2020高考数学（文）新创新大一轮复习通用版讲义：第一章第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
突破点一　命题及其关系


1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系
(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x2＋2x－8<0”是命题．(　　)
(2)一个命题非真即假．(　　)
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)
(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、填空题
1．命题“若x2<4，则－2 答案：若x2≥4，则x≥2或x≤－2　真
2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
3．有下列几个命题：
(1)“若a>b，则>”的否命题；
(2)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(3)“若|x|<4，则－4 其中真命题的序号是________．
解析：(1)原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；(2)原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题．
答案：(2)(3)


考法一　命题真假的判断　
[例1]　下面的命题中是真命题的是(　　)
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M⊆N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若· >0，则B为锐角
[解析]　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题，故选B.
[答案]　B
[方法技巧]
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；
②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．　　
考法二　四种命题的关系　
[例2]　(1)(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1 A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1 C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
[解析]　(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1 (2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．选A.
[答案]　(1)D　(2)A
[方法技巧]
四种命题的关系及真假判断
(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．
(2)命题真假的判断方法
①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．
②间接判断法：转化成等价命题，再判断．　　

1.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C　否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
2.原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.
3.定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，
则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；
当0 即ln＋(ab)＝bln＋a，故①为真命题．
同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，
则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
答案：①③④
突破点二　充分条件与必要条件


1．充分条件与必要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
2.充分条件与必要条件和集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)
(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
二、填空题
1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．
答案：充分不必要
2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．
答案：必要不充分
3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．
解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，
反之无法得到x>0，y>0.
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．
解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．
答案：充分不必要　充要


考法一　充分条件与必要条件的判断　
[例1]　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．
(2)由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，
即“＜”⇒“x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，
即“x3＜1”⇒ / “＜”．
所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
[答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]　　　充分、必要条件的判断方法
利用定义判断
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么
从集合的角度判断
利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
利用等价转化法
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
考法二　根据充分、必要条件求参数范围　
[例2]　(2019·大庆质检)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　　　 B．(－∞，9]
C．[1,9] D．[9，＋∞)
[解析]　由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　　

1.已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　设m，n的夹角为θ，若<θ<π，则cos θ<0，所以m·n<0；若θ＝π，则m·n＝－|m|·|n|<0.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.
2.已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D　α＝，β＝均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－，β＝均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.
3.设M为实数区间，a>0且a≠1，若“a∈M”是“函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(0,1) D.
解析：选D　由函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增可知0 4.已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析：p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4 由p是q的必要不充分条件可知BA，
∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.
答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)
[课时跟踪检测]
1．(2019·合肥模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0或b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
解析：选A　原命题的逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选A.
2．(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，
故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件．
3．下列命题中为真命题的是(　　)
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集
解析：选C　A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．
4．(2019·合肥调研)“a>1”是“3a>2a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　因为y＝x是增函数，又a>1，所以a>1，所以3a>2a；若3a>2a，则a>1＝0，所以a>0，所以“a>1”是“3a>2a”的充分不必要条件，故选A.
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C　对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．(2019·咸阳模拟)已知p∶m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.
7．(2019·重庆调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.
8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是(　　)
A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题
B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题
C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题
D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
解析：选D　原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.
10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选B　由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．
全为真命题．
答案：4
12．已知命题“若m－1 解析：由已知得，若1 则m－1 ∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
13．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
14．(2019·湖南十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的____________条件．
解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列．
如果{an}是等比数列，由a1＝S1＝Aq＋B，得a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2，
∴a1a3＝a，从而可得A＝－B，
故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，p：≤x≤，q：|f(x)－m|<2，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：化简解析式，得f(x)＝4·－2cos 2x－1＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin2x－＋1.
当≤x≤时，≤2x－≤，
则≤sin≤1，所以f(x)∈[3,5]．
当|f(x)－m|<2时，f(x)∈(m－2，m＋2)．
又p是q的充分不必要条件，
所以所以3 即实数m的取值范围为(3,5).