2019版高考数学（理）创新大一轮北师大通用版讲义：第十二章推理与证明、算法、复数第2节

第2节　综合法、分析法、反证法
最新考纲　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.

知 识 梳 理
1.直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……
即证……
2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)
(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“ab2，②
由①②得a2>ab>b2.
答案　B
3.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A.2ab－1－a2b2≤0
B.a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D.(a2－1)(b2－1)≥0
解析　a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
答案　D
4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A.假设a，b，c都是偶数
B.假设a，b，c都不是偶数
C.假设a，b，c至多有一个偶数
D.假设a，b，c至多有两个偶数
解析　“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.
答案　B
5.(教材例题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.
解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形.
答案　等边三角形

考点一　综合法的应用
【例1】 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)(一题多解)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.
(1)证明　∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)解　由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2.
法一　＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
法二　＋＋…＋＝＋＋…＋>1，
又∵1>，∴＋＋…＋>.
规律方法　1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.
2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.
【训练1】 (2018·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋≤；
(2)＋＋≥.
证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴＋＋≤.
(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0，
∴＋(3a＋1)≥2＝4，
当且仅当＝3a＋1，即a＝时取“＝”.
∴≥3－3a，同理得≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得
4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥，
当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”.
考点二　分析法的应用
【例2】 已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
规律方法　1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.
【训练2】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明　要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.
于是原等式成立.
考点三　反证法的应用
【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N+)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
(1)解　由已知得解得d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).
(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N+，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r＋).
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N+，∴
∴＝q2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾.
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
规律方法　1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.
2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.
【训练3】 (2018·郑州一中月考)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图像的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾.
故不存在常数a，b使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
解析　“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°.
答案　B
2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)
A.a>b B.a＋＞0(m＞1)，
∴2b2 D.
2＋.
答案　＋>2＋
7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________________.
解析　“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.
答案　“a，b都不能被5整除”
8.下列条件：①ab>0，②ab0，b>0，④a0，则三个数＋，＋，＋(　　)
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
解析　因为＋＋
＝＋＋≥6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立.
所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.
答案　C
12.(2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
解析　根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.
答案　1和3
13.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab