2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第1节　直线的倾斜角与斜率、直线方程

第章　平面解析几何

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程

[考纲传真]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为0°≤α＜180°.

2．斜率公式

(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α，当α＝90°时，直线斜率不存在．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

牢记倾斜角α与斜率k的关系

(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.

(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． (　　)

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　　)

(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)

(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．              (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4

A　[由题意得＝1，解得m＝1.]

3．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)

A．30°   B．60°  C．150°   D．120°

B　[设直线的倾斜角为α，则tan α＝，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]

4．(教材改编)经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　)

A．x＋y＝2 B．x＋y＝1

C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y

D　[若直线过原点，则直线为y＝x，符合题意，若直线不过原点，设直线为＋＝1，代入点(1,1)，解得m＝2，直线方程整理得x＋y－2＝0，故选D．]

5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]

1．(2019·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　　 B.

C．∪   D．∪

B　[由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.]

2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为______．

4　[因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.]

3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．

(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]

【例1】　根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.

[解]　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)，

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.

故所求直线方程为y＝±(x＋4)．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

[规律方法]　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．

x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[设所求直线的方程为＋＝1.

∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1. ①

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1. ②

由①②可得(1)或(2)

由(1)解得或方程组(2)无解．

故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]

【例2】　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)＋＝1≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

[解]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，

所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)

＝a2－a＋4＝＋，

当a＝时，四边形的面积最小，

故实数a的值为.