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2020高考物理一轮复习学案：第八章实验十测定电源的电动势和内阻
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实验十 测定电源的电动势和内阻
主干梳理 对点激活
1．测定电源的电动势和内阻。
2．掌握用图象法求电动势和内阻。
闭合电路欧姆定律，实验原理图如图所示。
电池(被测电源)、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸、铅笔等。
1．电流表用0.6 A量程，电压表用3 V量程，按实验原理图所示连接好电路。
2．把滑动变阻器的滑片移动到使接入电路的阻值最大的一端。
3．闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样方法测量几组I、U值，填入表格中。
4．断开开关，拆除电路，整理好器材。
1．公式法
取上表六组对应的U、I数据，数据满足关系式U1＝E－I1r、U2＝E－I2r、U3＝E－I3r…，让第1式和第4式联立方程，第2式和第5式联立方程，第3式和第6式联立方程，这样解得三组E、r，分别取平均值作为电池的电动势E和内阻r的大小。
2．图象法
以路端电压U为纵轴、干路电流I为横轴建立UI坐标系，在坐标平面内描出各组(I，U)值所对应的点，然后尽量多地通过这些点作一条直线，如图所示，使不在直线上
的点大致均匀分布在直线两侧，则直线与纵轴交点的纵坐标即是电池电动势的大小(一次函数的纵轴截距)，与横轴交点的横坐标为短路电流I短＝，直线的斜率的绝对值即为电池的内阻r，即r＝。
1．偶然误差
(1)由读数不准引起误差。
(2)用图象法求E和r时，由于作图不准确造成的误差。
(3)测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。
2．系统误差
由于电压表和电流表内阻影响而导致的误差。
(1)如图甲所示，在理论上E＝U＋(IV＋IA)r，其中电压表示数U是路端电压。而实验中忽略了通过电压表的电流IV而形成误差，而且电压表示数越大，IV越大。
即：U真＝U测
I真＝I测＋IV＝I测＋
结论：
当U测＝0时，I真＝I测，用U真、I真画出乙图中右侧的修正图，由图可以看出：E真>E测，r真>r测。
从电路的角度看，电压表应看成内电路的一部分，故实际测出的是电池和电压表这一整体的等效内阻和电动势，因为电压表和电池并联，所以r测小于电池内阻r真，因为外电阻R断开时，a、b两点间电压Uab等于电动势E测，此时电源与电压表构成回路，所以Uab
即：I真＝I测
U真＝U测＋I测RA
结论：
当I测＝0时，U真＝U测，用U真、I真画出丁图中右侧修正图，由图可以看出：E测＝E真，r测>r真。
从电路的角度看，r测＝r真＋RA。由于通常情况下电池的内阻较小，所以这时r测的误差非常大。
1．为了使电池的路端电压变化明显，电池的内阻应选稍大些(选用已使用过一段时间的干电池)。
2．在实验中不要将I调得过大，每次读完U和I的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时极化现象严重，使得E和r明显变化。
3．测出不少于6组I和U的数据，且变化范围要大些，用方程组求解时，类似于逐差法，要将测出的UI数据中，第1和第4组为一组，第2和第5组为一组，第3和第6组为一组，分别解出E、r值再求平均值。
4．在画UI图线时，要使尽可能多的点落在这条直线上，不在直线上的点应对称分布在直线两侧，可舍弃个别离直线较远的点，以减小偶然误差。
5．干电池内阻较小时，U的变化较小，此时，坐标图中数据点将呈现如图甲所示的状况，使下部大面积空间得不到利用。为此，可使纵坐标不从零开始而是根据测得的数据从某一恰当值开始(横坐标I必须从零开始)，如图乙所示，并且把纵坐标的比例放大，可使结果的误差减小。此时图线与横轴交点不表示短路电流，而图线与纵轴交点的纵坐标仍为电动势。要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝，计算出电池的内阻r。
以上测量方法一般称为伏安法，测电源的电动势和内阻还有以下几种方法：
1．安阻法
(1)实验原理
用一个电流表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝I1(R1＋r)，E＝I2(R2＋r)，由此可求出E和r，或用图象法处理数据。此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大。若已知电流表的阻值可消除测内阻的系统误差。
(2)图象法处理数据
2．伏阻法
(1)实验原理
用一个电压表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，或用图象法处理数据。此种方法测得的电动势和内阻均偏小。
(2)图象法处理数据
3．粗测法
用一只电压表粗测电动势，直接将电压表接在电源两端，所测值近似认为是电源电动势，此时U＝≈E，需满足RV≫r。
4．双伏法
用两个电压表可测得电源的电动势，电路如图所示。测量方法为：断开S，测得V1、V2的示数分别为U1、U2，此时，E＝U1＋U2＋r，RV为V1的内阻；再闭合S，V1的示数为U1′，此时E＝U1′＋r，解方程组可求得E和r。
考点细研 悟法培优
考点1 实验原理与器材选择
例1 利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻。要求尽量减小实验误差。
(1)应该选择的实验电路是图1中的________(选填“甲”或“乙”)。
(2)现有电流表(0～0.6 A)、开关和导线若干，以及以下器材：
A．电压表(0～15 V)
B．电压表(0～3 V)
C．滑动变阻器(0～50 Ω)
D．滑动变阻器(0～500 Ω)
实验中电压表应选用________；滑动变阻器应选用________。(填相应器材前的字母)
(3)某位同学记录的6组数据如表所示，其中5组数据的对应点已经标在图2，请标出余下一组数据的对应点，并画出UI图线。
序号
1
2
3
4
5
6
电压U(V)
