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2020版数学(理)新设计大一轮人教A版新高考(鲁津京琼)讲义:第三章一元函数的导数及其应用第2节第4课时
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第4课时 导数与函数的零点
考点一 判断零点的个数
【例1】 (2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.
解 (1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.
∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)由(1)知g(x)=-4ln x=x--4ln x-2,
∴g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x)=1+-=,令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下表:
X
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
极大值
极小值
当025-1-22=9>0.
又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,
因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点,
故g(x)仅有1个零点.
规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.
(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
【训练1】 已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28….
(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;
(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.
(1)证明 由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x,
所以h(1)=e-30,
所以h(1)h(2)0,因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
易知φ(x)在(0,+∞)内至多有一个零点,
即h(x)在[0,+∞)内至多有两个零点,
则h(x)在[0,+∞)上有且只有两个零点,
所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.
考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围
【例2】 函数f(x)=ax+xln x在x=1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
解 (1)函数f(x)=ax+xln x的定义域为(0,+∞).
f′(x)=a+ln x+1,
因为f′(1)=a+1=0,解得a=-1,
当a=-1时,f(x)=-x+xln x,
即f′(x)=ln x,令f′(x)>0,解得x>1;
令f′(x)0;
当x0,假设存在b满足0