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2020年高考物理新课标第一轮总复习讲义：第五章第三讲 机械能守恒定律及其应用
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基础复习课
第三讲 机械能守恒定律及其应用
[小题快练]
1．判断题
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．( √ )
(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( √ )
(3)弹力做正功，弹性势能一定增加．( × )
(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × )
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小．( √ )
(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒．( √ )
2．关于重力势能，下列说法中正确的是( D )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( D )
A．弹簧的弹性势能逐渐减少
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少
D．弹簧的弹性势能先减少后增加
4．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
考点一 机械能守恒的判断 (自主学习)
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒．
(2)利用守恒条件判断．
(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒．
1－1.[机械能守恒的判断] 在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A机械能守恒
C．丙图中小球机械能守恒
D．丁图中小球机械能守恒
解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误．
答案：A
1－2.[机械能守恒的判断] 把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．忽略弹簧的质量和空气阻力．则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是( )
A．经过位置B时小球的加速度为0
B．经过位置B时小球的速度最大
C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
答案：C
考点二 单个物体的机械能守恒 (师生共研)
1．机械能守恒定律的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体．
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能．
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解．
[典例] 如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道全高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；
(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；
(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)．
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
内壁光滑的“9”形固定轨道
滑块在“9”形轨道内运动时机械能守恒
滑块无初速地放在传送带A端
滑块从A点开始做初速度为0的匀加速运动
滑块从“9”形轨道，D点水平抛出
滑块由D到P做平抛运动，机械能守恒
恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点
滑块在P点的速度vP垂直于斜面，其水平分速度为vD
第二步：找突破口
(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达B点，则剩余部分将做匀速直线运动．
(2)在轨道的C点，根据FN＋mg＝m求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C点的速度vC.
(3)滑块由D点到P点做平抛运动，故滑块在P点的速度vP在水平方向的分速度与在D点的速度相等，即vD＝vPsin θ.
解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得
μmg＝ma
得a＝μg＝3 m/s2
加速到与传送带共速所需要的时间t1＝＝2 s
前2 s内的位移x1＝at＝6 m
之后滑块做匀速运动的位移x2＝L－x1＝6 m
时间t2＝＝1 s
故t＝t1＋t2＝3 s.
(2)滑块由B到C运动，由机械能守恒定律得
－mgH＝mv－mv
在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
解得FN＝90 N.
(3)滑块由B到D运动的过程中，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mg(H－2R)
滑块由D到P运动的过程中，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mgh
又vD＝vPsin 45°
由以上三式可解得h＝1.4 m.
答案：(1)3 s (2)90 N (3)1.4 m
[反思总结]
应用机械能守恒定律的两点注意事项
1．列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.
2．应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同．
2－1.[与平抛运动相结合] (2015·海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2 m，s＝ m．取重力加速度大小g＝10 m/s2.
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．
解析：(1)一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt，h＝gt2，
从ab滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgR＝mv，联立三式可得R＝＝0.25 m.
(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有mgh＝mv2
环在c点的速度水平分量为vx＝vcos θ
式中，θ为环在c点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c点的速度方向和以初速度vb做平抛运动的物体在c点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为vx′＝vb，竖直分量vy′为vy′＝
因为cos θ＝
联立可得vx＝ m/s.
答案：(1)0.25 m (2) m/s
2－2.[与圆周运动相结合] (2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l⑤
联立③⑤式得
vD＝⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl⑪
联立①②⑩⑪式得
m≤M
1．多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
2．多物体机械能守恒问题的三点注意
(1)正确选取研究对象．
(2)合理选取物理过程．
(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．
3－1.[弹簧连接] (2015·天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案：B
3－2.[轻杆连接] (多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案：BD
3－3.[轻绳连接] (多选)(2018·康杰中学模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．环与重物组成的系统机械能守恒
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处时的速度为
解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故A项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度h＝(－1)d，故B项错误；将小环在B处的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则v物＝v环cos45°，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为∶1 ，故C项错误；小环和重物系统机械能守恒，则mgd－2mgh＝mv＋2mv，且v物＝v环cos 45°，解得：v环＝，故D正确．
答案：AD
1. (2018·聊城一中检测)如右图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心O等高的位置．若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为R的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接．换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为180°、120°、90°和60°.仍将小球从原半圆轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与O点等高的高度( C )
解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与O点等高的高度，则速度为零；图A中到达O点的速度至少为，则A错误；B中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则B错误；C图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则C正确；D图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则D错误．
2. (多选)(2019·阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置．由静止释放，则( BC )
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
解析：由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为vA∶vB＝ω·2l∶ω·l＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mv＋·2mv，解得：v＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为：vA＝，所以A错误，C正确．
3. (2018·海南矿区中学模拟)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高．取g＝10m /s2，求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小．
解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是
Ep＝mgh＝5 000 J；
(2)由动能的公式得：Ek＝mv＝625 J；
(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒
mgh＝mv2－mv，解得v＝15 m/s .