1.45
1.40
1.30
1.25
1.20
1.10
电流I(A)
0.060
0.120
0.240
0.260
0.360
0.480
(4)根据(3)中所画图线可得出干电池的电动势E＝________ V，内电阻r＝________ Ω。
(5)实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，电压表的示数U及干电池的输出功率P都会发生变化。下列示意图中正确反映PU关系的是________。
尝试解答 (1)甲__(2)B__C__(3)如图所示__(4)1.50(1.49～1.51均可)__0.83(0.81～0.85均可)__(5)C。
(1)干电池内阻相对一般电流表内阻而言较小，为减小电流表分压带来的系统误差，故应选甲。
(2)干电池电动势约为1.5 V，电压表选B可减小读数误差，滑动变阻器应选C，若选D，由于总阻值较大，则滑片滑动时移动范围小，不便调节。
(3)图线应为直线，作图时使尽量多的点在线上，不在线上的点应均匀分布在线的两侧，误差较大的点舍去。
(4)由U＝E－Ir可得图象上的纵轴截距E＝1.50 V，斜率的绝对值r≈0.83 Ω。
(5)输出功率P＝UI＝－2＋，PU图线应为开口向下的抛物线，C正确。
[变式1] (2018·重庆七校模拟)为了测量一节干电池的电动势和内电阻，某实验小组设计了如图甲所示的电路，实验室准备了下列器材供选用：
A．待测干电池一节
B．直流电流表A1(量程0～0.6 A，内阻约为0.1 Ω)
C．直流电流表A2(量程0～3 A，内阻约为0.02 Ω)
D．直流电压表V1(量程0～3 V，内阻约为5 kΩ)
E．直流电压表V2(量程0～15 V，内阻约为25 kΩ)
F．滑动变阻器R1(阻值范围为0～15 Ω，允许最大电流为1 A)
G．滑动变阻器R2(阻值范围为0～1000 Ω，允许最大电流为2 A)
H．开关
I．导线若干
(1)实验中电压表应选用________；电流表应选用________；滑动变阻器应选用________。(填仪器前的字母代号)
(2)实验小组在进行实验时，开始滑片P在最右端，但由于滑动变阻器某处发生断路，合上开关S后发现滑片P向左滑过一段距离x后电流表才有读数，于是该组同学分别作出了电压表读数U与x、电流表读数I与x的关系图，如图乙所示，则根据图象可知，电池的电动势为________ V，内阻为________ Ω。
答案 (1)D B F (2)1.5 0.5
解析 (1)干电池电动势约为1.5 V，结合图乙中给出的数据，电压表选V1，电流表选A1，为方便实验操作，滑动变阻器选总阻值较小的R1。
(2)根据图乙中两图对应的滑动变阻器长度相等时的电压和电流可以知道：
当I1＝0.2 A时，U1＝1.4 V
当I2＝0.4 A时，U2＝1.3 V
根据U＝E－Ir得E＝1.5 V，r＝0.5 Ω。
考点2 数据处理与误差分析
例2 某同学用下列器材测电源的电动势和内阻。待测电源E(电动势约为3 V，内阻约为2.5 Ω)；电流表A(量程为0～0.6 A，内阻约为0.5 Ω)；电阻箱R(最大阻值为99.9 Ω)；开关S，导线若干。
(1)在虚线框中画出实验电路图。该同学根据正确的电路图，正确连接电路，规范操作。
(2)第一次测量：调节电阻箱R，示数为R1时，读取电流表示数I1，示数为R2时，读取电流表示数I2。则电源电动势的计算式E＝________，内阻的计算式r＝________。
(3)第二次测量：调节电阻箱R的阻值，记录多组电流表的读数I和电阻箱的对应读数R，以为纵坐标，R为横坐标，根据测量数据作出如图所示的R图线，则电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
(4)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．由于电流表有内阻，会使电源内阻的测量值存在系统误差
B．由于电流表有内阻，会使电源电动势的测量值存在系统误差
C．第二次测量中的数据处理方式可以减小偶然误差
D．第一次测量中，若测有三组数据，则可求得电源电动势E和内阻r及电流表内阻RA
尝试解答 (1)如图所示
(2) (3)3 3 (4)AC。
(1)本实验所给电表只有一个电流表，有一个电阻箱，可知应该将电流表和电阻箱通过开关接到电源两端，通过改变电阻箱阻值来改变电流，再计算电源的电动势和内阻。
(2)由闭合电路欧姆定律可得：E＝I(r＋R)，将I1和R1、I2和R2分别代入联立求解可得电源电动势E＝，内阻r＝。
(3)由E＝I(r＋R)，变形可得＝R＋，故－R图象的斜率是，所以可得电源的电动势为3 V。由题图可得，当R＝0时，I＝1 A，故可得内阻为3 Ω。
(4)由于电流表有内阻，则有E＝I(r＋R＋RA)，分析可知，r测＝r实＋RA，故A正确；由E＝I(r＋R＋RA)变形可得＝R＋，故－R图象的斜率是，即电源的电动势的测量值不受电流表内阻的影响，B错误；利用图象法处理实验数据，可以减小偶然误差，C正确；在本实验中，无论测量几组数值都无法测出RA，D错误。
[变式2] (2018·豫南九校联考)甲同学做“测量电源的电动势与内阻”的实验。
(1)把多用电表的选择开关拨向“直流电压10 V”挡，再将两表笔分别与干电池的两极接触。其中红表笔应与电池的________(填“正”或“负”)极接触；此时表盘如图1所示，则读数为________ V。
(2)为了更精确地测量，甲同学又用电阻箱、多用电表(仍选电压挡)、开关和导线连成图2所示电路。闭合开关S，改变电阻箱接入电路的阻值R，读出多用电表的示数U，用E表示电源电动势，r表示内阻，请选用上述恰当物理量，写出甲同学所测电路中电源电动势和内阻的关系式________________。
(3)从实验原理来分析，电动势的测量值________(填“>”“＝”或“<”)真实值。
答案 (1)正 8.8 (2)E＝U＋r (3)<
解析 (1)电流从红表笔流入多用电表，多用电表红色表笔应与电池的正极接触，图1读数为8.8 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律有E＝U＋Ir，可得电源电动势和内阻的关系式为E＝U＋r。
