2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第4节　二次函数的再研究与幂函数


第四节　二次函数的再研究与幂函数
[考纲传真]　1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图像与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图像


定义域
R

值域


单调性
在上减，在上增
在上增，在上减
奇偶性
当b＝0时为偶函数
对称性
函数的图像关于直线x＝－对称


2．幂函数
(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
(2)五种常见幂函数的图像与性质
函
数
特
征
性
质

y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图像





定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，(0，＋∞) 增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)

1．与二次函数有关的恒成立问题
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是；
(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是；
(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是；
(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是.
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像特征
(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增加的；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减少的．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数． (　　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是． (　　)
(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)． (　　)
(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增加的． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图像过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)
A．　　　　 B．±
C．± D．9
D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.
所以f(x)＝x＝，
故f(m)＝＝3⇒m＝9.]
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[由题意知即得a＞.]
4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
D　[由图像知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4　[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.]



幂函数的图像与性质
1．幂函数y＝f(x)的图像过点(8,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　　D
C　[令f(x)＝xα，由f(8)＝2得8α＝2，
即23α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，故选C．]
2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c　　　　 B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D　[a＝＝，b＝＝，c＝，由＜＜得b＜a＜c，故选D.]
3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)
A． B．1
C． D．2
C　[由幂函数的定义知k＝1.
又f ＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
　[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增加的，所以解得－1≤a＜.]
[规律方法]　幂函数的性质与图像特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增加的，则α＞0，若在(0，＋∞)上是减少的，则α＜0.


求二次函数的解析式

【例1】　(1)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
(1)－4x2＋4x＋7　(2)x2＋2x　[(1)法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的图像的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，
解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
(2)设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.]
[规律方法]　求二次函数解析式的方法

(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4　[(1)由题意知
解得
从而f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2或a＝0，
当a＝0时，则f(x)＝bx2，值域为(－∞，0]或[0，＋∞), 不满足已知值域(－∞，4]，∴a＝0舍去，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.]


二次函数的图像与性质

►考法1　二次函数的图像
【例2】　已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是(　　)

D　[A项，因为a＜0，－＜0，
所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，
而f(0)＝c＜0，故A错．
B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．
C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．
D项，因为a＞0，－＞0，所以b<0.
又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]
►考法2　二次函数的单调性
【例3】　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
[－3,0]　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞]上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．]
[拓展探究]　若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？
[解]　因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的减区间为[－1，＋∞)，所以解得a＝－3.
►考法3　二次函数的最值
【例4】　已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．
[解]　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图像开口向上且对称轴为x＝.
①当0＜≤1，即a≥1时，
f(x)＝ax2－2x的对称轴在(0,1]内，
所以f(x)在上是减少的，在上是增加的．
所以f(x)min＝f ＝－＝－.
②当＞1，即0＜a＜1时，
f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]的右侧，
所以f(x)在[0,1]上是减少的．
所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图像开口向下且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧，
所以f(x)＝ax2－2x在[0,1]上是减少的，
所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
[拓展探究]　若将本例中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？
[解]　因为f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，f(x)在[0,1]上是增加的，
所以f(x)min＝f(0)＝0.
②当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2.
③当a＞1时，f(x)在[0,1]上是减少的，
所以f(x)min＝f(1)＝1－2a.
综上所述，f(x)min＝
[规律方法]　二次函数最值的求法
二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．
(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增加的，则实数k的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
(1)C　(2)A　[(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C．
(2)二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k＞0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k＜0时，＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减少的，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．]
(3)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
[解]　因为函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以对称轴为直线x＝1，
因为x＝1不一定在区间[－2，a]内，
所以应进行讨论，当－2＜a≤1时，函数在[－2，a]上是减少的，则当x＝a时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝a2－2a；当a＞1时，函数在[－2,1]上是减少的，在[1，a]上是增加的，则当x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－1.
综上，当－2＜a≤1时，f(x)min＝a2－2a，
当a＞1时，f(x)min＝－1.


与二次函数有关的恒成立问题

►考法1　形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
【例5】　(2019·张掖模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________________．
(－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－2 综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]
►考法2　形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围
【例6】　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增加的，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减少的，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述：m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
►考法3　形如f(x)≥0(参数k∈[a，b])求x的范围
【例7】　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
(－∞，1)∪(3，＋∞)　[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即解得x＜1或x＞3，所以x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．]
[规律方法]　形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图像，利用判别式来求解．
(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．③分离参数，变为a≥g(x)或a≤g(x)恒成立问题，然后再求g(x)的最值．
(3)已知参数k∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(1)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
(1)(－∞，－5]　(2)　[(1)设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时，f(x)＜0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.
(2)2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3＜0，成立；
当x≠0时，a＜－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.
综上，实数a的取值范围是.]


1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A．b＜a＜c　　　 B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A　[利用幂函数的性质比较大小．a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
(－∞，8]　[当x<1时，x－1<0，ex－1 ∴当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.
综上可知x∈(－∞，8]．]