(2019·玉林)我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是____．

14．(2019·宁夏)你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如上面左图)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在上面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是__②__．(只填序号)

15．(2019·营口)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为____．

三、解答题(共75分)

16．(8分) 解下列方程：

(1)4x2－(3x＋1)2＝0;    (2)(徐州中考)2x2－x－1＝0.

解：x1＝－，x2＝－1    解：x1＝－，x2＝1

17．(9分)(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.

(1)求证：AE＝BF；

(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

解：(1)四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF　(2)∵E是AD中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2

18．(9分)(2019·黄石)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值．

解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，解得：m≤2　(2)∵方程x2－6x＋(4m＋1)＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42，即32－16m＝16，解得m＝1

19．(9分)(2019·贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

(1)求这两年藏书的年均增长率；

(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

解：(1)设这两年藏书的年均增长率是x，5(1＋x)2＝7.2，解得，x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，答：这两年藏书的年均增长率是20%　(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2－5)×20%＝0.44(万册)，到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是×100%＝10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%

20．(9分)(2019·江西)为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲).比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是____；

(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．

解：(1)因为有A，B，C 3种等可能结果，所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为　(2)树状图如图所示：共有9种可能，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率＝＝

21．(10分)(2019·济宁)某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

根据图表解答下列问题：

(1)在女生阅读时间人数统计表中，m＝__3__，n＝__30%__；

(2)此次抽样调查中，共抽取了__50__名学生，学生阅读时间的中位数在__1≤t＜1.5__时间段；

(3)从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

解：(1)女生总人数为4÷20%＝20(人)，∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，故答案为：3，30%　(2)学生总人数为20＋6＋5＋12＋4＋3＝50(人)，这组数据的中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，故答案为：50，1≤t＜1.5　(3)学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．

共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝

22．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由；

(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；

(3)求四边形EFPH的面积．

解：(1)△BEC是直角三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得：CE＝＝，同理BE＝2，∴CE2＋BE2＝25，∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴△BEC是直角三角形　(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形　(3)在Rt△PCD中，FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD·CF＝PC·CD，∴CF＝，∴EF＝CE－CF＝，∵PF＝＝，∴S矩形EFPH＝EF·PF＝

23．(11分)(1)如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；

(2)如图②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求四边形ABCD的面积．

解：(1)易证△CBE≌△CDF(SAS)，∴CE＝CF　(2)如图②，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD　(3)如图③，过C作CG⊥AD，交AD延长线于点G.在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.∵∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG. ∴10＝4＋DG，即DG＝6.设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，即102＝(x－6)2＋(x－4)2，解得x＝12或x＝－2(舍去)，∴AB＝12，∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝×(6＋12)×12＝108