(3)从原理图可知，由于没有考虑多用电表的分流作用，故测得的电动势小于真实值。
考点3 实验创新与改进
例3 (2018·兰化一中模拟)某学习小组利用图甲所示的电路测量电源的电动势及内阻，同时测量电压表V1、V2的内阻(由电流计改装，所用量程的内阻较小)。可使用的器材有：电流表A1、A2、A3，开关S，滑动变阻器R1、R2，若干导线。
(1)按照原理图甲将图乙中的实物连线补充完整。
(2)完成电路连接后，进行如下实验：
ⅰ.闭合开关S，通过反复调节滑动变阻器R1、R2，使电流表A3的示数为0，此时电流表A1、A2的示数分别为104.1 mA和81.5 mA，电压表V1、V2的示数分别为1.60 V和1.03 V。
ⅱ.再次调节R1、R2，使电流表A3的示数再次为0，此时电流表A1、A2的示数分别为167.7 mA和46.4 mA，电压表V1、V2的示数分别为0.91 V和1.66 V。
完成下列填空：
①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势________。(填“相等”或“不相等”)
②根据以上实验数据可得，电源的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(均保留一位小数)
③根据以上实验数据可得，电压表V1的内阻为________ Ω，电压表V2的内阻为________ Ω。(均保留一位小数)
④电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量________影响。(填“有”或“无”)
尝试解答 (1)如图所示__(2)①相等__②3.0__2.1__③19.6__9.9__④无。
(2)①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势相等。
②根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir可得E＝(U1＋U2)＋(I1＋I2)r，代入两组数据：
E＝(1.60＋1.03)＋(104.1＋81.5)×10－3r；
E＝(0.91＋1.66)＋(167.7＋46.4)×10－3r；
联立解得：r＝2.1 Ω，E＝3.0 V。
③由欧姆定律可知：RV2＝＝ Ω＝9.9 Ω；RV1＝＝ Ω＝19.6 Ω。
④由实验电路及原理可知，电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量无影响。
[变式3] (2018·襄阳调研)某探究小组准备用图甲所示电路测量某电源的电动势和内阻，实验室准备的器材如下：
待测电源(电动势约2 V)；
电阻箱R(最大阻值为99.99 Ω)；
定值电阻R0(阻值为2.0 Ω)；
定值电阻R1(阻值为4.5 kΩ)；
电流表G(量程为400 μA，内阻Rg＝500 Ω)；
开关S，导线若干。
(1)图甲中将定值电阻R1和电流表G串联，相当于把电流表G改装成了一个量程为________V的电压表。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值R和电流表G的示数I。
(3)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则和的关系式为____________________(用题中字母表示)。
(4)以为纵坐标，为横坐标，探究小组作出的图象如图乙所示，根据该图象求得电源的内阻r＝0.50 Ω，则其电动势E＝________V(计算结果保留两位小数)。
(5)该实验测得的电动势E测与真实值E真相比，理论上E测________E真(选填“>”“<”或“＝”)。
答案 (1)2
(3)＝·＋
(4)2.08(2.07～2.09均可) (5)＝
解析 (1)由串联电路的特点可知，U＝Ig(R1＋Rg)＝400×10－6×(4500＋500) V＝2 V。
(3)由题图甲所示的电路图可知，R1与G串联后与电阻箱并联，然后再与R0串联，由闭合电路欧姆定律可知：I(R1＋Rg)＝E－(r＋R0)，变形可得：＝·＋。
(4)由(3)中公式结合题图乙可知，＝k＝ Ω/A＝6000 Ω/A，解得E＝2.08 V。
(5)由以上分析可知本实验中电动势测量准确，即电动势的测量值等于电动势的真实值。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·江苏高考)一同学测量某干电池的电动势和内阻。
(1)如图所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处____________；____________。
(2)实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的数据见下表：
根据表中数据，在方格纸上作出R关系图象，由图象可计算出该干电池的电动势为________ V；内阻为________ Ω。
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端。调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图所示，则该干电池的电动势应为________ V；内阻应为________ Ω。
答案 (1)开关未断开 电阻箱阻值为零
(2)图象如图所示
1．37(1.30～1.44都算正确) 1.20(1.0～1.4都算正确)
(3)1.37(结果与(2)问第一个空格一致) 1.00(结果比(2)问第二个空格小0.2)
解析 (1)连接电路时电源应与电路断开，所以开关要断开；另一错误是电阻箱接入电路的电阻是零，这样容易烧坏电流表和电源。
(2)将数据描点连线，作出一条倾斜的直线。根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)得R＝E·－r，所以图线的斜率表示电源电动势，E＝ V＝1.37 V，截距绝对值表示电源内阻：r＝0.4×3.0 Ω＝1.20 Ω。