答案：(1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
[A组·基础题]
1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则跳伞者( A )
A．机械能一直减小 B．机械能一直增大
C．动能一直减小 D．重力势能一直增大
2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接．若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )
A．0 B．mgRsin θ
C．2mgRsin θ D．2mgR
3. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( C )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
4．如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )
A．A B．B
C．C D．D
5．(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，则以下说法正确的是( CD )
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，物体机械能守恒
C．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
D．物体在最低点时的加速度大于g
6．(多选) (2019·景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放．当b球第一次经过最低点时，a球对地面压力刚好为零．下列结论正确的是( BD )
A．a球的质量为2m
B．a球的质量为3m
C．b球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
D．b球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小
解析：b球在摆动过程中，a球不动，b球做圆周运动，则绳子拉力对b球不做功，b球的机械能守恒，则有：mbgL＝mbv2；当b球摆过的角度为90°时，a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：T＝mag；b通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：mag－mbg＝mb，解得：ma＝3mb，故A错误、B正确．在开始时b球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小，选项C错误，D正确．
7．(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动．他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P点以水平初速度v0跳出．他运动到图中a点时弹性轻绳刚好拉直，此时速度与竖直方向的夹角为θ，轻绳与竖直方向的夹角为β，b为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( BD )
A．极限运动爱好者从P点到b点的运动过程中机械能守恒
B．极限运动爱好者从P点到a点时间的表达式为t＝
C．极限运动爱好者到达a点时，tan θ＝tan β
D．弹性轻绳原长的表达式为l＝
[B组·能力题]
8．(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m ＝ 2 kg的滑块A.半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m ＝ 2 kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g＝10m /s2.现给滑块A一个水平向右的恒力F ＝ 60 N，则( ABC )
A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F 做功为24 J
B．小球B运动到C处时滑块A的速度大小为0
C．小球B被拉到与滑块A速度大小相等时，sin∠OPB＝
D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J
解析：设PO＝H.由几何知识得，PB＝＝＝0.5 m，PC＝H－R＝0.1 m．F做的功为W＝F(PB－PC)＝40×(0.5－0.1)＝24 J，A正确；当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，选项B正确；当绳与轨道相切时滑块A与B球速度相等，由几何知识得：sin ∠OPB＝＝，C正确．由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加量为ΔE＝W＝24 J，D错误．
9．(多选) (2018·深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0 ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( CD )
A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小
B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0
C．弹簧劲度系数大于
D．弹簧最大弹性势能为mgx0
解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek＝2mgx0 sin 60°＝mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有 mgsin 60°＝kx，得 k＝，因为x＜x0，所以k＞，C正确；对小球从A到B的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能 Epm＝3mgx0 sin 60°＝mgx0，D正确．
10．(多选) (2019·江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D点．a、b、c三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R.设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为ta、tb、tc，三个物体到达地面的动能分别为Ea、Eb、Ec，则下面判断正确的是( AC )
A．Ea＜Eb B．Eb＞Ec
C．tb＝tc D．ta＝tb
解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2R＝gt2，则得：t＝，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg＝，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v＝，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：x＝vt＝2R，由题知：AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，a没有到达最高点，则知tb＝tc＝，ta≠tb＝tc；对于a、b两物块，通过D点时，a的速度比b的小，由机械能守恒可得：Ea＜Eb.对于b、c两物块，由x＝vt知，t相同，c的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，Ec＞Eb，故选项A、C正确．
11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
解析：(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得
mgL＝mv
解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.
(2)由D到A，小球做平抛运动有
v＝2gh③
tan 53°＝④
联立解得h＝16 cm.
