2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第八讲　曲线与方程


第八讲　曲线与方程



ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．
知识点二　求动点的轨迹方程的基本步骤

重要结论
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学思想
(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．
(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是(　ABCD　)
A．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线
B．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2
C．y＝kx与x＝y表示同一直线
D．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的
题组二　走进教材
2．(必修2P37T3)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
[解析]　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
题组三　考题再现
3．(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　B　)
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0,0)
[解析]　圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B．

4．(2019·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　B　)

A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析]　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．
5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36(y≠0)__.　
[解析]　设A(x，y)，由题意可知D(，)．又∵|CD|＝3，∴(－5)2＋()2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　曲线与方程——自主练透
例1 (多选题)关于x，y的方程＋＝1，(其中m2≠)对应的曲线可能是(　ABCD　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．圆
[解析]　由题，若m2＋2>3m2－2，解得－0，解得m<－或m>，则当x∈(－，－)∪(，)时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若3m2－2>m2＋2，解得m<－或m>，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若3m2－2<0，解得－ 〔变式训练1〕
(多选题)(2020·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　AD　)
A．y2＝4x
B．x2＝4y
C．＋＝1(0<θ<)
D．－＝1(0<θ<)
[解析]　y2＝4x的焦点坐标为(1,0)；x2＝4y的焦点坐标为(0,1)；当θ＝时，sin2θ＝cos2θ＝，＋＝1表示圆；双曲线－＝1(0<θ<)的焦点在x轴上，且c＝＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD．
考点二　定义法求轨迹方程——自主练透
例2 (1)(2019·沈阳模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　C　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
(2)(2019·福州模拟)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　A　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．－＝1
(3)(2019·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－＝1(x≤－1)__.
[解析]　(1)由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.故选C．
(2)由＝2，·＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A．
(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，且圆M半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，∴|MC2|－|MC1|＝2.

即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.
又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__－＝1(x≤－2)__.
[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨道方程为__－＝1(x≥2)__.
[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－＝1(x≥1)__.
[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__－＝1__.
名师点拨 ☞
定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
〔变式训练2〕
(1)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　B　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
(2)(多选题)(2020·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是(　AB　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
[解析]　(1)双曲线x2－＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M的轨迹是以F为焦点、原点为顶点、对称轴为x轴的抛物线，故其方程为y2＝－8x.故选B．
(2)如图两根电杆AB，CD，

①当|AB|＝|CD|时，
∵∠BPA＝∠CPC，∴|PA|＝|PC|，
∴P的轨迹是AC的中垂线，
②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ>0)时，
由∠BPA＝∠CPC知Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝＝λ，
以AC所在直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
不记记A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
则＝λ，
即(x－)2＋y2＝()2，
轨迹为圆，故选AB．
考点三　直接法求轨迹方程——师生共研
例3 已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A，其弦AB的中点D恰好落在x轴上．
(1)求点B的轨迹E的方程；
(2)过直线y＝－1上一点P作曲线E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线MN过定点．
[解析]　(1)设B(x，y)，y>0，则AB的中点D(，0)，
∵C(0,1)，连接DC，∴＝(－，1)，＝(，y)．
在⊙C中，DC⊥DB，∴·＝0，
∴－＋y＝0，即x2＝4y(y>0)．
∴点B的轨迹E的方程为x2＝4y(y>0)．
(2)由(1)可得曲线E的方程为x2＝4y(y>0)．
设P(t，－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵y＝，∴y′＝，∴过点M，N的切线方程分别为y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，
由4y1＝x，4y2＝x，上述切线方程可化为2(y＋y1)＝x1x,2(y＋y2)＝x2x，
∵点P在这两条切线上，∴2(y1－1)＝tx1,2(y2－1)＝tx2，
即直线MN的方程为2(y－1)＝tx，
故直线MN过定点C(0,1)．
名师点拨 ☞
直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合适的直角坐标系．
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．
(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
(4)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
〔变式训练3〕
(2019·湖南省湘潭市模拟)设D是圆O：x2＋y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|＝|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．
[解析]　(1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，
因为2|EQ|＝|ED|，点Q在直线m上，
所以x0＝x，|y0|＝|y|.①
因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，
所以x＋y＝16.②
将①式代入②式，得曲线C的方程为＋＝1.
(2)由题意可知l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－2)，
令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．
由，得
(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，
x1x2＝.③
记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，
所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
所以k1＋k2＝＋
＝＋－3(＋)
＝2k－3×.④
把③代入④，得
k1＋k2＝2k－3×＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，
故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
考点四　代入法(相关点法)求轨迹方程——多维探究
例4 (2019·泉州模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝.记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．
[解析]　(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，
知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入 曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2.
此时直线l的方程为y＝±x＋1.
名师点拨 ☞
代入法(相关点法)求轨迹方程
(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：
①某个动点P在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点M随P的变化而变化；
③在变化过程中P和M满足一定的规律．
(2)代入法(相关点法)的基本步骤
①设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；
④检验：注意检验所求方程是否符合题意．
〔变式训练4〕
(2019·河北石家庄模拟)已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(　D　)
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
[解析]　设P(x，y)，Q(x0，y0)，椭圆C的左焦点F1(－2,0)，
由题意知
又＋＝1，∴＋＝1，故选D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
参数法求轨迹方程
例5 (2019·山西临汾)已知椭圆C：＋y2＝1的上、下顶点分别为M、N，点P在椭圆C外，直线PM交椭圆与另一点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是(　D　)
A．y＝x2＋1(x≠0) B．y＝x2＋3(x≠0)
C．y2－＝1(y>0，x≠0) D．y＝3(x≠0)
[解析]　设P的坐标为(x，y)，A的坐标为(m，n)，且m≠0，
由题意可知M(0,1)，N(0，－1)，
∴kPN＝，kAN＝，kPM＝，kAM＝，
∵PN⊥NA，∴－＝.①
又知点A(m，n)在直线PM上，
∴kPM＝kAM，即＝.②
由①×②得－＝③.
又∵点A(m，n)在椭圆上，∴＋n2＝1，
即n2－1＝－.④
把④代入③得＝，即y＝3，
由题意可知x≠0，∴点P的轨迹方程为y＝3(x≠0)，故选D．
名师点拨 ☞
(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．
(2)参数法求轨迹方程的适用条件
动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．
〔变式训练5〕
若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为__x＋y－1＝0__.
[解析]　当直线l1的斜率存在时，l2的斜率也存在，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋)，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有两式相加消去k，得x＋y＝1(x≠)，即x＋y－1＝0(x≠)，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0(x≠)．
当直线l1(l2)的斜率不存在时，点M的坐标为(，)，此点在直线x＋y－1＝0上．
综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.

另解：由题意易知|MP|＝|MO|，
∴M的轨迹为线段OP的中垂线，
其方程为y－＝－(x－)，
即x＋y－1＝0.