(3)用电压表与电流表并联，可测得电流表的内阻RA＝＝ Ω＝0.20 Ω，考虑电表内阻对实验的影响，则E＝I(R＋RA＋r)，得R＝E·－(RA＋r)，所以图线的斜率仍表示电动势，电动势的准确值为1.37 V，图线的截距绝对值表示(RA＋r)，所以内阻精确值为r＝(1.20－0.20) Ω＝1.00 Ω。
2．(2017·天津高考)某探究性学习小组利用如图所示的电路测量电池的电动势和内阻。其中电流表A1的内阻r1＝1.0 kΩ，电阻R1＝9.0 kΩ，为了方便读数和作图，给电池串联一个R0＝3.0 Ω的电阻。
(1)按图示电路进行连接后，发现aa′、bb′和cc′三条导线中，混进了一条内部断开的导线。为了确定哪一条导线内部是断开的，将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b′间电压，读数不为零，再测量a、a′间电压，若读数不为零，则一定是________导线断开；若读数为零，则一定是________导线断开。
(2)排除故障后，该小组顺利完成实验。通过多次改变滑动变阻器触头位置，得到电流表A1和A2的多组I1、I2数据，作出图象如图。由I1I2图象得到电池的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。
答案 (1)aa′ bb′
(2)1.41(1.36～1.44均可) 0.57(0.4～0.6均可)
解析 (1)a、b′间的电压不为零，说明a、a′或b、b′间有一处导线断开，若a、a′间电压不为零，说明aa′导线断开；若a、a′间电压为零，则一定是bb′导线断开。
(2)在给出的图象中取两个点，读数分别为
I1＝0.12 mA、I2＝60 mA，
I1′＝0.07 mA、I2′＝200 mA。
据闭合电路欧姆定律知：
E＝(I1＋I2)(R0＋r)＋I1(r1＋R1)，将上述两组数据代入可得：
电动势E≈1.41 V，内阻r≈0.57 Ω。
3．(2014·全国卷Ⅰ)利用如图a所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：
待测电源，电阻箱R(最大阻值为999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表(量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S。
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以为纵坐标，R为横坐标，作R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b。
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则与R的关系式为________。
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω 时电流表的示数如图b所示，读出数据，完成下表。答：①________，②________。
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
0.077
I－1/A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9
13.0
(3)在图c的坐标纸上将所缺数据点补充完整并作图，根据图线求得斜率k＝________ A－1·Ω－1，截距b＝________ A－1。
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
答案 (1)＝R＋或＝R＋(5.0＋r)
(2)①0.110 ②9.09
(3)图见解析 1.0(在0.96～1.04之间均对) 6.0(在5.9～6.1之间均对)
(4)3.0(在2.7～3.3之间均对) 1.0(在0.6～1.4之间均对)
解析 (1)由闭合电路欧姆定律有E＝IRA＋·(R＋R0＋r)，整理得＝R＋，代入数据得＝R＋(5.0＋r)。
(2)①由题意知该电流表的分度为2 mA，由题图b可得读数为110 mA，考虑到表格内各组数据的单位及有效数字位数，故结果应为0.110 A。②≈9.09 A－1。
(3)描点作图如图所示，由图线可得k＝ A－1·Ω－1＝1.0 A－1·Ω－1，b＝6.0 A－1。
(4)由＝R＋(5.0＋r)可知k＝，b＝·(5.0＋r)，将k＝1.0 A－1·Ω－1、b＝6.0 A－1代入可得E＝3.0 V，r＝1.0 Ω。
4．(2019·福建五校联考)实验员老师在整理仪器时发现了一未知电阻Rx和一块锂电池。电池的铭牌数据标识为：电动势E＝4.0 V，最大放电电流为60 mA。他把多用电表的选择开关置于欧姆“×100”挡，粗测了Rx的阻值，示数如图甲。然后给同学们准备了如下器材，请同学们帮他测量电阻Rx的准确值。
A．电压表V1(量程3 V，内阻RV1约为4.0 kΩ)
B．电压表V2(量程15 V，内阻RV2约为12.0 kΩ)
C．电流表A1(量程60 mA，内阻RA1约为5 Ω)
D．电流表A2(量程2 mA，内阻RA2约为50 Ω)
E．滑动变阻器R1(0～40 Ω，额定电流1 A)
F．开关S一只、导线若干
(1)为了更精确地测量电阻Rx的阻值，电压表应选________，电流表应选________。(填器材前字母序号)请你设计测量Rx的实验原理图，并画在虚线框中。
(2)同学们又设计了如图乙所示的电路图测量该锂电池的电动势E和内阻r，图中R为电阻箱(0～999.9 Ω)。根据测量数据作出R图象，如图丙所示。若该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则该锂电池的电动势E＝________；内阻r＝________。(用k和b表示)
答案 (1)A D 如图所示 (2)
解析 (1)由题图甲可知电阻Rx的阻值约为1500 Ω，又因电动势E＝4.0 V，所以电压表应选A，通过电阻的最大电流约为Imax＝＝2.0 mA，可知电流表应选D，滑动变阻器的最大阻值较小，应该使用分压法；又因为Rx≈1500 Ω> Ω，应采用电流表内接法，电路图如答图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R＋r)，变形得＝R＋r，图线的斜率为k＝，解得E＝；纵轴截距为b＝r，解得r＝。