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据解得Ep＝2.9 J.
答案：(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
第三讲 机械能守恒定律及其应用
[小题快练]
1．判断题
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．( √ )
(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( √ )
(3)弹力做正功，弹性势能一定增加．( × )
(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × )
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小．( √ )
(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒．( √ )
2．关于重力势能，下列说法中正确的是( D )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( D )
A．弹簧的弹性势能逐渐减少
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少
D．弹簧的弹性势能先减少后增加
4．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
考点一 机械能守恒的判断 (自主学习)
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒．
(2)利用守恒条件判断．
(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒．
1－1.[机械能守恒的判断] 在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A机械能守恒
C．丙图中小球机械能守恒
D．丁图中小球机械能守恒
解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误．
答案：A
1－2.[机械能守恒的判断] 把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．忽略弹簧的质量和空气阻力．则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是( )
A．经过位置B时小球的加速度为0
B．经过位置B时小球的速度最大
C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
答案：C
考点二 单个物体的机械能守恒 (师生共研)
1．机械能守恒定律的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体．
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能．
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解．
[典例] 如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道全高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；
(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；
(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)．
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
内壁光滑的“9”形固定轨道
滑块在“9”形轨道内运动时机械能守恒
滑块无初速地放在传送带A端
滑块从A点开始做初速度为0的匀加速运动
滑块从“9”形轨道，D点水平抛出
滑块由D到P做平抛运动，机械能守恒
恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点
滑块在P点的速度vP垂直于斜面，其水平分速度为vD
第二步：找突破口
(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达B点，则剩余部分将做匀速直线运动．
(2)在轨道的C点，根据FN＋mg＝m求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C点的速度vC.
(3)滑块由D点到P点做平抛运动，故滑块在P点的速度vP在水平方向的分速度与在D点的速度相等，即vD＝vPsin θ.
解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得
μmg＝ma
得a＝μg＝3 m/s2
加速到与传送带共速所需要的时间t1＝＝2 s
前2 s内的位移x1＝at＝6 m
之后滑块做匀速运动的位移x2＝L－x1＝6 m
时间t2＝＝1 s
故t＝t1＋t2＝3 s.
(2)滑块由B到C运动，由机械能守恒定律得
－mgH＝mv－mv
在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
解得FN＝90 N.
(3)滑块由B到D运动的过程中，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mg(H－2R)
滑块由D到P运动的过程中，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mgh
又vD＝vPsin 45°
由以上三式可解得h＝1.4 m.
答案：(1)3 s (2)90 N (3)1.4 m
[反思总结]
应用机械能守恒定律的两点注意事项
1．列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.
2．应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同．
2－1.[与平抛运动相结合] (2015·海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2 m，s＝ m．取重力加速度大小g＝10 m/s2.
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．
解析：(1)一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt，h＝gt2，
从ab滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgR＝mv，联立三式可得R＝＝0.25 m.
(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有mgh＝mv2
环在c点的速度水平分量为vx＝vcos θ
式中，θ为环在c点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c点的速度方向和以初速度vb做平抛运动的物体在c点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为vx′＝vb，竖直分量vy′为vy′＝
因为cos θ＝
联立可得vx＝ m/s.
答案：(1)0.25 m (2) m/s
2－2.[与圆周运动相结合] (2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l⑤
联立③⑤式得
vD＝⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl⑪
联立①②⑩⑪式得
m≤M
1．多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
2．多物体机械能守恒问题的三点注意
(1)正确选取研究对象．
(2)合理选取物理过程．
(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．
3－1.[弹簧连接] (2015·天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案：B
3－2.[轻杆连接] (多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案：BD
3－3.[轻绳连接] (多选)(2018·康杰中学模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．环与重物组成的系统机械能守恒
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处时的速度为
解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故A项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度h＝(－1)d，故B项错误；将小环在B处的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则v物＝v环cos45°，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为∶1 ，故C项错误；小环和重物系统机械能守恒，则mgd－2mgh＝mv＋2mv，且v物＝v环cos 45°，解得：v环＝，故D正确．
答案：AD
1. (2018·聊城一中检测)如右图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心O等高的位置．若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为R的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接．换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为180°、120°、90°和60°.仍将小球从原半圆轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与O点等高的高度( C )
解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与O点等高的高度，则速度为零；图A中到达O点的速度至少为，则A错误；B中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则B错误；C图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则C正确；D图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则D错误．
2. (多选)(2019·阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置．由静止释放，则( BC )
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
解析：由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为vA∶vB＝ω·2l∶ω·l＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mv＋·2mv，解得：v＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为：vA＝，所以A错误，C正确．
3. (2018·海南矿区中学模拟)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高．取g＝10m /s2，求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小．
解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是
Ep＝mgh＝5 000 J；
(2)由动能的公式得：Ek＝mv＝625 J；
(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒
mgh＝mv2－mv，解得v＝15 m/s .