主干梳理 对点激活
1．测定电源的电动势和内阻。
2．掌握用图象法求电动势和内阻。
闭合电路欧姆定律，实验原理图如图所示。
电池(被测电源)、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸、铅笔等。
1．电流表用0.6 A量程，电压表用3 V量程，按实验原理图所示连接好电路。
2．把滑动变阻器的滑片移动到使接入电路的阻值最大的一端。
3．闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样方法测量几组I、U值，填入表格中。
4．断开开关，拆除电路，整理好器材。
1．公式法
取上表六组对应的U、I数据，数据满足关系式U1＝E－I1r、U2＝E－I2r、U3＝E－I3r…，让第1式和第4式联立方程，第2式和第5式联立方程，第3式和第6式联立方程，这样解得三组E、r，分别取平均值作为电池的电动势E和内阻r的大小。
2．图象法
以路端电压U为纵轴、干路电流I为横轴建立UI坐标系，在坐标平面内描出各组(I，U)值所对应的点，然后尽量多地通过这些点作一条直线，如图所示，使不在直线上
的点大致均匀分布在直线两侧，则直线与纵轴交点的纵坐标即是电池电动势的大小(一次函数的纵轴截距)，与横轴交点的横坐标为短路电流I短＝，直线的斜率的绝对值即为电池的内阻r，即r＝。
1．偶然误差
(1)由读数不准引起误差。
(2)用图象法求E和r时，由于作图不准确造成的误差。
(3)测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。
2．系统误差
由于电压表和电流表内阻影响而导致的误差。
(1)如图甲所示，在理论上E＝U＋(IV＋IA)r，其中电压表示数U是路端电压。而实验中忽略了通过电压表的电流IV而形成误差，而且电压表示数越大，IV越大。
即：U真＝U测
I真＝I测＋IV＝I测＋
结论：
当U测＝0时，I真＝I测，用U真、I真画出乙图中右侧的修正图，由图可以看出：E真>E测，r真>r测。
从电路的角度看，电压表应看成内电路的一部分，故实际测出的是电池和电压表这一整体的等效内阻和电动势，因为电压表和电池并联，所以r测小于电池内阻r真，因为外电阻R断开时，a、b两点间电压Uab等于电动势E测，此时电源与电压表构成回路，所以Uab
即：I真＝I测
U真＝U测＋I测RA
结论：
当I测＝0时，U真＝U测，用U真、I真画出丁图中右侧修正图，由图可以看出：E测＝E真，r测>r真。
从电路的角度看，r测＝r真＋RA。由于通常情况下电池的内阻较小，所以这时r测的误差非常大。
1．为了使电池的路端电压变化明显，电池的内阻应选稍大些(选用已使用过一段时间的干电池)。
2．在实验中不要将I调得过大，每次读完U和I的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时极化现象严重，使得E和r明显变化。
3．测出不少于6组I和U的数据，且变化范围要大些，用方程组求解时，类似于逐差法，要将测出的UI数据中，第1和第4组为一组，第2和第5组为一组，第3和第6组为一组，分别解出E、r值再求平均值。
4．在画UI图线时，要使尽可能多的点落在这条直线上，不在直线上的点应对称分布在直线两侧，可舍弃个别离直线较远的点，以减小偶然误差。
5．干电池内阻较小时，U的变化较小，此时，坐标图中数据点将呈现如图甲所示的状况，使下部大面积空间得不到利用。为此，可使纵坐标不从零开始而是根据测得的数据从某一恰当值开始(横坐标I必须从零开始)，如图乙所示，并且把纵坐标的比例放大，可使结果的误差减小。此时图线与横轴交点不表示短路电流，而图线与纵轴交点的纵坐标仍为电动势。要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝，计算出电池的内阻r。
以上测量方法一般称为伏安法，测电源的电动势和内阻还有以下几种方法：
1．安阻法
(1)实验原理
用一个电流表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝I1(R1＋r)，E＝I2(R2＋r)，由此可求出E和r，或用图象法处理数据。此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大。若已知电流表的阻值可消除测内阻的系统误差。
(2)图象法处理数据
2．伏阻法
(1)实验原理
用一个电压表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，或用图象法处理数据。此种方法测得的电动势和内阻均偏小。
(2)图象法处理数据
3．粗测法
用一只电压表粗测电动势，直接将电压表接在电源两端，所测值近似认为是电源电动势，此时U＝≈E，需满足RV≫r。
4．双伏法
用两个电压表可测得电源的电动势，电路如图所示。测量方法为：断开S，测得V1、V2的示数分别为U1、U2，此时，E＝U1＋U2＋r，RV为V1的内阻；再闭合S，V1的示数为U1′，此时E＝U1′＋r，解方程组可求得E和r。
考点细研 悟法培优
考点1 实验原理与器材选择
例1 利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻。要求尽量减小实验误差。
(1)应该选择的实验电路是图1中的________(选填“甲”或“乙”)。
(2)现有电流表(0～0.6 A)、开关和导线若干，以及以下器材：
A．电压表(0～15 V)
B．电压表(0～3 V)
C．滑动变阻器(0～50 Ω)
D．滑动变阻器(0～500 Ω)
实验中电压表应选用________；滑动变阻器应选用________。(填相应器材前的字母)
(3)某位同学记录的6组数据如表所示，其中5组数据的对应点已经标在图2，请标出余下一组数据的对应点，并画出UI图线。
序号
1
2
3
4
5
6
电压U(V)
1.45
1.40
1.30
1.25
1.20
1.10
电流I(A)
0.060
0.120
0.240
0.260
0.360
0.480
(4)根据(3)中所画图线可得出干电池的电动势E＝________ V，内电阻r＝________ Ω。
(5)实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，电压表的示数U及干电池的输出功率P都会发生变化。下列示意图中正确反映PU关系的是________。
尝试解答 (1)甲__(2)B__C__(3)如图所示__(4)1.50(1.49～1.51均可)__0.83(0.81～0.85均可)__(5)C。
(1)干电池内阻相对一般电流表内阻而言较小，为减小电流表分压带来的系统误差，故应选甲。
(2)干电池电动势约为1.5 V，电压表选B可减小读数误差，滑动变阻器应选C，若选D，由于总阻值较大，则滑片滑动时移动范围小，不便调节。
(3)图线应为直线，作图时使尽量多的点在线上，不在线上的点应均匀分布在线的两侧，误差较大的点舍去。
(4)由U＝E－Ir可得图象上的纵轴截距E＝1.50 V，斜率的绝对值r≈0.83 Ω。
(5)输出功率P＝UI＝－2＋，PU图线应为开口向下的抛物线，C正确。
[变式1] (2018·重庆七校模拟)为了测量一节干电池的电动势和内电阻，某实验小组设计了如图甲所示的电路，实验室准备了下列器材供选用：
A．待测干电池一节
B．直流电流表A1(量程0～0.6 A，内阻约为0.1 Ω)
C．直流电流表A2(量程0～3 A，内阻约为0.02 Ω)
D．直流电压表V1(量程0～3 V，内阻约为5 kΩ)
E．直流电压表V2(量程0～15 V，内阻约为25 kΩ)
F．滑动变阻器R1(阻值范围为0～15 Ω，允许最大电流为1 A)
G．滑动变阻器R2(阻值范围为0～1000 Ω，允许最大电流为2 A)
H．开关
I．导线若干
(1)实验中电压表应选用________；电流表应选用________；滑动变阻器应选用________。(填仪器前的字母代号)
(2)实验小组在进行实验时，开始滑片P在最右端，但由于滑动变阻器某处发生断路，合上开关S后发现滑片P向左滑过一段距离x后电流表才有读数，于是该组同学分别作出了电压表读数U与x、电流表读数I与x的关系图，如图乙所示，则根据图象可知，电池的电动势为________ V，内阻为________ Ω。
答案 (1)D B F (2)1.5 0.5
解析 (1)干电池电动势约为1.5 V，结合图乙中给出的数据，电压表选V1，电流表选A1，为方便实验操作，滑动变阻器选总阻值较小的R1。
(2)根据图乙中两图对应的滑动变阻器长度相等时的电压和电流可以知道：
当I1＝0.2 A时，U1＝1.4 V
当I2＝0.4 A时，U2＝1.3 V
根据U＝E－Ir得E＝1.5 V，r＝0.5 Ω。
考点2 数据处理与误差分析
例2 某同学用下列器材测电源的电动势和内阻。待测电源E(电动势约为3 V，内阻约为2.5 Ω)；电流表A(量程为0～0.6 A，内阻约为0.5 Ω)；电阻箱R(最大阻值为99.9 Ω)；开关S，导线若干。
(1)在虚线框中画出实验电路图。该同学根据正确的电路图，正确连接电路，规范操作。
(2)第一次测量：调节电阻箱R，示数为R1时，读取电流表示数I1，示数为R2时，读取电流表示数I2。则电源电动势的计算式E＝________，内阻的计算式r＝________。
(3)第二次测量：调节电阻箱R的阻值，记录多组电流表的读数I和电阻箱的对应读数R，以为纵坐标，R为横坐标，根据测量数据作出如图所示的R图线，则电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
(4)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．由于电流表有内阻，会使电源内阻的测量值存在系统误差
B．由于电流表有内阻，会使电源电动势的测量值存在系统误差
C．第二次测量中的数据处理方式可以减小偶然误差
D．第一次测量中，若测有三组数据，则可求得电源电动势E和内阻r及电流表内阻RA
尝试解答 (1)如图所示
(2) (3)3 3 (4)AC。
(1)本实验所给电表只有一个电流表，有一个电阻箱，可知应该将电流表和电阻箱通过开关接到电源两端，通过改变电阻箱阻值来改变电流，再计算电源的电动势和内阻。
(2)由闭合电路欧姆定律可得：E＝I(r＋R)，将I1和R1、I2和R2分别代入联立求解可得电源电动势E＝，内阻r＝。
(3)由E＝I(r＋R)，变形可得＝R＋，故－R图象的斜率是，所以可得电源的电动势为3 V。由题图可得，当R＝0时，I＝1 A，故可得内阻为3 Ω。
(4)由于电流表有内阻，则有E＝I(r＋R＋RA)，分析可知，r测＝r实＋RA，故A正确；由E＝I(r＋R＋RA)变形可得＝R＋，故－R图象的斜率是，即电源的电动势的测量值不受电流表内阻的影响，B错误；利用图象法处理实验数据，可以减小偶然误差，C正确；在本实验中，无论测量几组数值都无法测出RA，D错误。
[变式2] (2018·豫南九校联考)甲同学做“测量电源的电动势与内阻”的实验。
(1)把多用电表的选择开关拨向“直流电压10 V”挡，再将两表笔分别与干电池的两极接触。其中红表笔应与电池的________(填“正”或“负”)极接触；此时表盘如图1所示，则读数为________ V。
(2)为了更精确地测量，甲同学又用电阻箱、多用电表(仍选电压挡)、开关和导线连成图2所示电路。闭合开关S，改变电阻箱接入电路的阻值R，读出多用电表的示数U，用E表示电源电动势，r表示内阻，请选用上述恰当物理量，写出甲同学所测电路中电源电动势和内阻的关系式________________。
(3)从实验原理来分析，电动势的测量值________(填“>”“＝”或“<”)真实值。
答案 (1)正 8.8 (2)E＝U＋r (3)<
解析 (1)电流从红表笔流入多用电表，多用电表红色表笔应与电池的正极接触，图1读数为8.8 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律有E＝U＋Ir，可得电源电动势和内阻的关系式为E＝U＋r。
(3)从原理图可知，由于没有考虑多用电表的分流作用，故测得的电动势小于真实值。
考点3 实验创新与改进