答案：(1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
[A组·基础题]
1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则跳伞者( A )
A．机械能一直减小 B．机械能一直增大
C．动能一直减小 D．重力势能一直增大
2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接．若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )
A．0 B．mgRsin θ
C．2mgRsin θ D．2mgR
3. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( C )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
4．如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )
A．A B．B
C．C D．D
5．(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，则以下说法正确的是( CD )
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，物体机械能守恒
C．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
D．物体在最低点时的加速度大于g
6．(多选) (2019·景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放．当b球第一次经过最低点时，a球对地面压力刚好为零．下列结论正确的是( BD )
A．a球的质量为2m
B．a球的质量为3m
C．b球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
D．b球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小
解析：b球在摆动过程中，a球不动，b球做圆周运动，则绳子拉力对b球不做功，b球的机械能守恒，则有：mbgL＝mbv2；当b球摆过的角度为90°时，a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：T＝mag；b通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：mag－mbg＝mb，解得：ma＝3mb，故A错误、B正确．在开始时b球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小，选项C错误，D正确．
7．(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动．他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P点以水平初速度v0跳出．他运动到图中a点时弹性轻绳刚好拉直，此时速度与竖直方向的夹角为θ，轻绳与竖直方向的夹角为β，b为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( BD )
A．极限运动爱好者从P点到b点的运动过程中机械能守恒
B．极限运动爱好者从P点到a点时间的表达式为t＝
C．极限运动爱好者到达a点时，tan θ＝tan β
D．弹性轻绳原长的表达式为l＝
[B组·能力题]
8．(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m ＝ 2 kg的滑块A.半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m ＝ 2 kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g＝10m /s2.现给滑块A一个水平向右的恒力F ＝ 60 N，则( ABC )
A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F 做功为24 J
B．小球B运动到C处时滑块A的速度大小为0
C．小球B被拉到与滑块A速度大小相等时，sin∠OPB＝
D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J
解析：设PO＝H.由几何知识得，PB＝＝＝0.5 m，PC＝H－R＝0.1 m．F做的功为W＝F(PB－PC)＝40×(0.5－0.1)＝24 J，A正确；当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，选项B正确；当绳与轨道相切时滑块A与B球速度相等，由几何知识得：sin ∠OPB＝＝，C正确．由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加量为ΔE＝W＝24 J，D错误．
9．(多选) (2018·深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0 ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( CD )
A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小
B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0
C．弹簧劲度系数大于
D．弹簧最大弹性势能为mgx0
解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek＝2mgx0 sin 60°＝mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有 mgsin 60°＝kx，得 k＝，因为x＜x0，所以k＞，C正确；对小球从A到B的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能 Epm＝3mgx0 sin 60°＝mgx0，D正确．
10．(多选) (2019·江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D点．a、b、c三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R.设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为ta、tb、tc，三个物体到达地面的动能分别为Ea、Eb、Ec，则下面判断正确的是( AC )
A．Ea＜Eb B．Eb＞Ec
C．tb＝tc D．ta＝tb
解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2R＝gt2，则得：t＝，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg＝，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v＝，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：x＝vt＝2R，由题知：AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，a没有到达最高点，则知tb＝tc＝，ta≠tb＝tc；对于a、b两物块，通过D点时，a的速度比b的小，由机械能守恒可得：Ea＜Eb.对于b、c两物块，由x＝vt知，t相同，c的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，Ec＞Eb，故选项A、C正确．
11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
解析：(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得
mgL＝mv
解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.
(2)由D到A，小球做平抛运动有
v＝2gh③
tan 53°＝④
联立解得h＝16 cm.
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据解得Ep＝2.9 J.
答案：(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
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