例3 (2018·兰化一中模拟)某学习小组利用图甲所示的电路测量电源的电动势及内阻，同时测量电压表V1、V2的内阻(由电流计改装，所用量程的内阻较小)。可使用的器材有：电流表A1、A2、A3，开关S，滑动变阻器R1、R2，若干导线。
(1)按照原理图甲将图乙中的实物连线补充完整。
(2)完成电路连接后，进行如下实验：
ⅰ.闭合开关S，通过反复调节滑动变阻器R1、R2，使电流表A3的示数为0，此时电流表A1、A2的示数分别为104.1 mA和81.5 mA，电压表V1、V2的示数分别为1.60 V和1.03 V。
ⅱ.再次调节R1、R2，使电流表A3的示数再次为0，此时电流表A1、A2的示数分别为167.7 mA和46.4 mA，电压表V1、V2的示数分别为0.91 V和1.66 V。
完成下列填空：
①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势________。(填“相等”或“不相等”)
②根据以上实验数据可得，电源的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(均保留一位小数)
③根据以上实验数据可得，电压表V1的内阻为________ Ω，电压表V2的内阻为________ Ω。(均保留一位小数)
④电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量________影响。(填“有”或“无”)
尝试解答 (1)如图所示__(2)①相等__②3.0__2.1__③19.6__9.9__④无。
(2)①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势相等。
②根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir可得E＝(U1＋U2)＋(I1＋I2)r，代入两组数据：
E＝(1.60＋1.03)＋(104.1＋81.5)×10－3r；
E＝(0.91＋1.66)＋(167.7＋46.4)×10－3r；
联立解得：r＝2.1 Ω，E＝3.0 V。
③由欧姆定律可知：RV2＝＝ Ω＝9.9 Ω；RV1＝＝ Ω＝19.6 Ω。
④由实验电路及原理可知，电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量无影响。
[变式3] (2018·襄阳调研)某探究小组准备用图甲所示电路测量某电源的电动势和内阻，实验室准备的器材如下：
待测电源(电动势约2 V)；
电阻箱R(最大阻值为99.99 Ω)；
定值电阻R0(阻值为2.0 Ω)；
定值电阻R1(阻值为4.5 kΩ)；
电流表G(量程为400 μA，内阻Rg＝500 Ω)；
开关S，导线若干。
(1)图甲中将定值电阻R1和电流表G串联，相当于把电流表G改装成了一个量程为________V的电压表。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值R和电流表G的示数I。
(3)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则和的关系式为____________________(用题中字母表示)。
(4)以为纵坐标，为横坐标，探究小组作出的图象如图乙所示，根据该图象求得电源的内阻r＝0.50 Ω，则其电动势E＝________V(计算结果保留两位小数)。
(5)该实验测得的电动势E测与真实值E真相比，理论上E测________E真(选填“>”“<”或“＝”)。
答案 (1)2
(3)＝·＋
(4)2.08(2.07～2.09均可) (5)＝
解析 (1)由串联电路的特点可知，U＝Ig(R1＋Rg)＝400×10－6×(4500＋500) V＝2 V。
(3)由题图甲所示的电路图可知，R1与G串联后与电阻箱并联，然后再与R0串联，由闭合电路欧姆定律可知：I(R1＋Rg)＝E－(r＋R0)，变形可得：＝·＋。
(4)由(3)中公式结合题图乙可知，＝k＝ Ω/A＝6000 Ω/A，解得E＝2.08 V。
(5)由以上分析可知本实验中电动势测量准确，即电动势的测量值等于电动势的真实值。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·江苏高考)一同学测量某干电池的电动势和内阻。
(1)如图所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处____________；____________。
(2)实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的数据见下表：
根据表中数据，在方格纸上作出R关系图象，由图象可计算出该干电池的电动势为________ V；内阻为________ Ω。
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端。调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图所示，则该干电池的电动势应为________ V；内阻应为________ Ω。
答案 (1)开关未断开 电阻箱阻值为零
(2)图象如图所示
1．37(1.30～1.44都算正确) 1.20(1.0～1.4都算正确)
(3)1.37(结果与(2)问第一个空格一致) 1.00(结果比(2)问第二个空格小0.2)
解析 (1)连接电路时电源应与电路断开，所以开关要断开；另一错误是电阻箱接入电路的电阻是零，这样容易烧坏电流表和电源。
(2)将数据描点连线，作出一条倾斜的直线。根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)得R＝E·－r，所以图线的斜率表示电源电动势，E＝ V＝1.37 V，截距绝对值表示电源内阻：r＝0.4×3.0 Ω＝1.20 Ω。
(3)用电压表与电流表并联，可测得电流表的内阻RA＝＝ Ω＝0.20 Ω，考虑电表内阻对实验的影响，则E＝I(R＋RA＋r)，得R＝E·－(RA＋r)，所以图线的斜率仍表示电动势，电动势的准确值为1.37 V，图线的截距绝对值表示(RA＋r)，所以内阻精确值为r＝(1.20－0.20) Ω＝1.00 Ω。
2．(2017·天津高考)某探究性学习小组利用如图所示的电路测量电池的电动势和内阻。其中电流表A1的内阻r1＝1.0 kΩ，电阻R1＝9.0 kΩ，为了方便读数和作图，给电池串联一个R0＝3.0 Ω的电阻。
(1)按图示电路进行连接后，发现aa′、bb′和cc′三条导线中，混进了一条内部断开的导线。为了确定哪一条导线内部是断开的，将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b′间电压，读数不为零，再测量a、a′间电压，若读数不为零，则一定是________导线断开；若读数为零，则一定是________导线断开。
(2)排除故障后，该小组顺利完成实验。通过多次改变滑动变阻器触头位置，得到电流表A1和A2的多组I1、I2数据，作出图象如图。由I1I2图象得到电池的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。
答案 (1)aa′ bb′
(2)1.41(1.36～1.44均可) 0.57(0.4～0.6均可)
解析 (1)a、b′间的电压不为零，说明a、a′或b、b′间有一处导线断开，若a、a′间电压不为零，说明aa′导线断开；若a、a′间电压为零，则一定是bb′导线断开。
(2)在给出的图象中取两个点，读数分别为
I1＝0.12 mA、I2＝60 mA，
I1′＝0.07 mA、I2′＝200 mA。
据闭合电路欧姆定律知：
E＝(I1＋I2)(R0＋r)＋I1(r1＋R1)，将上述两组数据代入可得：
电动势E≈1.41 V，内阻r≈0.57 Ω。
3．(2014·全国卷Ⅰ)利用如图a所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：
待测电源，电阻箱R(最大阻值为999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表(量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S。
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以为纵坐标，R为横坐标，作R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b。
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则与R的关系式为________。
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω 时电流表的示数如图b所示，读出数据，完成下表。答：①________，②________。
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
0.077
I－1/A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9
13.0
(3)在图c的坐标纸上将所缺数据点补充完整并作图，根据图线求得斜率k＝________ A－1·Ω－1，截距b＝________ A－1。
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
答案 (1)＝R＋或＝R＋(5.0＋r)
(2)①0.110 ②9.09
(3)图见解析 1.0(在0.96～1.04之间均对) 6.0(在5.9～6.1之间均对)
(4)3.0(在2.7～3.3之间均对) 1.0(在0.6～1.4之间均对)
解析 (1)由闭合电路欧姆定律有E＝IRA＋·(R＋R0＋r)，整理得＝R＋，代入数据得＝R＋(5.0＋r)。
(2)①由题意知该电流表的分度为2 mA，由题图b可得读数为110 mA，考虑到表格内各组数据的单位及有效数字位数，故结果应为0.110 A。②≈9.09 A－1。
(3)描点作图如图所示，由图线可得k＝ A－1·Ω－1＝1.0 A－1·Ω－1，b＝6.0 A－1。
(4)由＝R＋(5.0＋r)可知k＝，b＝·(5.0＋r)，将k＝1.0 A－1·Ω－1、b＝6.0 A－1代入可得E＝3.0 V，r＝1.0 Ω。
4．(2019·福建五校联考)实验员老师在整理仪器时发现了一未知电阻Rx和一块锂电池。电池的铭牌数据标识为：电动势E＝4.0 V，最大放电电流为60 mA。他把多用电表的选择开关置于欧姆“×100”挡，粗测了Rx的阻值，示数如图甲。然后给同学们准备了如下器材，请同学们帮他测量电阻Rx的准确值。
A．电压表V1(量程3 V，内阻RV1约为4.0 kΩ)
B．电压表V2(量程15 V，内阻RV2约为12.0 kΩ)
C．电流表A1(量程60 mA，内阻RA1约为5 Ω)
D．电流表A2(量程2 mA，内阻RA2约为50 Ω)
E．滑动变阻器R1(0～40 Ω，额定电流1 A)
F．开关S一只、导线若干
(1)为了更精确地测量电阻Rx的阻值，电压表应选________，电流表应选________。(填器材前字母序号)请你设计测量Rx的实验原理图，并画在虚线框中。
(2)同学们又设计了如图乙所示的电路图测量该锂电池的电动势E和内阻r，图中R为电阻箱(0～999.9 Ω)。根据测量数据作出R图象，如图丙所示。若该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则该锂电池的电动势E＝________；内阻r＝________。(用k和b表示)
答案 (1)A D 如图所示 (2)
解析 (1)由题图甲可知电阻Rx的阻值约为1500 Ω，又因电动势E＝4.0 V，所以电压表应选A，通过电阻的最大电流约为Imax＝＝2.0 mA，可知电流表应选D，滑动变阻器的最大阻值较小，应该使用分压法；又因为Rx≈1500 Ω> Ω，应采用电流表内接法，电路图如答图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R＋r)，变形得＝R＋r，图线的斜率为k＝，解得E＝；纵轴截距为b＝r，解得r＝。
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